Introduzione alla logica
Prof. Daniele Ippolito Liceo “Buonarroti” di Pisa
La logica (dal greco logos, discorso) è un ramo della matematica che studia il discorso.
Proposizioni logiche
Una proposizione logica è una frase di cui è possibile stabilire, mediante un criterio oggettivo, se sia vera o falsa.
Esempio È una propos.? Vera o falsa?
1) In questo momento sono a scuola. Sì V
2) In questo momento sono a casa. Sì F
3) Più tardi andrò a casa. No
4) Michele è un ragazzo simpatico. No
5) In quest'aula fa caldo. No
6) In quest'aula c'è una temperatura di 20,0°C. Sì La misuriamo
Proposizioni semplici
Una proposizione semplice è una proposizione logica formata da un soggetto, un predicato ed eventuali complementi.
Esempi:
A: Il cane è un animale.
B: Mia madre è in casa.
C: Ieri ho letto un libro dalla prima all'ultima pagina.
Proposizioni composte e connettivi
Una proposizione composta è una proposizione logica formata da più proposizioni semplici connesse tra loro.
Esempi:
1) Ieri sono andato al mare e ho fatto un bagno.
2) Sono al mare o sono in piscina.
3) Se sono al mare, allora faccio un bagno.
Un connettivo è un termine che lega tra loro due proposizioni semplici.
I connettivi
1) La negazione: non Esempi:
A: Roma è la capitale d'Italia.
A: Roma non è la capitale d'Italia.
B: Il monte Serra è il monte più alto d'Italia
B: Il monte Serra non è il monte più alto d'Italia.
Altri simboli: NOT, ¬
Una doppia negazione restituisce la proposizione di partenza:
¬(¬A) = A.
Esempio: A: Oggi sono andato al mare;
¬(¬A): Non è vero che oggi non sono andato al mare.
2) La congiunzione: e Esempi:
A: Sono andato al ristorante.
B: Ho mangiato un pesce
A Λ B: Sono andato al ristorante e ho mangiato un pesce.
A: L'area S del quadrato è minore di 10 cm2. B: L'area S del quadrato è maggiore di 8 cm2. A Λ B: 8 cm2 < S < 10 cm2.
Altri simboli: AND, et
3) La disgiunzione inclusiva: o Esempi:
A: Ho mangiato un panino.
B: Ho bevuto una birra.
A V B: Ho mangiato un panino o ho bevuto una birra.
A: Chi ha meno di 18 anni entra gratis al museo.
B: Chi ha più di 65 anni entra gratis al museo.
A V B: Chi ha meno di 18 o più di 65 anni entra gratis al museo.
Altri simboli: OR, vel
4) La disgiunzione esclusiva: o... o Esempi:
A: Sono stato tutto il giorno in casa.
B: Sono stato a scuola.
A V B: O sono stato tutto il giorno in casa o sono stato a scuola.
A: Roma è la capitale d'Italia.
B: Roma è la capitale di Francia.
Altri simboli: XOR, aut
A V B: O Roma è la capitale d'Italia o Roma è la capitale di Francia.
.
.
5) L'implicazione materiale: se... allora Esempi:
A: Piove.
B: Le strade sono bagnate.
A → B: Se piove, allora le strade sono bagnate.
A: ABCD è un quadrato.
B: ABCD ha quattro angoli retti.
A → B: Se ABCD è un quadrato, allora ABCD ha quattro angoli retti.
Altre espressioni: A implica B, A è condizione sufficiente per B, B è condizione necessaria per A.
5) L'implicazione materiale: se... allora
La verità della proposizione A → B NON comporta che A → B, mentre comporta che B → A.
Esempio:
Affermare che, se un numero è divisibile per 4 allora è pari, NON comporta che, se un numero non è divisibile per 4 allora non è pari (2, 6, 10 non sono divisibili per 4 ma sono pari).
Comporta, invece, che, se un numero non è pari allora non è divisibile per 4.
Le dimostrazioni per assurdo, in cui si nega la tesi per far vedere che ciò implica la negazione dell'ipotesi, si basano su questo ragionamento.
6) La doppia implicazione: se e solo se Esempi:
A: sono maggiorenne.
B: posso votare alle elezioni.
A ↔ B: Sono maggiorenne se e solo se posso votare alle elezioni.
A: un triangolo ha tre lati congruenti.
B: un triangolo ha tre angoli congruenti.
A ↔ B: un triangolo ha tre lati congruenti se e solo se ha tre angoli congruenti.
Altre espressioni: A equivale a B, A è condizione necessaria e sufficiente per B.
6) La doppia implicazione: se e solo se
A differenza di quanto accade per la singola implicazione materiale, la doppia implicazione A ↔ B comporta che A↔B.
Esempio:
Affermare che un triangolo è isoscele se e solo ha due angoli congruenti comporta che un triangolo è scaleno se e solo se ha tutti gli angoli non congruenti.
Le espressioni logiche
Un'espressione logica è una scrittura contenente proposizioni legate da connettori.
Esempi:
A Λ B
(A V B) Λ C (A Λ B)
Le priorità da seguire tra i connettori sono date dalle parentesi;
in assenza di parentesi, vale il seguente ordine:
1) ¬ 2) Λ
3) V 4) → 5) ↔
Una tautologia è un'espressione logica che risulta sempre vera.
Esempi:
A V A A → A
Una contraddizione è un'espressione logica che risulta sempre falsa.
Esempi:
A Λ A A ↔ A
Leggi di De Morgan
1) (A Λ B) = A V B 2) (A V B) = A Λ B Esempio:
A: Paolo gioca a calcio. B: Paolo gioca a tennis.
(A Λ B) : Non è vero che Paolo gioca a calcio e a tennis, cioè Paolo non gioca a calcio o non gioca a tennis.
(A V B) : Non è vero che Paolo gioca a calcio o a tennis, cioè Paolo non gioca a calcio né gioca a tennis.
I quantificatori
Dato un insieme universo U, un quantificatore è un'espressione che afferma la validità di una determinata proprietà per un certo numero di elementi di U.
Quantificatore esistenziale: Ǝ
Afferma l'esistenza di almeno un elemento di U per cui valga una determinata proprietà.
Esempi:
Ǝ x ꞓ N | x è multiplo di 3.
Ǝ x ꞓ “triangoli” | x è equilatero.
Quantificatore universale: Ɐ
Afferma che per tutti gli elementi di U vale una determinata proprietà.
Esempi:
Ɐ x ꞓ N, x > -1.
Ɐ x ꞓ “quadrati” , x ha quattro lati uguali.
Quando si nega un'espressione contenente un quantificatore, il quantificatore esistenziale e quello universale si scambiano.
Esempi:
A: Ǝ x ꞓ N | x è divisore di 15.
A: Ɐ x ꞓ N, x non è divisore di 15.
B: Ɐ x ꞓ N0 , x è multiplo di 1.
B: Ǝ x ꞓ N0 | x non è multiplo di 1.
