ℓ h v ′ = = ′ = 2m ℓ 0.8 m/s 4 IV appello di Fisica Generale 1 – 12 Settembre 2019 Corsi di Laurea in Ingegneria Settore Informazione- Canale 4

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVA

Corsi di Laurea in Ingegneria Settore Informazione- Canale 4 IV appello di Fisica Generale 1 – 12 Settembre 2019

Cognome ________________________ Nome ________________________ Matricola ____________

Problema 1

Un’asta sottile di massa 𝑚_" = 10 kg e lunghezza è vincolata a ruotare su un piano verticale attorno al punto O a distanza dal suo centro di massa G. Inizialmente l’asta è ferma in posizione di equilibrio instabile e può ruotare liberamente. Un corpo di massa 𝑚_# = 1.5 kg colpisce l’asta nel suo estremo superiore con velocità di modulo v = 2 m/s in direzione orizzontale e prosegue il suo moto con velocità in direzione orizzontale. Determinare, sapendo che il vincolo è liscio:

1) l’energia dissipata nell’urto 𝑈_%

Calcolare inoltre, nel momento in cui l’asta passa per la posizione orizzontale, 2) la velocità angolare dell’asta

2) l’accelerazione angolare dell’asta a

3) la reazione vincolare in O F

Problema 2

Si consideri un ciclo dell’insieme delle tre macchine termodinamiche sincrone mostrate in figura, che lavorano utilizzando tre sorgenti di calore a temperatura T0 = 300 K, T1 =400 K e T2 = 500 K rispettivamente.

La macchina termica reversibile R lavora fra T1 e T0 assorbendo la quantità di calore 𝑄_"^'= 3000 J; la macchina termica irreversibile I lavora fra T2 e T0 producendo il lavoro 𝑊_.= 0.8𝑊_', dove WR è il lavoro prodotto dalla macchina R; la macchina frigorifera F ha efficienza e = 5 e assorbe tutto il calore ceduto dalle macchine termiche alla sorgente a temperatura T0, ovvero 𝑄12= −(𝑄1'+ 𝑄1.), e distribuendo equamente il calore ceduto alle altre sorgenti, ovvero 𝑄"2= 𝑄#2.

Determinare, per un ciclo:

1) il calore ceduto dalla macchina reversibile alla sorgente a temperatura T0 𝑄₁^' 2) il calore ceduto dalla macchina irreversibile alla sorgente a temperatura T0 𝑄1.

3) la variazione di entropia dell’universo Δ𝑆9

ℓ = 2m h= ℓ 4

′

v = 0.8 m/s

ω′

G O m₂

ℓ v

m1

v^‘

Q

Q

W

Q

T

R

Q

W

T

Q

Q

T

I

R

R

R

I

I I

F

Q

F F

F

IV appello di Fisica Generale 1 – 12 Settembre 2019

Problema 1

Un’asta sottile di massa 𝑚" = 10 kg e lunghezza è vincolata a ruotare su un piano verticale attorno al punto O a distanza dal suo centro di massa G. Inizialmente l’asta è ferma in posizione di equilibrio instabile e può ruotare liberamente. Un corpo di massa 𝑚" = 1.5 kg colpisce l’asta nel suo estremo superiore con velocità di modulo v = 2 m/s in direzione orizzontale e prosegue il suo moto con velocità in direzione orizzontale. Determinare, sapendo che il vincolo è liscio:

1) l’energia dissipata nell’urto 𝑈_%

Calcolare inoltre, nel momento in cui l’asta passa per la posizione orizzontale, 2) la velocità angolare dell’asta

2) l’accelerazione angolare dell’asta a

3) la reazione vincolare in O F

Soluzione

1) Conservazione del momento angolare rispetto al vincolo O per ricavare lo stato di moto dopo l’urto

𝑚#𝑣(3

4ℓ) = 𝑚#𝑣⁼(3

4ℓ) + 𝐼?𝜔 con 𝐼? = 1

12𝑚"ℓ^#+ 𝑚"(ℓ

4)^#= 5.83 kg𝑚^# 𝜔 =3𝑚#ℓ(𝑣 − 𝑣⁼)

4𝐼? = 0.463 rad/s L’energia dissipata è

𝐸_%= H1

2𝑚_#𝑣^#I − H1

2𝑚_#𝑣^=#+1

2𝐼_?𝜔^#I = 1.89 J

2) L’unica forza che ha momento meccanico rispetto al vincolo è la forza peso, per cui 𝑚_"𝑔ℓ

4= 𝐼_?𝛼 ⇒ 𝛼 =𝑚_"𝑔ℓ

4𝐼? = 8.41 rads^-2

3) Conservazione dell’energia fra istante dopo l’urto e instate in cui l’asta è verticale 1

2𝐼_?𝜔^=#=1

2𝐼_?𝜔^#+ 𝑚_"𝑔ℓ

4 ⇒ 𝜔⁼= S𝜔^#+𝑚_"𝑔ℓ

2𝐼? = 4.12 rads^T"

4) Prima equazione cardinale

𝛷VV⃗ + 𝑚"𝑔⃗ = 𝑚"𝑎⃗

Y 𝛷Z= 𝑚"𝜔^#ℓ 4 𝛷_[+ 𝑚_"𝑔 = 𝑚_"𝛼ℓ

4

Y 𝛷Z= 𝑚"𝜔^#ℓ 4= 85 N 𝛷_[= 𝑚_"𝛼ℓ

4− 𝑚_"𝑔 = −56 N 𝛷 = ]𝛷Z#+ 𝛷_[^#= 𝑚"ℓ

4^𝜔^_+ 𝛼^#= 102 N ℓ = 2m

h= ℓ 4

′

v = 0.8 m/s

ω′

G O m2

ℓ v

m1

v^‘

IV appello di Fisica Generale 1 – 12 Settembre 2019

Problema 2

Si consideri un ciclo dell’insieme delle tre macchine termodinamiche sincrone mostrate in figura, che lavorano utilizzando tre sorgenti di calore a temperatura T0 = 300 K, T1 =400 K e T2 = 500 K rispettivamente.

La macchina termica reversibile R lavora fra T1 e T0 assorbendo la quantità di calore 𝑄"'= 3000 J; la macchina termica irreversibile I lavora fra T2 e T0 producendo il lavoro 𝑊.= 0.8𝑊', dove WR è il lavoro prodotto dalla macchina R; la macchina frigorifera F ha efficienza e = 5 e assorbe tutto il calore ceduto dalle macchine termiche alla sorgente a temperatura T0, ovvero 𝑄₁²= −(𝑄₁^'+ 𝑄₁^.), e distribuendo equamente il calore ceduto alle altre sorgenti, ovvero 𝑄_"²= 𝑄_#².

Determinare, per un ciclo:

1) il calore ceduto dalla macchina reversibile alla sorgente a temperatura T0 𝑄₁^' 2) il calore ceduto dalla macchina irreversibile alla sorgente a temperatura T0 𝑄₁^.

3) la variazione di entropia dell’universo Δ𝑆₉

Soluzione

1) La prima macchina è reversibile per cui ha rendimento 𝜂_' = 1 −𝑇₁

𝑇"= 0.25 e produce il lavoro

𝑊'= 𝜂'𝑄"'= 750 J scambiando con T0 il calore

𝑄₁^'= 𝑊_'− 𝑄_"^'= −2250 J 2) Il lavoro utilizzato dalla macchina frigorifera è

𝑊₂= −(𝑊_'+ 𝑊_.) = −1.8𝑊_'= −1350 J e la sua efficienza è data da

𝑒 = −𝑄12

𝑊₂ e quindi il calore assorbe il calore

𝑄₁²= −𝑒𝑊₂= 6750 J

Data la condizione sullo scambio di calore con T0, si ricava quindi il calore ceduto alla macchina irreversibile

𝑄12+ 𝑄1'+ 𝑄1. = 0 ⟹ 𝑄1. = −𝑄12− 𝑄1'= 3600 J 3) Il calore assorbito dalla macchina irreversibile è

𝑄#. = 𝑊.− 𝑄1. = −3000 J e il calore ceduto dalla macchina frigorifera è

𝑄_"²+ 𝑄_#²= 𝑊₂− 𝑄₁² che essendo equidistribuito porge per ciascuna sorgente

𝑄"2= 𝑄#2=𝑊₂− 𝑄₁²

2 = −4050 J

e poiché la sorgente a temperatura T0 non scambia calore, la variazione di entropia dell’universo è

Δ𝑆₉= −𝑄"'+ 𝑄"2

𝑇" −𝑄#.+ 𝑄#2

𝑇# = 16.725 J/K

Q

Q

W

Q

T

R

Q

W

T

Q

Q

T

I

R

R

R

I

I I

F

Q

F F

F