UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVA Corsi di Laurea in Ingegneria Elettronica e Ingegneria dell’Informazione Canale 4 IV appello di Fisica Generale 1 – 5 Febbraio 2021

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Corsi di Laurea in Ingegneria Elettronica e Ingegneria dell’Informazione Canale 4

IV appello di Fisica Generale 1 – 5 Febbraio 2021

Cognome _____________________ Nome _________________________ Matricola _______________

Problema 1

Un corpo di massa m giace sun piano inclinato dell’angolo 𝜃 rispetto all’orizzontale. Il piano è scabro con coefficiente di attrito dinamico fra piano e corpo µ. Il corpo è collegato ad un piolo fisso, posto alla base del piano inclinato, tramite un filo inestensibile, di massa trascurabile e lunghezza d. All’istante 𝑡

= 0 viene applicata al corpo, in quiete alla base del piano inclinato, una forza 𝐹 = 𝑘𝑡 in direzione parallela al piano inclinato, che lo trascina verso l’alto, facendo tendere la fune all’istante

𝑡

. Determinare:

1) la velocità del corpo nel momento in cui la fune si tende v

2) il lavoro fatto dalla forza F nell’intervallo di tempo [𝑡

, 𝑡

] 𝑊

La corda si spezza istantaneamente e il corpo prosegue con velocità 𝑣′

< 𝑣

. Determinare;

3) l’impulso esercitato dal piolo i

Sono noti i valori di m, d, q, µ, k, 𝑡

e 𝑣′

, oltre alle costanti fondamentali.

Esprimere i risultati solo in termini di queste grandezze (utilizzare anche v

per le altre risposte).

1) Equazione del moto del corpo

𝐹 − 𝑚𝑔 sin 𝜃 − 𝜇𝑚𝑔 cos 𝜃 = 𝑚𝑎 𝑘𝑡 − 𝑚𝑔 sin 𝜃 − 𝜇𝑚𝑔 cos 𝜃 = 𝑚 𝑑𝑣

𝑑𝑡 per cui

: (𝑘𝑡 − 𝑚𝑔 sin 𝜃 − 𝜇𝑚𝑔 cos 𝜃)𝑑𝑡

$_!

!

= : 𝑚𝑑𝑣

%_!

!

e quindi integrando

𝑘𝑡

2 − 𝑚𝑔(sin 𝜃 + 𝜇 cos 𝜃)𝑡

= 𝑚𝑣

si ricava

𝑣

= 𝑘𝑡

2𝑚 − 𝑔(sin 𝜃 + 𝜇 cos 𝜃)𝑡

2) Utilizzando il bilancio energetico 𝑊

= 1

2 𝑚𝑣

+ 𝑚𝑔𝑑 sin 𝜃 + 𝜇𝑚𝑔𝑑 cos 𝜃

3) Il teorema dell’impulso porge

𝑖 = 𝑚(𝑣′

− 𝑣

) θ

m F

d

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Problema 2

Un cilindro omogeneo di massa m e raggio R è appoggiato su un piano scabro. Tramite un meccanismo non mostrato in figura, si applica al cilindro una forza orizzontale 𝐹

a distanza r sopra il centro del cilindro, sulla verticale passante per il suo centro O.

a) Qual è l’intensità della forza di reazione vincolare F nel punto P se si applica alla periferia del cilindro una forza verticale 𝐹

tale da mantenerlo fermo?

Si toglie istantaneamente la forza 𝐹

e il cilindro inizia un moto di puro rotolamento b) Qual è il minimo coefficiente di attrito statico µ fra piano e cilindro?

Sono noti i valori di m, R, r e 𝐹

, oltre alle costanti fondamentali

Esprimere i risultati solo in termini di queste grandezze (utilizzare anche 𝐹

una volta determinato).

a) La seconda equazione cardinale, scegliendo come polo P, porge 𝑟⃗

× 𝐹⃗

+ 𝑟⃗

× 𝐹⃗

= 0 ovvero, per i moduli,

𝑟

𝐹

+ 𝑟

𝐹

sin D 𝜋

2 + 𝜃F = 0 dove 𝑟

= 𝑟 + 𝑅 e, poiché q = p/4, 𝑟

sin 𝜃 = 𝑅 per cui

𝐹

= 𝑟

𝑟

sin 𝜃 𝐹

⟹ 𝐹

= 𝑟 + 𝑅

𝑅 𝐹

La prima equazione cardinale

𝑚𝑔⃗ + 𝑁JJ⃗ + 𝐹⃗

+ 𝐹⃗

+ 𝐹⃗

= 0 porge

K 𝑁 = 𝑚𝑔 − 𝐹

𝐹

= 𝐹

e quindi la reazione vincolare è

𝛷 = M𝑁

+ 𝐹

= M(𝑚𝑔 − 𝐹

)

+ 𝐹

b) Tolta la forza orizzontale, le equazioni del moto diventano 𝑟⃗

× 𝐹⃗

= 𝐼

𝛼⃗

𝑚𝑔⃗ + 𝑁JJ⃗ + 𝐹⃗

+ 𝐹⃗

= 𝑚𝑎⃗

dove, se il moto è di puro rotolamento, 𝑎

= 𝛼𝑅, per cui dalla seconda equazione cardinale si ottiene

𝑅𝐹

= 3

2 𝑚𝑅

𝛼 = 3

2 𝑚𝑅

𝑎

𝑅 ⇒ 𝑎

= 2 3

𝐹

𝑚 mentre la prima equazione cardinale porge

R

𝑁 = 𝐹

− 𝑚𝑔 𝐹

= 𝑚𝑎

= 2

3 𝐹

La condizione di puro rotolamento è soddisfatta se 𝐹

= 2

3 𝐹

≤ 𝜇𝑁 = 𝜇(𝑚𝑔 − 𝐹

)

per cui il coefficiente di attrito statico deve essere

F

G R

P

F

r

µ ≥ 2 3

𝐹

𝑚𝑔 − 𝐹

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Problema 3

Un recipiente adiabatico è chiuso superiormente da un pistone adiabatico e diviso in due parti A e B da un setto diatermico fisso. Sia in A che in B sono contenute n moli di un gas ideale di capacità molare a volume costante 𝑐

in equilibrio termodinamico. Temperatura e volume del gas in B sono rispettivamente 𝑇

e 𝑉

. Si comprime il gas applicando una pressione esterna 𝑝

> 𝑝

costante fino alla nuova situazione di equilibrio. Determinare:

1) la temperatura finale del gas contenuto in B T

2) la variazione di entropia dell’universo Δ𝑆

Sono noti i valori di 𝑝

, 𝑇

, 𝑉

, n e 𝑐

, oltre alle costanti fondamentali.

Esprimere i risultati solo in termini di queste grandezze (utilizzare anche 𝑇

per la seconda risposta).

1) La trasformazione avviene a causa di una differenza finita di pressione fra l’esterno e il gas in B, con il volume di B che varia, mentre quello di A resta costante. Pertanto, la trasformazione in A è isocora irreversibile, quella in B è irreversibile, anche se non canonica, e quella del sistema A+B è invece adiabatica irreversibile. Considerando pertanto il sistema complessivo che compie un’adiabatica, essendo nullo il lavoro del gas in A, si ha

𝑊

+ Δ𝑈

+ Δ𝑈

= 0

E, osservando che le temperature iniziale e finale sono le stesse nei due comparti, si ha

𝑝

(𝑉

− 𝑉

) + 𝑛𝑐

(𝑇

− 𝑇

) + 𝑛𝑐

(𝑇

− 𝑇

) = 0

dove 𝑉

è il volume di B al termine della trasformazione. Sviluppando i calcoli, e ricordando che la pressione finale in B è 𝑝

= 𝑝

,

𝑝

𝑉

− 𝑝

𝑉

+ 2𝑛𝑐

𝑇

− 2𝑛𝑐

𝑇

= 0

𝑛𝑅𝑇

− 𝑝

𝑉

+ 2𝑛𝑐

𝑇

− 2𝑛𝑐

𝑇

= 0

si ottiene risolvendo per 𝑇

𝑇

= 𝑝

𝑉

+ 2𝑛𝑐

𝑇

𝑛𝑅 + 2𝑛𝑐

= 0

2) La variazione dell’entropia dell’universo è pari alla somma delle variazioni di entropia dei due gas, perché l’ambiente non scambia calore, per cui

Δ𝑆

= Δ𝑆

+ Δ𝑆

= 𝑛𝑐

ln 𝑇

𝑇

+ 𝑛𝑐

ln 𝑇

𝑇

+ 𝑛𝑅ln 𝑉

𝑉

= 2𝑛𝑐

ln 𝑇

𝑇

+ 𝑛𝑅ln 𝑛𝑅𝑇

𝑝

𝑉

dove abbiamo utilizzato l’equazione di stato dei gas ideali nello stato finale di B.

p

B

A

T