UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVA Corsi di Laurea in Ingegneria Settore Informazione- Canale 4 I prova di accertamento di Fisica Generale 1 – 22 Aprile 2017

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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVA

Corsi di Laurea in Ingegneria Settore Informazione- Canale 4 I prova di accertamento di Fisica Generale 1 – 22 Aprile 2017

Cognome _____________________ Nome _________________________ Matricola _______________

Problema 1

Un corpo puntiforme sale su un piano scabro (coefficiente di attrito dinamico μ = 0.3) inclinato di θ = 30° con l'orizzontale e alto h = 80 cm. Giunto sulla sommità il corpo si stacca dal piano e raggiunge la sua massima altezza dopo essersi spostato in orizzontale di d = 40 cm Determinare:

1) il modulo della velocità del corpo sulla sommità del piano inclinato v 2) il modulo della velocità del corpo alla base del piano inclinato v₀ 3) il tempo impiegato dal corpo a raggiungere il punto di massima altezza

dall’istante in cui si trova alla base del piano t

θ

v₀ h

y

d

x

1) Dopo avere abbandonato il piano il corpo si muove di moto parabolico raggiungendo la massima altezza all’istante in cui la componente verticale della sua velocità si annulla

d= v cosθ t v_y= v senθ − gt = 0

⎧⎨

⎩⎪

Eliminando il parametro tempo t= d

v cosθ ⇒ v senθ − g d

v cosθ = 0 ⇒ v = gd

senθ cosθ = 3 m/s 2) Applicando il bilancio energetico fra la base e la sommità del piano

1

2mv²+ mgh −1

2mv₀² = −µmg cosθ ^h senθ v₀ = v²+ 2gh +2µgh

tanθ ^{= 5.37 m/s}

3) Equazione del moto del corpo nel moto sul piano per ricavare l’accelerazione

−mg senθ − µmg cosθ = ma ⇒ a = −g senθ + µ cosθ( )== 7.45 m/s² per cui il tempo è

t=v₀− v

a + d

v cosθ ^{= 0.52 s}

(2)

Problema 2

Due punti materiali di massa m = 0.2 kg sono connessi fra loro da una molla ideale di massa trascurabile, costante elastica k = 25 N/m e lunghezza a riposo ⁰ = 20 cm. All’istante t = 0 i due corpi si trovano fermi alla medesima altezza lungo il diametro una guida circolare liscia di raggio R = ⁰, posta su un piano verticale, e sono vincolati a muoversi su di essa. Si lasciano i corpi liberi di muoversi. Determinare:

1) la velocità con cui i corpi passano nella posizione di riposo della molla v 2) la reazione vincolare su ciascun corpo in questa posizione R

3) l’accelerazione di ciascun corpo in questa posizione a

m m

1) I corpi scendono con la stessa accelerazione, per cui restano costantemente alla medesima altezza.

Conservazione dell’energia meccanica fra l’istante iniziale e l’istante in cui la molla è a riposo 1

2kR²+ 2mgh = 2 1 2mv²

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

con h= R²− R 2

( )

² ⁼ ^{R 3}₂

per cui 1

2kR²+ 2mgh = 2 1 2mv²

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

v= kR²

2m + gR 3 = 2.44 m/s

2-3) Equazione del moto in posizione di riposo della molla per uno qualsiasi dei corpi N− mg cosθ = ma_n= m v² R

g senθ = ma_t

⎧⎨

⎪

⎩⎪

N− mg 3

2 = ma_n= m v² R g

2= ma_t

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪

⎪

⇒

N= m v² R + g 3

2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟= 7.65 N a= v⁴

R² +g²

4 = 30.17 m/s²

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

R R/2

θ h

(3)

Problema 3

Si consideri un corpo puntiforme di massa m = 0.2kg posto nella posizione P≡ x

(

₀, y₀

)

^{≡ 1, 3}( ) su un piano in cui agisce una forza la cui energia potenziale è data dall’espressione

U= k senθ r² + cost con k = 1.975 m^-2. Determinare:

1) l’accelerazione subita dal corpo a

La forza agente sul corpo è F_r = − ∂U

∂r _P =2k senθ₀ r₀³ F_θ = −1

r

∂U

∂θ _P = k cosθ₀ r₀³

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⇒ F = F_r²+ F_θ² = k

r₀³ 4 sen²θ₀+ cos²θ₀

con r₀ = x

(

₀²+ y₀²

)

¹² = 3.16 m, senθ₀ = y₀

r₀ = 0.949, cosθ₀= x₀

r₀ = 0.316. per cui l’accelerazione è

a= F m= k

mr₀³ 4 sen²θ₀+ cos²θ₀ = 0.6 m/s²

(4)

Problema 4

Un corpo puntiforme di massa m = 0.5 kg, appoggiato su un piano liscio, è collegato ad un vincolo O tramite un’asta rigida di massa trascurabile e lunghezza = 0.5 m. Il vincolo è scabro presentando in O un momento d’attrito costante di modulo M_Att = 0.01 Nm. Il corpo, inizialmente a riposo, viene messo in moto tramite un motore che applica in O un momento meccanico costante fornendo globalmente l’energia U = 4 J. Sapendo che il motore funziona per N = 20 rivoluzioni del corpo, calcolare

1) la velocità angolare del corpo quando il motore viene spento ω

2) il modulo del momento motore Mmot

3) la potenza media sviluppata dal motore P

z

m ω O

1) Bilancio energetico

W_mot+ W_Att =∆Ec U− 2π NM_Att = 1

2mv²= 1 2mω²² ω = 2U− 4π NM_Att

m² = 6.625 rad/s 2) Lavoro fatto da un momento motore

W = M_motθ ⇒ U = M_mot2π N ⇒ M_mot = U

2π N = 0.032 Nm 3) Equazione dei momenti

M_O=dL_O

dt ⇒

(

M_mot− M_Att

)

^t^{= m}²^ω

da cui si ricava il tempo di funzionamento del motore t= m²ω

M_mot− M_Att = 37.9 s per cui la potenza media del motore è

P =W t =U

t = 105 mW