UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVA Corsi di Laurea in Ingegneria Settore Informazione- Canale 4 II prova di accertamento di Fisica Generale 1 – 9 Giugno 2017

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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVA

Corsi di Laurea in Ingegneria Settore Informazione- Canale 4 II prova di accertamento di Fisica Generale 1 – 9 Giugno 2017

Cognome _____________________ Nome _________________________ Matricola _______________

Problema 1

Un disco di raggio R = 20 cm è vincolato nel suo centro O. Attorno al disco è avvolto un filo inestensibile e di massa trascurabile cui sono collegati in sequenza, tramite un secondo filo inestensibile e di massa trascurabile, due corpi di massa m = 200 g ciascuno. Il vincolo è liscio e il momento d’inerzia rispetto all’asse del disco è I = 0.02 kgm^2.. All’istante t0 il disco è fermo e il sistema viene lasciato libero di muoversi. Calcolare:

1) l’accelerazione angolare del disco

α

All’istante t1 = 10 s si applica al sistema un freno che agisce con un momento meccanico rispetto al vincolo di modulo

M

_F

= 0.4 Nm.

Il freno agisce finché il momento angolare del sistema rispetto all’asse di rotazione diventa

′

L

_O

= 9 kgm

²

s

⁻¹ . Calcolare

2) l’intervallo di tempo per cui ha agito il freno

∆t

O

m m

1) II equazione cardinale del sistema

2mgR = (I + 2mR

²

)α ⇒ α = 2mgR

I + 2mR

²

= 21.8 rad/s

²

2) La velocità angolare del disco all’istante t1 è

ω = αt

₁

= 218 rad/s

. Dalla seconda equazione cardinale in presenza del freno

∆L

_O

= M

_O

∆t ⇒ ∆t = L

_O

′ − I + 2mR (

²

) ^ω

2mgR − M

_F

= 3 s

oppure si può calcolare la nuova accelerazione angolare

2mgR − M

_F

= (I + 2mR

²

) α ⇒ ′ α = ′ 2mgR − M

_F

I + 2mR

²

= 10.7 rad/s

² e si utilizza la legge oraria

′

ω = L

_O

′

I + 2mR

²

= ω + ′ α ∆t ⇒ ∆t =

′ L

_O

I + 2mR

²

− ω

α ′ = 3 s

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Problema 2

Un corpo di massa m = 400 g e volume V = 10 cm³, viene lanciato verticalmente, utilizzando un opportuno meccanismo, dentro un liquido ideale la cui densità varia con la profondità secondo la legge

ρ = ρ

₀

+ kx

con

ρ

₀

= 10

⁴

kg/m

³ e

k = 2500 kg/m

⁴

.

Si misura la velocità vA = 3 m/s al passaggio del corpo a profondità xA = 50 cm. Il corpo è collegato ad una fune inestensibile e di massa trascurabile che si tende a profondità xB = 2.5 m, facendo rimbalzare istantaneamente il corpo con velocità

′

v

_B

= −2 m/s ( ) ^u

x

.

Determinare:

1) la velocità del corpo un attimo prima che la fune si tenda v_B

2) l’impulso subito dal corpo quando la fune si tende i

m

x x_A

x_B

1) Equazione del moto del corpo nel fluido

mg−

ρ

gV= ma

per cui il corpo si muove con accelerazione

a= g −

( ρ

0+ kx

)

^gV_m

Per definizione di accelerazione

a=dv dt = dv

dx dx dt = vdv

dx e quindi

x_A

a dx

x_B

∫ ⁼

v_A

^{v dv}

vB

∫ ^⇒ ^g ⁻ ⁽ ^ρ

⁰

^{+ kx} ⁾ ^gV m

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥ dx

x_A x_B

∫ ⁼

v_A

^{v dv}

vB

∫

Integrando

g − ρ

⁰

gV m

⎛ ⎝⎜ ⎞

⎠⎟ ( x

_B

− x

_A

) ⁻ ^kgV

m x

²_B

2 − x

²_A

2 ⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = 1 2 v

_B²

− 1

2 v

_A² da cui

v_B = v_A² + 2 g −

ρ

0gV m

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

(

x_B− x_A

)

⁻^kgV_m

(

^x²B− x²_A

)

^{= 5.9 m/s}

oppure si può scrivere direttamente il bilancio energetico

W

_Arch

= ∆U

_g

+ ∆E

_c con

W

_Arch

= F

_Arch

id

r = −

A

∫

B x_A

⁽ ^ρ

⁰

^{+ kx} ⁾ ^{gV dx}

x_B

∫ ^{= −ρ}

⁰

^{gV x} ⁽

^B

^{− x}

^A

⁾ ^{− kgV} ^x 2

²^B

− x

²_A

2 ⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

per cui

(3)

−

ρ

0gV x

(

_B− x_A

)

^{− kgV x}

(

²B − x²_A

)

^{= −mg x}

⁽

^B^{− x}^A

⁾

⁺¹₂^mv^B² ⁻¹₂^mv^A²

e infine

v

_B

= v

_A²

+ 2g x (

_B

− x

_A

) ⁻ ^2ρ _m

⁰

^gV ( ^x

B

− x

_A

) ⁻ ^kgV _m ( ^x

²B

− x

²_A

) ^{= 5.9 m/s}

2) Teorema dell’impulso

i = m ′ v

_B

− mv

_B

= m ′ ( v

_B

− v

_B

) ^{= −3.16 Ns}

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Problema 3

Il seguente ciclo termico utilizza n = 2 moli di gas perfetto monoatomico:

AB: compressione isobara reversibile da T_A= 200 K fino a T_B = 300 K

BC: raffreddamento isocoro in contatto con un serbatoio di calore a temperatura T_C = 100 K CD: espansione isoterma reversibile

DA: riscaldamento isocoro in contatto con un serbatoio di calore a temperatura T_A Calcolare:

1) il calore scambiato nella trasformazione isoterma QCD

2) il rendimento del ciclo

η

3) la variazione di entropia dell'universo nel ciclo

∆S

_u

C p

V B

A

D

1)Il calore scambiato nell’isoterma reversibile è

Q

_CD

= nRT

_C

ln V

_D

V

_C ma, dalla trasformazione AB (isobara reversibile) si ha

V_A T_A =V_B

T_B con V_A = V_D V_B = V_C

⎧⎨

⎩ ⇒ V_D

T_A =V_C

T_B ⇒ V_D V_C =T_A

T_B da cui si ottiene

Q

_CD

= nRT

_C

ln T

_A

T

_B

= −674 J ( < 0 ceduto )

2) Il calore scambiato nelle altre trasformazioni è:

per la trasformazione AB (isobara irreversibile)

Q

_AB

= nc

_p

( T

_B

− T

_A

) ^{= 4155 J} ( > 0 assorbito )

per la trasformazione BC (isocora irreversibile)

Q

_BC

= nc

_v

( T

_C

− T

_B

) ^{= −4986 J} ( < 0 ceduto )

infine per la trasformazione DA (isocora irreversibile) con TD = TC

Q

_DA

= nc

_v

( T

_A

− T

_D

) ^{= 2493 J} ( > 0 assorbito )

per cui il rendimento del ciclo è

η = 1+ Q

_c

Q

_a

= 1+ Q

_BC

+ Q

_CD

Q

_AB

+ Q

_DA

= 0.149

(5)

3) La variazione di entropia dell’universo nel ciclo è pari alla somma delle variazioni di entropia dell’universo nelle trasformazioni irreversibili

∆S

_u

= ∆S

_u^BC

+ ∆S

_u^DA

= nc

_v

ln T

_C

T

_B

− Q

_BC

T

_C

+ nc

_v

ln T

_A

T

_D

− Q

_DA

T

_A

= 27.3 J/K

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