UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVA Corsi di Laurea in Ingegneria Elettronica e Ingegneria dell’Informazione Canale 4 I appello di Fisica Generale 1 – 18 Giugno 2020

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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVA

Corsi di Laurea in Ingegneria Elettronica e Ingegneria dell’Informazione Canale 4

I appello di Fisica Generale 1 – 18 Giugno 2020

Cognome _____________________ Nome _________________________ Matricola _______________

Problema 1

Un’automobile di massa m si muove su una guida liscia formata da una superficie piana di lunghezza ℓ e una superficie circolare di raggio R. Il motore dell’automobile esercita una forza motrice costante F sempre tangenziale alla superficie di contatto. Sapendo che è partita con velocità iniziale nulla, determinare, quando si trova nel punto P della circonferenza che forma l’angolo q con l’orizzontale:

1) la sua velocità v

2) il modulo della sua accelerazione a

Sono noti i valori di m, ℓ, R, F e q, oltre alle costanti fondamentali.

Esprimere i risultati solo in termini di queste grandezze (utilizzare anche v per la seconda risposta).

1) Applichiamo il bilancio energetico fra posizione iniziale e posizione finale 𝐹 #ℓ + 𝑅 &𝜋

2+ 𝜃*+ =1

2𝑚𝑣^!+ 𝑚𝑔(𝑅 + 𝑅 sin 𝜃) da cui

𝑣 = 62

𝑚7𝐹 #ℓ + 𝑅 &𝜋

2+ 𝜃*+ − 𝑚𝑔𝑅(1 + sin 𝜃)9 2) Le forze agenti sull’automobile sono la forza motrice del motore, la forza peso e la reazione normale della superficie. In direzione tangenziale abbiamo

𝐹 − 𝑚𝑔 cos 𝜃 = 𝑚𝑎_"

per cui lecomponenti dell’accelerazione in coordinate intrinseche sono

=𝑎_"= 𝐹

𝑚− 𝑔 cos 𝜃 𝑎_#=𝑣^! e quindi l’accelerazione ha modulo 𝑅

𝑎 = >𝑎_"^!+ 𝑎_#^!= 6?𝐹

𝑚− 𝑔 cos 𝜃@

!

+𝑣^$ 𝑅^! R

l

F m P

mg F

N u_t

u_n

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Problema 2

Una ruota non omogenea di raggio R è vincolata a ruotare senza attrito attorno all’asse di simmetria normale alla ruota e passante per il suo centro O, posto sul piano orizzontale. Il momento d’inerzia della ruota relativo a questo asse è I. Attorno alla ruota è avvolto un filo inestensibile, di massa trascurabile, cui è collegato un corpo di massa m. Lasciando il sistema libero di muoversi, si osserva che il filo si stacca dopo un intervallo di tempo Dt. Calcolare:

a) la velocità angolare raggiunta dalla ruota nel tempo Dt w

Successivamente si agisce sul disco con un ceppo la cui superficie a contatto col disco è molto più piccola della superficie della ruota, per cui si può assumere che l’attrito agisca a distanza h dal centro della ruota. Si osserva che il disco si ferma dopo avere compiuto N giri. Sapendo che il coefficiente di attrito dinamico è µ e che la forza F applicata al ceppo è sempre normale alla ruota,

b) il modulo della forza agente sul ceppo F

Sono noti i valori di R, I, m, Dt, h, N e µ, oltre alle costanti fondamentali

Esprimere i risultati solo in termini di queste grandezze (utilizzare anche w per la seconda risposta).

a) La seconda equazione cardinale rispetto al vincolo porge 𝑚𝑔𝑅 = 𝐼_%&%𝛼 ⇒ 𝛼 = 𝑚𝑔𝑅

𝐼 + 𝑚𝑅^!

per cui, trattandosi di un moto circolare uniformemente accelerato, la velocità angolare finale è ω = 𝛼Δ𝑡 = 𝑚𝑔𝑅

𝐼 + 𝑚𝑅^!𝛥𝑡

b) Le approssimazioni suggerite dal problema implicano che la forza di attrito dinamico 𝐹_'= 𝜇𝐹 agisce sempre tangenzialmente al disco a distanza h dal suo centro e ha quindi momento meccanico costante 𝑀(""= 𝐹_'ℎ = 𝜇𝐹ℎ resistente.

Applicando il bilancio energetico fra l’istante in cui la ruota arriva a velocità massima e l’istante in cui si ferma, considerando che il corpo m non è più collegato alla ruota, si ottiene pertanto,

−𝑀(""2𝜋𝑁 = −𝜇𝐹ℎ2𝜋𝑁 = −1 2𝐼𝜔^! e il modulo della forza è

𝐹 = 𝐼𝜔^! 4𝜋𝑁𝜇ℎ

m

O F

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Problema 3

All’interno di un recipiente indeformabile con un pistone mobile, di capacità termica C, sono contenute n moli di una miscela di gas ideali. Il recipiente, diatermico, è immerso in un ambiente a temperatura costante T0. Si sposta lentamente il pistone fino a raddoppiare il volume del gas scambiando il lavoro W. Determinare:

1) la temperatura dell’ambiente T0

Successivamente si isola termicamente l’esterno del recipiente dall’ambiente circostante e si riporta lentamente il gas al volume iniziale. Ricordando che recipiente e gas sono in costante contatto termico, determinare

2) la temperatura finale del gas T

Sono noti i valori di C, n, W e i dati caratteristici della miscela (cv. cp e g) oltre alle costanti fondamentali.

Esprimere i risultati solo in termini di queste grandezze (utilizzare anche T0 per la seconda risposta).

1) Durante tutta la trasformazione le temperature dell’ambiente, del recipiente e del gas restano in equilibrio

Si tratta di una trasformazione isoterma reversibile in cui ambiente e recipiente non cambiano stato, per cui basta considerare la trasformazione del gas che si porta al volume 𝑉 = 2𝑉₎ compiendo il lavoro

𝑊 = 𝑛𝑅𝑇₎ln𝑉

𝑉)= 𝑛𝑅𝑇₎ln2 per cui la temperatura dell’ambiente è

𝑇₎= 𝑊 𝑛𝑅ln2

2) La seconda trasformazione è reversibile, ma non ci sono elementi sufficienti a determinare il tipo di trasformazione per il gas. Si può però considerare il sistema costituito da recipiente e gas osservando che non scambia calore con nessuna sorgente di calore, visto che l’ambiente non partecipa. Tale sistema subisce quindi una trasformazione adiabatica reversibile e la sua variazione di entropia è nulla

Δ𝑆*+,-.-+#"++ Δ𝑆_/(0= 0 ⟹ 𝐶 ln𝑇

𝑇₎+𝑛𝑐₁ln𝑇

𝑇)+ 𝑛𝑅ln𝑉₎ 𝑉 = 0 dove per il gas ideale abbiamo usato l’espressione generica della sua variazione di entropia.

Risolvendo si ricava

T = 𝑇₎𝑒^#234).6^78#,^!