RISOLUZIONE 1. Sia (a

(1)

RISOLUZIONE

1. Sia (a _n ) _n _2N successione positiva e infinitesima tale che ^a

ⁿ⁺¹

_a

n

! ` 2 R per n ! +1. Allora l’a↵ermazione A `e vera. Infatti se per assurdo ` > 1, dal criterio del rapporto avremo che a _n ! +1 per n ! +1 contro l’ipotesi che la successione `e infinitesima.

L’a↵ermazione A `e invece falsa, infatti la successione a n = _n ¹ `e positiva e infinitesima ma

a

n+1

a

n

= _n+1 ⁿ ! ` = 1 per n ! +1.

L’a↵ermazione C `e vera. Infatti, essendo ^a

ⁿ⁺¹

_a

_n

! ` 2 R per n ! +1 e ` 6= 1, se ` < 1 dalla definizione di limite, preso " 2 (0, 1 `) avremo che esiste n ₀ 2 N tale che ^a

ⁿ⁺¹

_a

_n

< ` + " < 1 per ogni n n ₀ e dunque, essendo a _n > 0 per ogni n 2 N, che a n+1 < a _n per ogni n n ₀ . In modo analogo, se ` > 1 avremo che esiste n 0 2 N tale che ^a

ⁿ⁺¹

_a

_n

> 1 per ogni n n 0 e quindi che a _n+1 > a _n per ogni n n ₀ .

2. Calcoliamo il limite lim

n!+1

n ²ⁿ

n! utilizzando il criterio del rapporto. Posto a _n = ⁿ _n!

²ⁿ

, per n ! +1 abbiamo

a _n+1

a _n = (n + 1) ²ⁿ⁺² (n + 1)! · n!

n ²ⁿ =

✓ 1 + 1

n

◆ 2n (n + 1) ²

n + 1 ! +1

dato che 1 + ¹ _n ²ⁿ ! e ² . Dunque, essendo ` > 1, dal criterio del rapporto possiamo concludere che lim

n !+1

n ²ⁿ

n! = + 1.

3. Applichiamo il criterio del rapporto alla successione a _n = 2 ^n!

n ⁿ . Per n ! +1 abbiamo a _n+1

a n

= 2 ^(n+1)!

(n + 1) ⁿ⁺¹ · n ⁿ

2 ^n! = 1 1 + _n ¹ ⁿ

2 ^{(n+1)! n!}

n + 1 = 1

1 + ¹ _n ⁿ 2 ^n!·n

n ⇠ 1 e

2 ^n!·n

n ! +1

in quanto per ogni n 2 N si ha che ²

^n!

_n

^·n

² _n

ⁿ

e che per n ! +1 risulta ² _n

ⁿ

! +1 per il limite notevole della gerarchia degli infiniti. Quindi, dal criterio del rapporto, possiamo concludere che

n !+1 lim 2 ^n!

n ⁿ = + 1.

4. Posto a _n = _(3n)! ²

ⁿ²

, calcoliamo il limite del rapporto ^a

ⁿ⁺¹

_a

n

per n ! +1. Dai limiti della gerarchia degli infiniti per n ! +1 risulta

a _n+1 a n

= 2 ⁽ⁿ⁺¹⁾

²

(3n + 3)! · (3n)!

2 ⁿ

²

= 2 ²ⁿ⁺¹

(3n + 3)(3n + 2)(3n + 1) ⇠ 2 27

4 ⁿ

n ³ ! +1 pertanto, dal criterio del rapporto, possiamo concludere che lim

n !+1 a _n = + 1.

5. Calcoliamo, al variare di ↵ 2 R, il limite lim _n

!+1

n ⁿ log n

(n!) ^↵ . Posto a _n = ⁿ _(n!)

ⁿ

^{log n}

↵

abbiamo che a _n+1

a _n = (n + 1) ⁿ⁺¹ log(n + 1)

((n + 1)!) ^↵ · (n!) ^↵ n ⁿ log n =

✓ 1 + 1

n

◆ n

1 (n + 1) ^{↵ 1}

log(n + 1)

log n .

26

(2)

Osservato che per n ! +1 risulta ^log(n+1) _{log n} ! 1 e che 1 + ¹ _n ⁿ ! e, otteniamo

a _n+1

a n ⇠ e

(n + 1) ^{↵ 1} ! 8 >

<

> :

0 se ↵ > 1 e se ↵ = 1 + 1 se ↵ < 1 Essendo e > 1, dal criterio del rapporto possiamo quindi concludere che

n !+1 lim a _n =

( 0 se ↵ > 1 + 1 se ↵  1

6. Per calcolare il limite lim

n !+1

n ^↵n

(2n)! al variare di ↵ 2 R, poniamo nuovamente a n = _(2n)! ⁿ

^↵n

e calcoliamo il limite del rapporto

a n+1

a _n = (n + 1) ^↵n+↵

(2n + 2)! · (2n)!

n ^↵n =

✓ 1 + 1

n

◆ ↵n

(n + 1) ^↵ (2n + 2)(2n + 1) Per n ! +1 otteniamo allora

a _n+1 a n ⇠ e ^↵

4 n ^{↵ 2} ! 8 >

<

> :

+ 1 se ↵ > 2

e

²

4 se ↵ = 2 0 se ↵ < 2 e quindi, essendo e ² > 4, che

n !+1 lim a _n =

( + 1 se ↵ 2 0 se ↵ < 2

7. Utilizziamo ancora il criterio del rapporto per calcolare il limite della successione a _n = _{(2n)! ↵} ⁿ

ⁿ n

al variare di ↵ > 0. Per n ! +1 abbiamo a _n+1

a _n = (n + 1) ⁿ⁺¹ (2n + 2)! ↵ ⁿ⁺¹

(2n)! ↵ ⁿ n ⁿ =

✓ 1 + 1

n

◆ n n + 1 (2n + 2)(2n + 1)

1 ↵ ⇠ e 4↵

1 n ² ! 0, 8↵ > 0 e quindi che lim

n !+1

n ⁿ

(2n)! ↵ ⁿ = 0 per ogni ↵ > 0.

8. Osservato che, dai limiti notevoli della gerarchia degli infiniti, per n ! +1 risulta n ⁿ >> n! >> 4 ⁿ = 2 ²ⁿ >> n ² >> log n

e che n ²ⁿ >> n ⁿ , essendo _n ⁿ

2nⁿ

= _n ¹

n

! 0, abbiamo che n ² 3 log n + 2 ²ⁿ

n! n ²ⁿ = 2 ²ⁿ n ²ⁿ ·

n

²

2

²ⁿ

3 ^{log n} _n

_2n

+ 1

n!

n

²ⁿ

1 ! 0

27

(3)

9. Per calcolare il limite lim

n !+1

n ² (1 cos ₂ ¹

n

)

log(1 + _n! ¹ ) osserviamo che per n ! +1 risulta n ² (1 cos ₂ ¹

n

)

log(1 + _n! ¹ ) ⇠ n ^{2 1} ₂

n

1 n!

= n ² · n!

2 ⁿ ! +1 dato che n! >> 2 ⁿ e dunque ₂ ^n!

n

! +1.

10. Per calcolare lim

n!+1

log cos _n! ¹ sin ¹

3

ⁿ²

, notiamo che per n ! +1 si ha

log cos _n! ¹ sin ¹

3

ⁿ²

⇠ cos _n! ¹ 1

1 3

ⁿ²

⇠

1 2 1

(n!)

²

1 3

ⁿ²

= 1

2 · 3 ⁿ

²

(n!) ²

Usiamo il criterio del rapporto per determinare il comportamento della successione a n = _(n!) ³

ⁿ²2

. Per n ! +1 abbiamo

a _n+1

a _n = 3 ⁽ⁿ⁺¹⁾

²

((n + 1)!) ²

(n!) ²

3 ⁿ

²

= 3 ²ⁿ⁺¹

(n + 1) ² ⇠ 3 · 9 ⁿ

n ² ! +1

essendo 9 ⁿ >> n ² . Quindi dal criterio del rapporto a _n ! +1 e dunque anche ^log ( ^cos

_n!¹

)

sin

¹

3n2

! 1.

11. Calcoliamo lim

n !+1

log(e ⁿ + 1)

n ^↵ al variare di ↵ 2 R. Per n ! +1 risulta log(e ⁿ +1) ⇠ n in quanto log(1 + e ⁿ )

n = log(e ⁿ (1 + _e ¹

n

))

n = log(e ⁿ ) + log(1 + _e ¹

n

)

n = 1 + log(1 + _e ¹

n

)

n ! 1

dato che log(1 + _e ¹

n

) ! 0. Otteniamo quindi che log(e ⁿ + 1)

n ^↵ ⇠ n

n ^↵ = 1 n ^{↵ 1} !

8 >

<

> :

0 se ↵ > 1 1 se ↵ = 1 + 1 se ↵ < 1

12. Per calcolare lim

n!+1

3 ⁿ

²

RISOLUZIONE 1. Sia (a

RISOLUZIONE

1. Sia (a n ) n 2N successione positiva e infinitesima tale che a

a

! ` 2 R per n ! +1. Allora l’a↵ermazione A `e vera. Infatti se per assurdo ` > 1, dal criterio del rapporto avremo che a n ! +1 per n ! +1 contro l’ipotesi che la successione `e infinitesima.

L’a↵ermazione A `e invece falsa, infatti la successione a n = n 1 `e positiva e infinitesima ma

a

a

= n+1 n ! ` = 1 per n ! +1.

L’a↵ermazione C `e vera. Infatti, essendo a

a

! ` 2 R per n ! +1 e ` 6= 1, se ` < 1 dalla definizione di limite, preso " 2 (0, 1 `) avremo che esiste n 0 2 N tale che a

a

< ` + " < 1 per ogni n n 0 e dunque, essendo a n > 0 per ogni n 2 N, che a n+1 < a n per ogni n n 0 . In modo analogo, se ` > 1 avremo che esiste n 0 2 N tale che a

a

> 1 per ogni n n 0 e quindi che a n+1 > a n per ogni n n 0 .

2. Calcoliamo il limite lim

n!+1

n 2n

n! utilizzando il criterio del rapporto. Posto a n = n n!

, per n ! +1 abbiamo

a n+1

a n = (n + 1) 2n+2 (n + 1)! · n!

n 2n =

✓ 1 + 1

n

◆ 2n (n + 1) 2

n + 1 ! +1

dato che 1 + 1 n 2n ! e 2 . Dunque, essendo ` > 1, dal criterio del rapporto possiamo concludere che lim

n !+1

n 2n

n! = + 1.

3. Applichiamo il criterio del rapporto alla successione a n = 2 n!

n n . Per n ! +1 abbiamo a n+1

a n

= 2 (n+1)!

(n + 1) n+1 · n n

2 n! = 1 1 + n 1 n

2 (n+1)! n!

n + 1 = 1

1 + 1 n n 2 n!·n

n ⇠ 1 e

2 n!·n

n ! +1

in quanto per ogni n 2 N si ha che 2

n

2 n

e che per n ! +1 risulta 2 n

! +1 per il limite notevole della gerarchia degli infiniti. Quindi, dal criterio del rapporto, possiamo concludere che

n !+1 lim 2 n!

n n = + 1.

4. Posto a n = (3n)! 2

, calcoliamo il limite del rapporto a

a

per n ! +1. Dai limiti della gerarchia degli infiniti per n ! +1 risulta

a n+1 a n

= 2 (n+1)

(3n + 3)! · (3n)!

2 n

= 2 2n+1

(3n + 3)(3n + 2)(3n + 1) ⇠ 2 27

4 n

n 3 ! +1 pertanto, dal criterio del rapporto, possiamo concludere che lim

n !+1 a n = + 1.

5. Calcoliamo, al variare di ↵ 2 R, il limite lim n

!+1

n n log n

(n!) ↵ . Posto a n = n (n!)

log n

abbiamo che a n+1

a n = (n + 1) n+1 log(n + 1)

((n + 1)!) ↵ · (n!) ↵ n n log n =

✓ 1 + 1

n

◆ n

1 (n + 1) ↵ 1

log(n + 1)

log n .

26

Osservato che per n ! +1 risulta log(n+1) log n ! 1 e che 1 + 1 n n ! e, otteniamo

1. Sia (a _n ) _n _2N successione positiva e infinitesima tale che ^a

_a

! ` 2 R per n ! +1. Allora l’a↵ermazione A `e vera. Infatti se per assurdo ` > 1, dal criterio del rapporto avremo che a _n ! +1 per n ! +1 contro l’ipotesi che la successione `e infinitesima.

L’a↵ermazione A `e invece falsa, infatti la successione a n = _n ¹ `e positiva e infinitesima ma

= _n+1 ⁿ ! ` = 1 per n ! +1.

L’a↵ermazione C `e vera. Infatti, essendo ^a

_a

! ` 2 R per n ! +1 e ` 6= 1, se ` < 1 dalla definizione di limite, preso " 2 (0, 1 `) avremo che esiste n ₀ 2 N tale che ^a

_a

< ` + " < 1 per ogni n n ₀ e dunque, essendo a _n > 0 per ogni n 2 N, che a n+1 < a _n per ogni n n ₀ . In modo analogo, se ` > 1 avremo che esiste n 0 2 N tale che ^a

_a

> 1 per ogni n n 0 e quindi che a _n+1 > a _n per ogni n n ₀ .

n ²ⁿ

n! utilizzando il criterio del rapporto. Posto a _n = ⁿ _n!

a _n+1

a _n = (n + 1) ²ⁿ⁺² (n + 1)! · n!

n ²ⁿ =

◆ 2n (n + 1) ²

dato che 1 + ¹ _n ²ⁿ ! e ² . Dunque, essendo ` > 1, dal criterio del rapporto possiamo concludere che lim

n ²ⁿ

3. Applichiamo il criterio del rapporto alla successione a _n = 2 ^n!

n ⁿ . Per n ! +1 abbiamo a _n+1

= 2 ^(n+1)!

(n + 1) ⁿ⁺¹ · n ⁿ

2 ^n! = 1 1 + _n ¹ ⁿ

2 ^{(n+1)! n!}

1 + ¹ _n ⁿ 2 ^n!·n

2 ^n!·n

in quanto per ogni n 2 N si ha che ²

_n

² _n

e che per n ! +1 risulta ² _n

n !+1 lim 2 ^n!

n ⁿ = + 1.

4. Posto a _n = _(3n)! ²

, calcoliamo il limite del rapporto ^a

_a

a _n+1 a n

= 2 ⁽ⁿ⁺¹⁾

2 ⁿ

= 2 ²ⁿ⁺¹

4 ⁿ

n ³ ! +1 pertanto, dal criterio del rapporto, possiamo concludere che lim

n !+1 a _n = + 1.

5. Calcoliamo, al variare di ↵ 2 R, il limite lim _n

n ⁿ log n

(n!) ^↵ . Posto a _n = ⁿ _(n!)

^{log n}

abbiamo che a _n+1

a _n = (n + 1) ⁿ⁺¹ log(n + 1)

((n + 1)!) ^↵ · (n!) ^↵ n ⁿ log n =

1 (n + 1) ^{↵ 1}

Osservato che per n ! +1 risulta ^log(n+1) _{log n} ! 1 e che 1 + ¹ _n ⁿ ! e, otteniamo

a _n+1

(n + 1) ^{↵ 1} ! 8 >

n !+1 lim a _n =

n ^↵n

(2n)! al variare di ↵ 2 R, poniamo nuovamente a n = _(2n)! ⁿ

a _n = (n + 1) ^↵n+↵

n ^↵n =

(n + 1) ^↵ (2n + 2)(2n + 1) Per n ! +1 otteniamo allora

a _n+1 a n ⇠ e ^↵

4 n ^{↵ 2} ! 8 >

4 se ↵ = 2 0 se ↵ < 2 e quindi, essendo e ² > 4, che

n !+1 lim a _n =

7. Utilizziamo ancora il criterio del rapporto per calcolare il limite della successione a _n = _{(2n)! ↵} ⁿ

al variare di ↵ > 0. Per n ! +1 abbiamo a _n+1

a _n = (n + 1) ⁿ⁺¹ (2n + 2)! ↵ ⁿ⁺¹

(2n)! ↵ ⁿ n ⁿ =

n ² ! 0, 8↵ > 0 e quindi che lim

n ⁿ

(2n)! ↵ ⁿ = 0 per ogni ↵ > 0.

8. Osservato che, dai limiti notevoli della gerarchia degli infiniti, per n ! +1 risulta n ⁿ >> n! >> 4 ⁿ = 2 ²ⁿ >> n ² >> log n

e che n ²ⁿ >> n ⁿ , essendo _n ⁿ

= _n ¹

! 0, abbiamo che n ² 3 log n + 2 ²ⁿ

n! n ²ⁿ = 2 ²ⁿ n ²ⁿ ·

3 ^{log n} _n

n ² (1 cos ₂ ¹

log(1 + _n! ¹ ) osserviamo che per n ! +1 risulta n ² (1 cos ₂ ¹