0 per ogni n ∈ N

SERIE di TAYLOR

Data una funzione f (x) derivabile infinite volte in (a, b), per ogni x0 ∈ (a, b) risulta definita laserie di Taylor con centro x0come

+∞

X

n=0 f⁽ⁿ⁾(x₀)

n! (x − x0)ⁿ

E naturale chiedersi se tale serie (di potenze) risulta convergente in ogni` x ∈ (a, b) e se la somma coincide con f (x).

La risposta `e in generale negativa, si pensi per esempio alla funzione

f (x) =

®e^−x21 se x 6= 0,

0 se x = 0.

Tale funzione `e derivabile infinite volte in R con f⁽ⁿ⁾(0) = 0 per ogni n ∈ N.

La corrispondente serie di Taylor con centro x0= 0 per ogni x ∈ R risulta quindi banalmente convergente a 0 e non a f (x)

+∞

X

n=0 f⁽ⁿ⁾(0)

n! xⁿ= 0, ∀x ∈ R.

Osserviamo che se f (x) `e derivabile infinite volte in (a, b), per ogni x, x0∈ (a, b) e k ∈ N, dalla formula di Taylor con resto di Lagrange abbiamo che esiste ξ compreso tra x e x0 tale che

f (x) −

k

X

n=0 f⁽ⁿ⁾(x₀)

n! (x − x0)ⁿ= ^f(k+1)_(k+1)!^(ξ)(x − x0)^k+1 Si ottiene allora

Teorema di sviluppabilit`a in serie di Taylor

Sia f (x) una funzione derivabile infinite volte in (a, b). Se esistono due costanti M, L > 0 tali che

|f^(k)(x)| ≤ M L^k ∀x ∈ (a, b), k ∈ N, allora, per ogni x, x0∈ (a, b) si ha

f (x) = lim

k→+∞

k

X

n=0 f⁽ⁿ⁾(x₀)

n! (x − x0)ⁿ=

+∞

X

n=0 f⁽ⁿ⁾(x₀)

n! (x − x0)ⁿ.

Le funzioni e^x, sin x, cos x, sinh x e cosh x verificano le ipotesi del precedente teorema, risultano quindi sviluppabili in serie di Taylor nel loro dominio. In particolare, valgono i seguenti sviluppi di Taylor con centro x0= 0

 e^x=

+∞

X

n=0 xⁿ

n! , x ∈ R (serie esponenziale)

Infatti, posto f (x) = e^x, si ha f^(k)(x) = e^xper ogni x ∈ R, k ∈ N.

Dunque in ogni intervallo (−a, a) ⊂ R risulta |f^(k)(x)| ≤ e^a= M . Dal precedente risultato otteniamo che la funzione esponenziale `e sviluppabile in serie di Taylor con centro x0= 0.

Ricordiamo che il raggio di convergenza di tale serie `e ρ = +∞, dato che

lim

n→+∞

1 (n+1)!

1 n!

= lim

n→+∞

1 n+1 = 0

In modo analogo si prova che per ogni x ∈ R si ha

 sin x =

+∞

X

n=0 (−1)ⁿ (2n+1)!x²ⁿ⁺¹

 cos x =

+∞

X

n=0 (−1)ⁿ

(2n)!x²ⁿ

 sinh x =

+∞

X

n=0 1

(2n+1)!x²ⁿ⁺¹

 cosh x =

+∞

X

n=0 1 (2n)!x²ⁿ

Riguardo alla funzione logaritmica log x, abbiamo che per ogni |x| < 1 vale

log(1 + x) =

∞

X

n=1

(−1)^{n+1 x}_nⁿ

Infatti, ricordando che 1 1 − x =

+∞

X

n=0

xⁿ ∀|x| < 1,

sostituendo x con −x si ottiene

D(log(1 + x)) = 1 1 + x=

+∞

X

n=0

(−1)ⁿxⁿ, ∀|x| < 1,

e dal Teorema di integrazione delle serie di potenze deduciamo che

log(1 + x) = Z x

0

1 1 + tdt =

+∞

X

n=0

(−1)^{n x}_n+1ⁿ⁺¹, ∀|x| < 1.

Per la funzione arcotangente, ragioniamo in modo analogo al precedente.

Osservato che

D(arctan x) = 1 1 + x² =

+∞

X

n=0

(−1)ⁿx²ⁿ ∀|x| < 1,

dal Teorema di integrazione delle serie di potenze, per ogni |x| < 1 otteniamo

arctan x =

+∞

X

n=0

(−1)ⁿx²ⁿ⁺¹ 2n + 1

Riguardo infine la funzione (1 + x)^α, per ogni α ∈ R e ogni |x| < 1 si pu`o provare che

(1 + x)^α=

+∞

X

n=0 α n

xⁿ (serie binomiale)

dove

α n

=α(α−1)(α−2)...(α−n+1)

n! .

Nota: tale funzioni non verifica le ipotesi del Teorema di sviluppabilit`a in serie di Taylor

Introduzione alle SERIE di FOURIER

Si dicepolinomio trigonometricouna funzione della forma

a +

n

X

k=1

akcos(kx) + bksin(kx), n ∈ N,

dove a, ak, bk∈ R, k = 1, . . . n. Tali valori sono detticoefficienti del polinomio trigonometrico.

Osserviamo che per ogni k ∈ N, ak, bk∈ R, la funzione akcos(kx) + bksin(kx)

`e funzione periodica di periodo ^2π_k e dunque anche di periodo 2π.

Ne segue allora che ogni polinomio trigonometrico risulta funzione periodica di periodo 2π .

Serie Trigonometriche

Si diceserie trigonometricauna serie della forma

a +

+∞

X

k=1

akcos(kx) + bksin(kx)

Le somme parziali di tale serie sono i polinomi trigonometrici

sn(x) = a +

n

X

k=1

akcos(kx) + bksin(kx), n ∈ N

Supponiamo che tale serie risulti convergente in ogni x ∈ R e denotiamo con f (x) la sua somma

f (x) = a +

+∞

X

k=1

akcos(kx) + bksin(kx) = lim

n→+∞sn(x)

Dato che le somme parziali di tale serie (i polinomi trigonometrici sn(x)) sono funzioni periodiche di periodo 2π, f (x) `e periodica di periodo 2π

la somma di una serie trigonometrica `e funzione periodica di periodo 2π

Vale il viceversa? Data una funzione f (x) definita in R e periodica di periodo 2π, esiste una serie trigonometrica che converge a f (x) in ogni x ∈ R?

Data una funzione f (x) definita in R e periodica di periodo 2π, esistono a, ak, bk∈ R tali che risulti

f (x) = a +

+∞

X

k=1

akcos(kx) + bksin(kx) per ogni x ∈ R?

Se vale un tale sviluppo diremo che la funzione f (x) `esviluppabile in serie di Fourier.

I coefficienti a, ak, bk∈ R per cui l’uguaglianza risulta valida dipendono dai valori che la funzione f (x) assume in un intervallo di ampiezza 2π, per determinarli ragioniamo come, probabilmente, fece Jean Baptiste Joseph Fourier

Supponiamo che f (x), definita in R e periodica di periodo 2π, sia funzione integrabile in [−π, π]. Supponiamo inoltre che valga lo sviluppo

(1) f (x) = a +

+∞

X

k=1

akcos(kx) + bksin(kx), ∀x ∈ R

e che l’uguaglianza continui a valere anche dopo aver moltiplicato i due membri per sin(mx), con m ∈ N, e integrato termine a termine in [−π, π]

(2) Z π

−π

f (x) sin(mx) dx = a Z π

−π

sin(mx) dx +

+

+∞

X

k=1

ak

Z π

−π

cos(kx) sin(mx) dx + bk

Z π

−π

sin(kx) sin(mx) dx

Per provarlo, osserviamo innanzitutto che Z π

−π

sin(mx) dx = 0 e Z π

−π

cos(kx) sin(mx) dx = 0, ∀ k ∈ N

Infatti, l’integranda `e funzione dispari e l’intervallo [−π, π] `e simmetrico rispetto all’origine.

Per calcolare

Z π

−π

sin(kx) sin(mx) dx possiamo integrare per parti due volte, si ottiene

Z π

−π

sin(kx) sin(mx) dx =

®0 se m 6= k π se m = k Sostituendo nell’identit`a (2) otteniamo

Z π

−π

f (x) sin(mx) dx = bm· π ⇒ bm= 1 π

Z π

−π

f (x) sin(mx) dx

Allo stesso modo, moltiplichiamo

(1) f (x) = a +

+∞

X

k=1

akcos(kx) + bksin(kx), ∀x ∈ R

per cos(mx) con m ∈ N ∪ {0}, integriamo termine a termine in [−π, π] e supponiamo che valga l’uguaglianza

(3) Z π

−π

f (x) cos(mx) dx = a Z π

−π

cos(mx) dx +

+

+∞

X

k=1

ak

Z π

−π

cos(kx) cos(mx) dx + bk

Z π

−π

sin(kx) cos(mx) dx

Da (3) si ottiene

am= 1 π

Z π

−π

f (x) cos(mx) dx ∀m ∈ N e a = 1 2π

Z π

−π

f (x) dx

Nota: per uniformit`a si pone a0= 1 π

Z π

−π

f (x) dx = 1 π

Z π

−π

f (x) cos 0 dx, dunque a =^a₂⁰.

Abbiamo quindi che data f (x) funzione definita in R, periodica di periodo 2π e integrabile in [−π, π] , se vale

(1) f (x) = ^a₂⁰+

+∞

X

k=1

akcos(kx) + bksin(kx), ∀x ∈ R

e le operazioni di integrazione termine a termine sono lecite , allora ak= 1

π Z π

−π

f (x) cos(kx) dx, ∀k ∈ N ∪ {0}

bk= 1 π

Z π

−π

f (x) sin(kx) dx, ∀k ∈ N

Tali coefficienti sono detticoefficienti di Fourierdi f (x) e la corrispondente serie trigonometrica

a₀ 2 +

+∞

X

k=1

akcos(kx) + bksin(kx)

`e dettaserie di Fourierdi f (x)

Prima di vedere un esempio, osserviamo che in generale

 se f (x) `e funzione dispari in [−π, π], allora

ak= ¹_π Z π

−π

f (x) cos(kx) dx = 0 per ogni k ∈ N ∪ {0}

e dunque la serie di Fourier di f (x) conterr`a solo seni,

 se f (x) `e funzione pari in [−π, π], allora

bk= ¹_π Z π

−π

f (x) sin(kx) dx = 0 per ogni k ∈ N

e quindi la serie di Fourier di f (x) conterr`a solo coseni.

Un esempio notevole: serie di Fourier dell’onda triangolare

IDeterminiamo la serie di Fourier della funzione f (x) definita come f (x) =^π₂ − |x| per x ∈ [−π, π)e prolungata per periodicit`a su tutto R

L’onda triangolare

Osserviamo che la funzione `e pari, dunque b_k= _π¹

Z π

−π

f (x) sin(kx) dx = 0, ∀k ∈ N

Abbiamo poi a0=_π¹

Z π

−π

f (x) dx =_π² Z π

0

(^π₂ − x) dx =_π²π

2x −¹₂x²^π

0 = 0 mentre, integrando per parti, si ha

ak= ¹_π Z π

−π

f (x) cos(kx) dx =_π² Z π

0

(^π₂ − x) cos(kx) dx

= ²_πî

(^π₂ − x)^sin(kx)_k óπ 0 +_kπ²

Z π 0

sin(kx) dx

=_kπ² î

−^cos(kx)_k ó^π

0 =_k²_2π(1 − cos(kπ)) =

®0 se k `e pari

4

πk² se k `e dispari dato che cos(kπ) = (−1)<sup>k</sup> per ogni k ∈ N. La serie di Fourier dell’onda triangolare `e quindi

+∞

X

k=0 4

π(2k+1)²cos((2k + 1))x = ⁴_π

+∞

X

k=0

cos((2k+1)x) (2k+1)²

Vediamo ora sotto quali ipotesi la serie di Fourier risulta convergente alla funzione associata.

Si dice che una funzione f (x) `edi classe C¹ a tratti in un intervallo [a, b] se esiste una partizione a = x0< x1< ... < xn= b tale che

• f (x) risulta derivabile con derivata continua in (xi−1, xi),

• esistono finiti i limiti di f (x) e f⁰(x) per x → x⁺_i−1e per x → x⁻_i per ogni i = 1, . . . , n.

Nota: Una funzione di classe C¹ a tratti in [a, b] sar`a quindi continua in[a, b]

eccetto al pi`u un numero finito di punti dove potr`a presentare discontinuit`a eliminabili o di salto (si dice anche che `e continua a tratti in [a, b]). Sar`a inoltre derivabile con derivata continua in (a, b) eccetto al pi`u un numero finito di punti dove potr`a presentare discontinuit`a eliminabili o di salto oppure punti angolosi.

Una funzione f (x) `e detta infinedi classe C¹ a tratti in R se risulta tale in ogni intervallo [a, b] ⊂ R.

Convergenza puntuale

Teorema (convergenza puntuale)

Se f (x) `e funzione periodica di periodo 2π di classe C¹ a tratti in R allora per ogni x0 ∈ R si ha

a₀ 2 +

+∞

X

k=1

akcos(kx0) + bksin(kx0) = ^{f (x}

+ 0)+f (x⁻

0) 2

dove f (x^±₀) = lim

x→x^±₀

f (x) = lim

h→0^±

f (x0+ h).

Nota: Se f (x) `e continua in x0allora la serie converge a f (x0), altrimenti converge alla media ^{f (x}

+ 0)+f (x⁻₀)

2

L’onda triangolare

I ^L’onda triangolaredefinita comef (x) = ^π₂ − |x| per x ∈ [−π, π)e prolungata per periodicit`a su tutto R `e funzione continua in R, di classe C¹ a tratti in R pertanto la sua serie di Fourier

+∞

X

k=0 4

π(2k+1)²cos(2k + 1)x =_π⁴

+∞

X

k=0

cos((2k+1)x) (2k+1)²

converge a f (x) in ogni x ∈ R

+vedi pagina moodle

L’onda quadra

IConsideriamo la funzione f (x) definita come f (x) =

®1 se x ∈ [0, π]

−1 se x ∈ (−π, 0)

nell’intervallo (−π, π] ed estesa per periodicit`a su tutto R.

Poich´e la funzione `e dispari avremo ak= 0 per ogni k ∈ N ∪ {0}

mentre bk =_π¹

Z π

−π

f (x) sin(kx) dx = _π² Z π

0

sin(kx) dx

=_π²î

−^cos(kx)_k ó^π

0 =_kπ² (1 − cos(kπ)) =

®0 se k `e pari

4

kπ se k `e dispari Si ottiene allora che la serie di Fourier di f (x) `e

+∞

X

k=1 4

π(2k−1)sin((2k − 1)x) = _π⁴

+∞

X

k=1

sin((2k−1)x) 2k−1

Essendo la funzione di classe C¹ in (−π, 0) e in (0, π), abbiamo che in tali intervalli la serie converge a f (x)

4 π

+∞

X

k=1

sin((2k−1)x)

2k−1 = 1 ∀x ∈ (0, π) e _π⁴

+∞

X

k=1

sin((2k−1)x)

2k−1 = −1 ∀x ∈ (−π, 0) Osserviamo invece che in x = 0 e x = ±π la serie risulta identicamente nulla. Abbiamo quindi che la serie converge alla somma

g(x) =







1 se x ∈ (0, π)

−1 se x ∈ (−π, 0) 0 se x = 0 e x = ±π

=

®f (x) se x ∈ (−π, π), x 6= 0 0 se x = 0 e x = ±π

La funzione g(x) `e detta regolarizzata della funzione f (x)

+vedi pagina moodle