Esperimenti aleatori

a partire da determinate condizioni iniziali,

un esperimento e’ l’osservazione del verificarsi di qualche

“accadimento” che,

se si ripete l’esperimento nelle identiche condizioni iniziali, il risultato dovrebbe essere

 nella realta’ gli esperimenti, di precisione, non sono mai perfettamente riproducibili

un esperimento si definisce aleatorio se il verificarsi di un

risultato non è prevedibile a partire dalla conoscenza delle leggi fisiche e delle condizioni iniziali

incerto , imprevedibile, affidato al caso

che ha tutti i requisiti per essere creduto vero

riproducibile a piacimento (determinismo della meccanica classica )

porta ad un particolare “stato delle cose finali “

Esperimenti aleatori

valutazione delle possibilità che un fenomeno aleatorio ha di accadere

da notare che, al contrario della meccanica classica, la meccanica quantistica e’ una teoria intrinsecamente probabilistica

nacque nell’ambito dei giochi d’azzardo e storicamente e’ la prima definizione di probabilita’

 definizione classica (aprioristica) : '

( )

t

N numero di casi in cui si ha l evento favorevole

P A  numero casi totali '  N

( )

t

N numero di casi in cui si ha l evento favorevole

P A  numero casi totali  N

ma presuppone che gli eventi siano equiprobabili

'

( ) lim lim

t t

A

N N

t

N numero di prove in cui si ha l evento favorevole

P A 

numero prove totali ' 

N

( ) lim lim

t t

A

N N

t

N numero di prove in cui si ha l evento favorevole

P A 

numero prove totali 

N

 definizione frequentistica :

a) presuppone che le prove siano ripetibili a piacimento

c) anche effettuando un numero infinito di prove non e’ garantito che si pervenga al risultato corretto

b) non si possono effettuare un numero infinito di prove

definizione introdotta, e molto usata, in ambito scientificoma

Probabilita’ soggettiva

nell’ignoranza dei fatti la probabilita’ esprime il nostro grado di fiducia sulla verita di una affermazione

la definizione soggettiva di probabilita’ e’ basata sulla nozione di gioco equo e sulla di speranza di vincita

ritenere una affermazione probabilmente vera all’80% significa essere disposti a scommettere 8 contro 2 sulla sua validita’

 Definizione assiomatica di probabilita’:

assiomi di Kolmogorov :

( ) 0 P A 

( ) 1 P S 

( o ) ( ) ( ) ( )

P A B  P A  P B  P A e B

Eventi indipendenti:

due eventi sono incompatibili quando se l’evento (A e B) non puo’

avvenire

attenzione a non confondere i concetti di indipendenza ed incompatibilita’

Probabilita’ condizionale:

( ) ( / )

( ) P A e B P A B

 P B

e P (A e B ) = 0

se si ha che

( / ) ( )

P A B  P A P B ( / A)  P B ( )

in altri termini,

( ) ( / )

( ) P A e B P B A

 P A

 se avviene A non puo’ avvenire B e viceversa

 (A e B) e’ l’evento vuoto

due eventi sono indipendenti se o se Eventi incompatibili ( mutuamente escludentesi):

( e ) ( ) ( ) P A B  P A P B 

equivalentemente

Se prende l’ autobus per recarsi al poligono di tiro quale sara’ la probabilita’ totale di ricevere un biglietto dell’autobus con un numero pari oppure di fare centro al primo colpo ?

( o )

T A B A B

p  p A B  p  p  p p

{Evento A} = centro al primo colpo

 p

 0.7124 1

p

2

 

{Evento B} = biglietto con numero pari

i due eventi sono indipendenti tra loro quindi

p A B ( e )  p

 p

dagli assioni di Kolmogorov

p A B ( o )  p A ( )  p B ( )  p A B ( e )

0.7124 0.5 0.7124 0.5 + = 0.856

= ( )

p

^{ }

Esercizio

Un tiratore ha probabilita’ 0.7124 di fare centro al primo colpo.

 0.5

percio’ :

una variabile aleatoria ( v.a.) e’ una applicazione che associa ad ogni risultato dello spazio degli eventi un numero reale nell’intervallo [0,1]

variabili aleatorie discrete e continue

una v.a. discreta e’ rappresentata da una tabella che definisce

un modo grafico di

rappresentare una v.a. discreta e’ l’ istogramma

 la probabilita’ associata ad ogni valore numerico assunto dalla v.a.

 il valore numerico assunto dalla v.a. discreta

in un istogramma si presentano in successivi intervalli ( bins ) le probabilita’ (frequenze relative )

V.a. Uniforme

0.000 0.050 0.100 0.150 0.200 0.250 0.300

1 2 3 4 5 6

k

Prob (k)

Probabilita'

V.a. Uniforme

0.000 0.050 0.100 0.150 0.200 0.250 0.300

1 2 3 4 5 6

k

Prob (k)

Probabilita'

k P(k)

1 1/6

2 1/6

3 1/6

4 1/6

5 1/6

6 1/6

es. : lancio di un dado

attenzione a non confondere il concetto di “a caso” con l’idea di distribuzione uniforme

es. : distribuzione della somma dei risultati nel lancio di due dadi

Somma del lancio, a caso, di due dadi

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

k

Prob (k)

P robabilita'

Somma del lancio, a caso, di due dadi

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

k

Prob (k)

P robabilita' il lancio di due dadi e’

“a caso”, ma la somma dei risultati ottenuti

non e’ distribuita in modo uniforme

 la funzione f(x) che definisce la v.a. X e’ definita di modo che:

( ) f x dx Prob  { che la v. a. assuma valori x [  x x dx ,  ] }

 se x , con

una v.a.

continua continua

il grafico della f(x) puo’ essere pensato come un istogramma di binnaggio infinitesimo

0.4

0.3

0.2

0.1

f(x)

0 ¹ x

-1 2

-2 3

-3

 f(x) e’ detta “ densita’ di probabilita densita’ di probabilita ”

, e’ il valore numerico assunto dalla v.a. continua X

x  

per caratterizzare in modo sintetico, ma approssimativo, una v.a. si fa uso di

indicatori di centralita’ e di dispersione.

i principali indicatori sono il valor medio come indice di centralita’ e la varianza come indice della dispersione intorno al valor medio

1 n

( )

i i

i

k P k





  

1

( ) ( )

n

i i

i

k P k

 



   

Valor medio e Varianza di una v.a.

( ) xf x dx

  

^

^ 

^{( x   )}

^{f x dx ( )}

per v.a. discrete

per v.a. continue

0.4

0.3

0.2

0.1

f(x)

0 ¹ x

-1 2

-2 3

-3

f(x)dx

( ) Prob( ) P k

 k successi in n prove 

!

!( )!

n n

k k n k

  

  

 

! ( 1) ( 2) ... 2 1 n        n n n valor medio = np

1 q   p

v.a. di Poisson (eventi rari)

( ) Prob( successi quando in media se ne hanno )

P k

 k  

[0, ] k  

[0, ] k  

valore medio

= 

varianza = npq

varianza

= 

4 4 1 4 2 4 3

4!       ( ) ( ) ( )     4 3 2 1 24

es. 4! = ?

o binomiale

alcune tra le principali distribuzioni discrete sono :

v.a. Bernoulliana

Binomiale (k, n=10, p=0.2)

0.000 0.050 0.100 0.150 0.200 0.250 0.300 0.350

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

k

Probabilita'

Binomiale (k, n=10, p=0.2)

0.000 0.050 0.100 0.150 0.200 0.250 0.300 0.350

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

k

P robabilita'

Binomiale (k, n=30, p=0.2)

0.000 0.020 0.040 0.060 0.080 0.100 0.120 0.140 0.160 0.180 0.200

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

k

Probabilita'

Binomiale (k, n=30, p=0.2)

0.000 0.020 0.040 0.060 0.080 0.100 0.120 0.140 0.160 0.180 0.200

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

k

Probabilita'

k n k

n p q k

 

   

!

k

k e



Poissoniana (k,m) m = 0.9

0.000 0.050 0.100 0.150 0.200 0.250 0.300 0.350 0.400 0.450

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

k

Poissoniana

Poissoniana (k,m) m = 0.9

0.000 0.050 0.100 0.150 0.200 0.250 0.300 0.350 0.400 0.450

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

k

Poissoniana

v.a.Gaussiana v.a.Gaussiana

1 2

( )

1

( ) 2

x

f x e





 



v.a. Uniforme ( ) 1

( ) f x  b a



[a,b] se la v.a. assume un valore costante in [a,b]

( ) 0

f x 

[ , ] per x a b

[ , ]

per x   

valor medio = ^{( )} varianza = 2

b a ( )²

12 b a

valor medio =





alcune tra le principali v.a. continue sono :

f(x)

0 a b x

1

( - )b a

G(,

)

il 68% della probabilita’ (dell’ area sotto la curva) e’ compresa tra

     

il 95% della probabilita’ (dell’ area sotto la curva) e’ compresa tra

  2    2 

il 99.7% della probabilita’ (dell’ area sotto la curva) e’ compresa tra

  3    3 

e e

e

per una gaussiana si ha che

si parla di v.a. uniforme ( distribuzione casuale ) nell’intervallo

Gaussiana Standard o Normale

  0 

 1 ( ) ¹

2

f x e





se e

0.4

0.3

0.2

0.1

f(x)

0 ¹ x

-1 2

-2 3

-3

N(0,1)

la funzione definita come l’area da - ^ ad un generico punto z di una gaussiana standard,

1 2

1 2

( ) 2

z x

erf z e dx









e’ detta “funzione degli errori”

( “error function” in inglese, da cui la denominazione erf(z) )

altre importanti densita’ di probabilita’ sono

la Chi Quadrato e la t di Student Funzione degli errori

Error Function

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00

-4.2 -3.8 -3.4 -3 -2.6 -2.2 -1.8 -1.4 -1 -0.6 -0.2 0.2 0.6 1 1.4 1.8 2.2 2.6 3 3.4 3.8 4.2

x

f(x)

Erf(x)

Error Function

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00

-4.2 -3.8 -3.4 -3 -2.6 -2.2 -1.8 -1.4 -1 -0.6 -0.2 0.2 0.6 1 1.4 1.8 2.2 2.6 3 3.4 3.8 4.2

x

f(x)

Erf(x)

importanza della gaussiana : teorema del limite centrale

Statistica

negli esperimenti si effettua sempre solo un numero finito di finito misure, spesso molto limitato

nella teoria della probabilita’ si ha a che fare con v. a. che possono assumere un numero discreto o una infinita’, numerabile o meno, di valori,

l’insieme delle misure effettuate costituisce il campionecampione

oggetto della statistica predittiva e’ di determinare le caratteristiche della popolazione incognita basandosi su una serie finita di misure

ripetute

esempio : determinare la statura degli studenti di Ingegneria misurando le stature dei soli presenti in aula oggi

a seconda che si tratti di v.a. discrete o continue

ma esistera’ una statura vera ???

per stimare il valor medio di solito si fa uso in statistica dello

“stimatore” media aritmetica

1 2

1

...

1

i i

x x x

x x

n n

  

  

in realta’ esiste una distribuzione di stature caratterizzabile

tramite valori medi e varianza, parametri che pero’ sono incogniti e che occorrera’ quindi stimare a partire dalle misure effettuate, ossia a partire dai dati campionari

la media aritmetica non e’ l’unico stimatore possibile del valor medio

altri stimatori di centralita’

sono la

media geometrica

1 1 2

1

... (

)

g n n i

i

x x x x x



     

media armonica media quadratica

1 2

1 1 1 1

( ... )

a

n

x  n x  x   x

2 2 2

1 2 2

1

...

1

q i i

x x x

x x

n n

  

  

ma con la limitazione che gli x non devono essere nulli

in generale la media quadratica e’ sempre maggiore della media aritmetica

infine, come indicatori di centralita’ di una distribuzione, si possono usare anche lamediana campionaria (= 50-esimo percentile ) e la

moda compionaria ( = valore piu’ probabile)

Errori :

errore = | valore misurato – valore vero | errore = | valore misurato – valore vero | cause di errore:  Limiti strumentali

categorizzazione degli errori:

misura di un intervallo di tempo usando un orologio che va

troppo lento, o troppo veloce.

di solito vengono effettuate molte misure indipendenti della indipendenti stessa grandezza,

incertezze dovute a cause accidentali e alla limitatezza del campione di misure

 Casuali o “statistici”

 Sistematici si definisce

ma a causa degli errori di misura il risultato varia sensibilmente da misura a misura fino a collezionare un numeroso campione di misure

 Cause accidentali

 Metodi di misura errati

misura della lunghezza di un oggetto non in

modo perpendicolare all’oggetto

( errore di parallasse) gli errori statistici sono riducibili aumentando il numero di misure indipendenti della stessa grandezza  aumentando la

dimensione del campione .

es. : si siano effettuate n misurazioni della stessa grandezza fisica, x₁,x₂…x_n si assume come stima del valor vero della grandezza in esame la media aritmetica dei risultati ottenuti nelle varie misure

si assume come stima del valor vero della grandezza in esame la media aritmetica dei risultati ottenuti nelle varie misure

la media aritmetica delle n misure e’ : ^{1 2}

1

...

1

i i

x x x

x x

n n

  

  

la media aritmetica stima il valor “vero”  , ma con un certo errore 

( x )

   

problema : come stimare l’errore statistico  ?

“ valore vero

“ valore vero

ma , ammesso che esista, quale e’ il

per saperlo con certezza si dovrebbe fare una infinita’ di misure ripetute

se si ha un numero finito di misure si puo’ solo tentare di “stimarlo” , con il minimo margine di errore possibile

2 1

. . 1 ( )

1

n i i

dev st x x

n

 

 

come indicatore di dispersione di una distribuzione intorno alla sua media si usa la deviazione standard campionaria o “ errore quadratico medio”, in inglese

“Root Mean Square” o rmsrms che e’ definito come :

commento sull’uso di n o di n-1

una tra le proprieta’ piu’ importanti della media aritmetica e’ che l’errore statistico della media aritmetica stessa e’

dato da:

2 1

. . 1

( ) ( )

( 1)

n i i

dev st

x x x

n n n





  

 

Intervallo di confidenza

si siano effettuate n misurazioni della stessa grandezza fisica, x₁, x₂… x_n la miglior stima del valor medio e’ la media aritmetica

1

1 ⁿ

i i

x x

n 





ma ripetendo una seconda volta le n misurazioni della stessa grandezza fisica,

la miglior stima del valor medio continuerebbe ad essere la media aritmetica

1

' 1 ⁿ '_i

i

x x

n ^





ma essendo gli x_i’ diversi dagli x_i la media aritmetica sarebbe diversa

nella maggior parte dei casi, ma non sempre, se si stima il valor medio( vero ) come dunque anche la media aritmetica varia, imprevedibilmente, da

campione a campione di

media , o errore sulla media, si assume la deviazione standard campionaria

si otterrebbe un secondo, diverso insieme di risultati: x’₁, x’₂… x’_n

. . dev st

x n

  

se si stima il valor medio ( vero ) come

. .( ) 2 dev st x

x n

  

se si stima il valor medio ( vero ) come

. .( ) 3 dev st x

x n

  

istogrammando i risultati di misure ripetute, indipendenti tra loro risulta, quasi sempre,

se la distribuzione di una generica variabile aleatoria x segue la forma funzionale gaussiana

il valore della percentuale che si desidera, ossia la attendibilita’ della stima del valor vero che si desidera ottenere, e’ detto “livello di confidenza”

e si ha la probabilita’ che

il 68% delle misure siano comprese tra

dev st . .

x  n dev st . .

x  n

il 95% delle misure siano comprese tra

. . 2 dev st

x  n . .

2 dev st

x  n

il 99.7% delle misure siano comprese tra

. . 3 dev st

x  n . .

3 dev st

x  n

e

e

e che le misure si distribuiscono in modo gaussiano

Intervalli di confidenza

anche la media aritmetica sara’ distribuita in modo gaussiano

Sono state fatte misure ripetute ed indipendenti tra loro di una

grandezza fisica, ad es. il peso di un oggetto misurato con una bilancia precisa al per mille

e cio’ si giustifica non pensando ad un errore di misura, ma postulando che il fenomeno stesso in esame sia aleatorio

si puo’ quindi pensare alla misurazione come al modo di stabilire quale sia la percentuale di palline di un determinato colore

contenute nell’urna effettuando una serie limitata

supponiamo sia stata preparato un urna riempendola di un numero molto elevato, al limite infinito, di palline con colori diversi in

proporzioni diverse

vista la precisione della misura e’ piu’ che ragionevole attendersi che i risultati non si riproducano perfettamente

ossia che la misura del peso dell’oggetto sia descrivibile in termini di una

variabile aleatoria

in conclusione: una misura sperimentale e’ assimilabile al verificarsi di uno tra i tanti possibili risultati che una v.a. (il piu’ delle volte gaussiana) puo’ assumere

la distribuzione della variabile aleatoria e’ sconosciuta, ma grazie al teorema del limite centrale, molto spesso si puo’ assumere che sia gaussiana

allo sperimentatore e’ pero’ sconosciuta la distribuzione dei vari colori delle palline nell’urna

di estrazioni di palline dall’urna

compito dello sperimentatore e’ quello di tentare di determinare dopo aver effettuato un certo numero di estrazioni quale sia la proporzione di palline di un determinato colore, ossia di stimare il valor medio della distribuzione sconosciuta cui si da’ il nome di valor vero

il risultato di una singola misura equivale ad effettuare l’estrazione a caso di una singola pallina dall’urna e a verificare quale ne sia il

colore

la statistica predittiva, utilizzando i risultati rigorosi della teoria della probabilita’ e’ in grado di suggerire:

ossia di determinare quale sia l’errore sulla media aritmetica

• quale sia il margine di errore con cui si puo’ fare la stima in

funzione della numerosita’ del campione, del numero di estrazioni in questo caso,

• di valutare quale sia l’attendibilita’ di questa misura in termini di probabilita’ , ossia quale sia il livello di confidenza della stima

• quale sia il miglior stimatore possibile del valor medio , o valor “vero”, di solito la media aritmetica,

non avendo altre informazioni a disposizione si dovra’ stimare il valor medio, impropriamente detto valor “vero” della grandezza incognita, usando i dati del campione di misure

calcoliamo la media campionaria e l’ errore sulla media

25 1

1 1.7244

25 ^{i i}

x  

x 

1

1

i i

x x

n

 

2 1

. . 1 ( )

1

n i i

dev st x x

n ^

 





1

25 1 _i (x_i 1.7244) 0.03368

 



se x_i e’ la i-esima misura

l’errore sulla media vale

. . 0.03368

( ) 0.0067

25 dev st

x n

   

arrotondando l’errore ad una sola cifra

  0.007

sono state fatte 25 misure ripetute ed indipendenti tra loro di una

grandezza fisica, ad es. il peso di un oggetto misurato con una bilancia

precisa al per mille 1.72, 1.65, 1.81, 1.72, 1.72, 1.67, 1.71, 1.72, 1.74, 1.70, 1.73, 1.70, 1.76, 1.72, 1.75, 1.71, 1.71, 1.72, 1.69, 1.79, 1.74, 1.73, 1.76, 1.73, 1.71.

i risultati , in gm, sono :

e’ evidente che la misura non si riproduce perfettamente

se il livello di confidenza prescelto e’ il 68 % il risultato della misura e’ :

(1.72 0.01) gm

  

(1.72 0.02) gm

  

(1.724 0.007) gm

  

nota : se si utilizzasse la convenzione delle cifre significative il

risultato ottenuto con il 68% andrebbe presentato come m = 1.724 gm mentre se avessimo operato al 95 e 99 % di livello di

confidenza andrebbe presentato come m = 1.72 gm

da notare la relazione tra la precisione e il grado di fiducia, o livello di confidenza :

oppure

a parita’ di numerosita’ del campione, ossia a parita’ di n, se una cresce l’altra cala

o

per costruire un istogramma

ordiniamo le misure in ordine crescente

calcoliamo quale sia la frequenza con la quale si presenta un particolare risultato

grafichiamo la frequenza relativa , ossia la frequenza diviso il numero totale di misure

1.65 1.67 1.69 1.7 1.7 1.71 1.71 1.71 1.71 1.72 1.72 1.72 1.72 1.72 1.72 1.73 1.73 1.73 1.74 1.74 1.75 1.76 1.76 1.79 1.81

la frequenza relativa e’

normalizzata all’unita di modo che l’istogramma

rappresenti una distribuzione di probabilita’

1.65 1

1.66 0

1.67 1

1.68 0

1.69 1

1.7 2

1.71 4

1.72 6

1.73 3

1.74 2

1.75 1

1.76 2

1.77 0

1.78 0

1.79 1

1.8 0

1.81 1

0.04 0 0.04 0 0.04 0.08 0.16 0.24 0.12 0.08 0.04 0.08 0 0 0.04 0 0.04

MisureFrequenzaFrequenza relativa= Frequenza / N _tot

N _tot = F_i = 25

( x_i ) ( F_i ) ( Fr_i )

istogramma delle frequenze relative

F_Ri = 1