Geometria 1A –Algebra Lineare 26 Giugno 2008
1. Sia V = A 2 M(2 2; C) tali che A + Ay= 0; trA = 0 dove si de…nisce:
a b c d
y
= a c
b d (a) Dimostrare che V è uno spazio vettoriale reale.
(b) Calcolare la dimensione di V come spazio vettoriale reale.
(c) Dare una base di V:
2. Fissata in R3 la base (e1; e2; e3) e l’applicazione lineare data da:
f (e1) = ke1+ e3 f (e2) = ke2 f (e3) = ke1+ ke3
(a) Trovare i valori di k per cui l’applicazione è invertibile.
(b) Trovare i valori di k per cui l’applicazione è diagonalizzabile.
3. Sia A la matrice: 0
BB
@
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
1 CC A
(a) Trovare una base del nucleo e una dell’immagine.
(b) Mostrare che A è diagonalizzabile e darne una forma diagonale.
(c) Scrivere il polinomio caratteristico della matrice:
0 BB BB BB
@
1 2 3 4 ::: n 1 2 3 4 ::: n 1 2 3 4 ::: n : : : : ::: : : : : : ::: : 1 2 3 4 ::: n
1 CC CC CC A
Soluzioni.
1. (a) La matrice nulla veri…ca la condizione, la somma di matrici che veri…cano la condizione la veri…ca, e se una matrice A veri…ca la condizione la matrice aA con a reale la veri…ca.
(b) Le matrici di V sono della forma : ix y iz
y + iz ix con x; y; z numeri reali. Lo spazio ha dimensione tre, una base è, ad esempio:
A3 = i 0
0 i ; A1 = 0 1
1 0 ; A2 = 0 i i 0
2. La matrice associata è 0
@
k 0 k 0 k 0 1 0 k
1
A ; è quindi invertibile se il suo determinante k3 k2 6=
0, cioè k 6= 0; 1: Per quanto riguarda la diagonalizzabilità, gli autovalori sono k; k p
k; k +p k:
Innanzi tutto deve essere quindi k 0: La matrice è diagonalizzabile per k 6= 0 perchè gli autovalori sono tutti reali e distinti. Per k = 0 la matrice è non diagonalizzabile perchè l’autovalore triplo 0 non è regolare, perchè la matrice ha rango 1:
3. Analizziamo il caso generale del punto c. Il rango è 1 e quindi la dimensione del nucleo è n 1: L’autovalore 0 è quindi regolare. L’altro autovalore si trova subito osservando che
v = 0 BB
@ 1 1 : 1
1 CC
A è autovettore:
Av = (1 + 2 + 3 + ::: + n)v quindi l’autovalore è:
(1 + 2 + 3 + ::: + n) = n(n + 1)
2 :
Questo autovalore ha molteplicità algebrica 1 e quindi è anch’esso regolare. La matrice è diagonalizzabile, il suo polinomio caratteristico è:
p( ) = ( )n 1 n(n + 1) 2
