MODULO 4 – RELAZIONI, DATI E PREVISIONI

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1 Modulo 4/1 – Relazioni e loro rappresentazione

MODULO 4 – RELAZIONI, DATI E PREVISIONI

Questo modulo si articola in due sottomoduli:

 Sottomodulo 4/1: Relazioni e loro rappresentazione.

 Sottomodulo 4/2: Dati e previsioni.

Ad esso saranno dedicate 5 lezioni (pari a 10 ore complessive)

In questo modulo è recuperato un obiettivo che le Indicazioni Nazionali collocano fra gli obiettivi del tema “Spazio e figure” e precisamente:

- Utilizzare il piano cartesiano per localizzare punti.

Ma gli obiettivi più pertinenti al tema sono i seguenti, su alcuni dei quali, come si può facilmente comprendere, abbiamo avuto modo di soffermarci, anche solo per un cenno, nella presentazione di altri moduli.

Obiettivi da conseguire entro i primi tre anni:

– Classificare numeri, figure, oggetti in base a una o più proprietà, utilizzando rappresentazioni opportune, a seconda dei contesti e dei fini.

– Argomentare sui criteri che sono stati usati per realizzare classificazioni e ordinamenti assegnati.

– Leggere e rappresentare relazioni e dati con diagrammi, schemi e tabelle.

– Misurare grandezze (lunghezze, tempo, ecc.) utilizzando sia unità arbitrarie sia unità e strumenti convenzionali (metro, orologio, ecc.).

Obiettivi da conseguire entro la fine della scuola primaria:

– Rappresentare relazioni e dati e, in situazioni significative, utilizzare le rappresentazioni per ricavare informazioni, formulare giudizi e prendere decisioni.

– Usare le nozioni di frequenza, di moda e di media aritmetica, se adeguata alla tipologia dei dati a disposizione.

– Rappresentare problemi con tabelle e grafici che ne esprimono la struttura.

– Utilizzare le principali unità di misura per lunghezze, angoli, aree, volumi/capacità, intervalli temporali, masse, pesi per effettuare misure e stime.

– Passare da un’unità di misura a un’altra, limitatamente alle unità di uso più comune,

anche nel contesto del sistema monetario.

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MODULO 4/1

- RELAZIONI E LORO RAPPRESENTAZIONE - (Supporto didattico)

1. Abbiamo incominciato ad occuparci dell’obiettivo

Leggere e rappresentare relazioni e dati con diagrammi, schemi e tabelle

nel modulo 1/2, introducendo la moltiplicazione fra numeri naturali. Anche nel modulo 2/2 (N.

7, esercizi conclusivi 1 e 2) ci siamo occupati di relazioni e precisamente di relazioni fra

“oggetti”. Mentre rimandiamo a quelle pagine, qui vogliamo continuare per un approfondimento ed un ampliamento.

Abbiamo visto in quella circostanza come il piano quadrettato possa essere utilizzato nella costruzione delle famose tabelline della moltiplicazione o anche dell’addizione.

A volte tale piano è usato in maniera leggermente diversa da quella allora descritta. Si tratta semplicemente di spostare in basso la riga che sta in alto, lasciando invariata la colonna di sinistra (fig. 1).

fig. 1

Per quanto riguarda la lettura delle coppie ordinate, questa volta la prima componente va presa sulla riga e la seconda sulla colonna, per cui, con riferimento alla figura 1, le caselle sono individuate dalle seguenti coppie ordinate:

(a,1), (a,2), …, (b,4), …, (e,5).

Questa modalità è seguita, per esempio, quando si devono contrassegnare le coppie ordinate (fiume,città) che collegano appunto il fiume e la città che esso bagna. Si tratta di elenecare nella prima riga i fiumi e nella prima colonna le città (fig. 2) e segnare con una crocetta la casella stuata all’incrocio della colonna corrispondente al fiume con la riga corrispondente alla città. Si può affidare agli alunni il compito di compilare la tabella, la quale rappresenta il cosiddetto grafico della relazione.

fig. 2

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Nella figura 3 è rappresentato il grafico di quest’altra relazione: Nell’insieme dei numeri 1,2,3,4,5 rappresentare la relazione “il numero contrassegnato sulla riga non è minore di quello rappresentato sulla colonna”.

fig. 3 fig. 4

Si fa notare come sia diversa la rappresentazione della relazione “è maggiore” (fig. 4) rispetto alla relazione “ non è minore”.

Il che significa naturalmente che dire “non è maggiore di” è cosa diversa dal dire “è minore di”.

Ad esempio: “è falso che 3 è minore di 3” mentre “è vero che 3 non è maggiore di 3”.

Sembra una cosa banale, ma gli alunni (e non solo essi per la verità) spesso commettono l’errore di confondere le due relazioni. A riprova di quanto diciamo l’insegnante provi a formulare la seguente domanda: “Quali numeri non sono maggiori di 100?” La risposta, con certezza quasi assoluta è: “I numeri minori di 100” ed è evidentemente una risposta sbagliata, dal momento che “i numeri non maggiori di 100 sono i numeri minori o uguali a 100”.

Detto per inciso e se non si è già fatto, si possono introdurre dei simboli per indicare “è minore”

ed “è maggiore”. Esattamente: il simbolo “<” indica “è minore”; il simbolo “>” indica è maggiore. Si può far notare agli alunni (affinché memorizzino tali simboli) come nel primo simbolo i due rebbi si allarghino da sinistra verso destra, quasi ad indicare che si va da una quantità più piccola verso una più grande: 2<7; nel secondo simbolo accade il contrario, come ad indicare che si passa da una quantità più grande ad una più piccola: 8>3.

Si può pure far notare che ci sono simboli per indicare “non è maggiore” (che è equivalente a “è minore o uguale”) e “non è minore” (che è equivalente a “è maggiore o uguale”. Il primo simbolo è “<=” oppure più sinteticamente “≤”, il secondo è “>=” oppure più semplicemente “”.

2. Il tipo di rappresentazione di una relazione fin qui descritto, e di cui le figure 2, 3, 4 costituiscono degli esempi, si denomina rappresentazione tabulare (o tabellare) .

Non è l’unico modo di rappresentare graficamente una relazione.

Una seconda modalità consiste nel collegare con “frecce”, che vanno dall’insieme in cui si sceglie la prima componente della coppia ordinata all’insieme in cui si prende la seconda componente. Si chiama rappresentazione sagittale. Un esempio è costituito dalla relazione “è una città situata nella regione” definita dall’insieme delle città Roma, Milano, Cagliari, Messina, Palermo, verso l’insieme delle regioni Lazio, Sicilia, Lombardia, Campania, Liguria (fig. 5). Il grafico di questa relazione è formato dall’insieme delle seguenti coppie ordinate:

(Roma,Lazio), (Milano,Lombardia), (Messina,Sicilia), (Palermo,Sicilia).

Ovvero da quattro coppie e di fatto quattro sono le frecce che collegano elementi in relazione.

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4 Modulo 4/1 – Relazioni e loro rappresentazione fig. 5

Un altro modo per rappresentare graficamente una relazione fra due insiemi è la rappresentazione cartesiana. Si tratta di disporre i due insiemi uno sopra l’altro come in figura 6. Quindi si tracciano tutte le possibili rette verticali dai punti (quadratini, tondini, stelline, eccetera) che rappresentano gli elementi dell’insieme che sta sotto e tutte le rette orizzontali dai punti che rappresentano gli elementi dell’insieme che sta sopra. Si contrassegnano con dei tondini gli incroci fra due elementi che si corrispondono nella relazione.

Ad esempio, nella citata figura 6 la relazione, definita dall’insieme delle regioni Lazio, Sicilia, Lombardia, Campania, Liguria verso l’insieme delle città Roma, Milano, Cagliari, Messina, Palermo, è “la regione comprende la città”.

fig. 6

Non ci vuol molto a capire che quella che solitamente si chiama “rappresentazione cartesiana” è in realtà una stilizzazione di questa. Ci ritorneremo fra breve.

3. Intanto andiamo a presentare altre relazioni, aventi però una caratteristica speciale: i due insiemi che sono messi in relazione sono uguali. In questo caso si parla di “relazione in un insieme”.

In figura 7 è la rappresentazione cartesiana della relazione:

 +  = 6,

nell’insieme { }. Il suo grafico è evidentemente costituito dalle seguenti coppie ordinate:

(0, 6), (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1), (6, 0).

La costruzione del grafico di questa relazione può sembrare un fatto banale o quantomeno elementare e comunque alla portata di tutti i bambini ai quali è proposta (classe V). Ma non è esattamente così e l’insegnante deve procedere con molta cautela.

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fig. 7 fig. 8

Un’interessante relazione è la relazione “è divisore proprio”, definita nell’insieme dei divisori di 12. L’insieme è il seguente: { }. Nella figura 8 è riportata la rappresentazione tabulare della relazione. Evidenzia quali dei numeri riportati sulla prima riga sono divisori propri di numeri riportati sulla prima colonna.

4. Occupiamoci adesso più diffusamente della rappresentazione cartesiana. Consideriamo a questo riguardo in un piano  (fig. 9) due semirette numeriche perpendicolari x ed y (per comodità scegliamo x orizzontale) e sia O la loro origine comune.

Fissiamo due punti importanti: il punto U al quale corrisponde il numero 1 sulla semiretta x ed il punto V al quale corrisponde il numero 1 sulla retta y. Si dice che il piano  è stato riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy) o che esso è un piano cartesiano ortogonale.

Le rette x ed y si chiamano assi cartesiani.

fig. 9

In genere i punti U e V si scelgono alla stessa distanza da O, ma può capitare che sia più conveniente sceglierli a distanze diverse. Bisogna valutare di volta in volta. Ad ogni modo, salvo rare eccezioni, noi supporremo che i segmenti OU ed OV abbiano la stessa lunghezza o, come anche si dice, che il sistema sia monometrico.¹

Preso ora un qualsiasi punto P del piano cartesiano, conduciamo per esso la perpendicolare all’asse x (sia A il punto intersezione ed a il numero che gli corrisponde: per la verità potrebbe essere un qualsiasi numero reale, ma ci mettiamo in condizioni che di norma sia un intero o, ma in casi molto semplici, un numero razionale) e la perpendicolare all’asse y (sia B il punto intersezione e b il numero che gli corisponde: vale lo stesso discorso fatto per a). Il numero a si chiama ascissa di P ed il numero b si chiama ordinata di P. Per questo motivo la semiretta x si

1 Questo termine è composto dalle parole greche "monos" = solo e "metron" = misura; appunto "una sola misura".

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6 Modulo 4/1 – Relazioni e loro rappresentazione dice asse delle ascisse e la semiretta y asse delle ordinate.

Al punto P risulta così associata la coppia ordinata di numeri (a,b).

Viceversa, presa la coppia ordinata di numeri (a,b) (come prima: tali numeri potrebbero essere numeri reali qualsiasi, ma noi ci mettiamo in condizione che siano numeri interi o, al più, semplici numeri razionali) ed invertendo la costruzione precedente, ad essa risulta associato il punto P.

Se si corrispondono il punto P e la coppia (a,b), si scrive:

P(a,b) e si legge: «il punto P di coordinate cartesiane a,b».

Evidentemente risulta:

O(0,0), U(1,0), V(0,1).

A questo punto, agli alunni può essere richiesto di rappresentare una serie di punti nel piano cartesiano ma per poter dire che effettivamente è raggiunto l’obiettivo “utilizzare il piano cartesiano per localizzare punti” essi dovrebbero saper fare di più. Per esempio,

dovrebbero essere in grado di risolvere qualche esercizio come il seguente.

Con riferimento alla figura 10, ti invitiamo a leggere le coordinate dei punti A, B, C, ivi contrassegnati da pallini ,ed a collocare i seguenti altri punti:

( ) ( ) ( ) ( )

fig. 10

Per esempio, in merito al punto A, si vede che esso è spostato orizzontalmente verso destra rispetto all’asse y di 2,5 unità di lunghezza; quindi l’ascissa di A è 2,5. Il punto, nello stesso tempo, è spostato verticalmente verso l’alto di 2 unità; quindi l’ordinata di A è 2. In conclusione le coordinate di A sono 2,5 cioè 5/2 e 2: . ( ).

Per disegnare il punto D( ) basta spostarsi sull’asse x verso destra di 2 unità di lunghezza a partire da O e, da qui, verticalmente verso l’alto di 1 unità di lunghezza.

5. Uno sguardo retrospettivo. In questo modulo, come in altri precedenti per la verità, si parla di insiemi e di loro rappresentazione. Le Indicazioni Nazionali non ne fanno alcun cenno e questo, viste e considerate le esperienze degli anni precedenti alla riforma, per impedire che insegnanti particolarmente zelanti ne facciano una trattazione estesa (ma fine a se stessa), come si è fatto per l’appunto per tanti anni nella scuola elementare, senza un obiettivo ben preciso. Insomma, la

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cosiddetta “insiemistica” era diventata una moda e tutti ne volevano parlare per non passare da retrogradi. Non si è fatto un buon servizio ai bambini.

Ora, come detto, le Indicazioni Nazionali non ne parlano più. Significa che anche l’insegnante deve guardarsi dal parlarne? No certamente. Anche perché c’è un punto, tra i traguardi per lo sviluppo delle competenze nella scuola dell’infanzia, che suggerisce in qualche misura di occuparsi dell’argomento. Si tratta del traguardo seguente: “

il bambino raggruppa e ordina oggetti e materiali secondo criteri diversi, ne identifica alcune proprietà,

…”.

Si tratta allora di stabilire cosa dire ai bambini riguardo agli insiemi. Certamente non farne una teoria e non trattarne in maniera massiccia.

Incominciamo allora a dire cosa devono sapere i bambini sugli insiemi. Poche cose, a nostro avviso:

- gli oggetti che formano un insieme si possono rappresentare racchiudendoli all’interno di una linea chiusa senza cappi (si tratta dei celebri diagrammi di Eulero-Venn);

- ma anche in altri modi se sono più utili: per esempio i numeri si rappresentano anche su una retta; anzi con questa modalità è pure evidenziato l’ordine con cui i numeri sono presi;

- gli oggetti che formano un insieme si chiamano elementi dell’insieme;

- per scrivere che un determinato insieme è formato, tanto per dire, dagli oggetti “Luna, Terra, Sole” si scrivono i nomi dei tre elementi e li si racchiudono entro parentesi graffe, in questo modo: { una erra ole}.

Non serve altro a livello di scuola primaria. Al più può essere utile spiegare il criterio in base al quale oggetti diversi sono legati insieme e far capire bene ai bambini il motivo della scelta di rappresentare gli insiemi nel modo detto sopra.

Non è difficile, poiché possiamo richiamarci alle innumerevoli operazioni che si compiono tutti i giorni e che permettono di parlarne fin dalla scuola dell’infanzia. Elenchiamo alcune di queste operazioni: disporre piatti sul tavolo o tazzine su un vassoio; riporre le posate nell’apposito contenitore o la biancheria nel cassetto o i libri e quaderni nella borsa; conservare l’occorrente per scrivere o disegnare nell’astuccio; racchiudere gli animali in un recinto (questo magari al giorno d’oggi è difficile vederlo, ma si può immaginarlo); disporre nella borsa ciò che si è acquistato al supermercato; eccetera.

Passare dal risultato di una di queste operazioni (per esempio le tazzine disposte su un vassoio – fig. 11) ad una stilizzazione di tale risultato (una linea chiusa senza cappi al posto del vassoio e dei tondini al posto delle tazzine – fig. 12) non dovrebbe essere un’impresa impossibile.

L’insegnante troverà in ogni caso le giuste azioni per conseguire lo scopo.

fig. 11 fig. 12