Un’equazione di primo grado rispetto al tempo y 2

(1)

prof. Francesco Ragusa Università di Milano

Interazioni Elettrodeboli

anno accademico 2020-2021

Lezione n. 2

29.09.2020

Equazione di Dirac 1 Soluzioni di onde piane

Invarianza relativistica

(2)

Equazione di Dirac

y La prima difficoltà dell’equazione di Klein-Gordon è stata l’apparizione di una densità di probabilità negativa

y Dovuta alla presenza della derivata seconda rispetto al tempo y Dirac affrontò il problema in modo diretto richiedendo

y 1. Un’equazione di primo grado rispetto al tempo

y 2. Anche di primo grado rispetto alle coordinate spaziali per avere covarianza relativistica

y 3. Che comunque riproducesse la corretta relazione E² = p² + m²

y Equivalente a richiedere che la funzione d'onda ψ sia anche soluzione dell’equazione di Klein-Gordon

y 4. Inoltre l’equazione deve essere invariante per trasformazioni di Lorentz y Con queste premesse Dirac ipotizzò che la forma dell’equazione potesse essere

(3)

y Identifichiamo l’Hamiltoniana dell’equazione di Dirac

y Per completezza, scriviamo anche l’equazione di Dirac in forma estesa quando e c sono diversi da 1

y Per determinare la natura delle grandezze α e β richiediamo il punto 3

y 3. La funzione d’onda ψ deve soddisfare anche l’equazione di Klein-Gordon y Applichiamo i∂/∂t all’equazione di Dirac

(4)

y Introducendo la forma esplicita dell’Hamiltoniana

y Sviluppiamo il prodotto (facendo attenzione all’ordine nei prodotti)

y Raccogliamo i termini "diagonali" e i termini "incrociati" separatamente

y Per ritrovare l’equazione di Klein-Gordon fissiamo condizioni su α_k e β

y Osserviamo che le quantità α_k e β non commutano y Pertanto esse devono essere matrici

(5)

Proprietà delle matrici α e β

y Le relazioni appena trovate sono espresse più convenientemente introducendo l’anticommutatore di due matrici A e B: {A,B} = AB + BA

y Determiniamo alcune proprietà delle matrici α e β

y Devono essere hermitiane (l’Hamiltoniana H deve essere hermitiana e i è un operatore hermitiano)

y Dal momento che α²= β² = 1 gli autovalori (reali) devono essere λ = ±1

y Sono matrici con traccia nulla

y Sfruttiamo la proprietà ciclica della traccia Tr[ABC] = Tr[CAB]

y Abbiamo

y Concludiamo

y E analogamente per β

{

(6)

Proprietà delle matrici α e β

y Le matrici hanno un rango pari

y Traccia nulla e autovalori ±1 implicano che il rango deve essere pari y Abbiamo 4 matrici pertanto il valore minimo del rango è 4

y Infatti le matrici di Pauli (2u2) hanno le proprietà richieste ma sono solo 3

y Pertanto le matrici α e β hanno dimensione 4u4

y Quindi anche la funzione d’onda ψ ha 4 componenti y Ci sono infinite possibilità per le matrici α e β

y Legate fra di loro da trasformazioni unitarie α' = UαU¹ y Ne considereremo 2

y La rappresentazione di Pauli-Dirac

y Utile per studiare l’approssimazione non relativistica y La rappresentazione di Weyl o rappresentazione Chirale

y Utile nel limite di alta energia o massa della particella nulla

y In moltissimi casi comunque non è necessario scrivere esplicitamente le matrici spinore non è un 4-vettore di Lorentz

(7)

Rappresentazione di Pauli-Dirac

y Nella Rappresentazione di Pauli-Dirac le matrici sono

y In questa forma (a blocchi) le quantità sono matrici di dimensione 2u2 y Ricordiamo alcune proprietà delle matrici di Pauli σ

y Il tensore totalmente antisimmetrico ε_klm è così definito y ε₁₂₃ = +1

y ε_klm = +1 klm permutazione pari di 123 y ε_klm = 1 klm permutazione dispari di 123 y ε_klm = 0 due o più indici uguali

y La proprietà del commutatore si può anche scrivere (k,l,m ciclici) y Dimostrare che

sottointesa la somma su m

(8)

Soluzioni dell’equazione di Dirac: onde piane

y Cerchiamo una soluzione del tipo

y Nella soluzione x e p sono 4-vettori e w è uno spinore

y Inoltre abbiamo costruito l’equazione di Dirac in modo che ψ soddisfi anche l’equazione di Klein-Gordon e pertanto deve essere

y Sostituendo nell’equazione di Dirac

y Otteniamo l’equazione matriciale

y Dove ricordiamo che

y Gli spinori w sono gli autovettori dell’equazione agli autovalori Hw = p₀w y L’Hamiltoniana H è hermitiana

y Gli autovalori ±p_o sono 4 e sono reali y Gli autovettori w sono ortogonali

(9)

y Utilizziamo la rappresentazione di Pauli-Dirac per le matrici α

y Introduciamo la rappresentazione a blocchi anche per lo spinore w y Le quantità φ e χ sono spinori di Pauli (dimensione 2)

y Introducendo nell’equazione y Si ottiene l’equazione

y Dalla quale si ottengono le equazioni accoppiate per φ e χ

y Bisogna notare che le due equazioni non sono indipendenti

y Applicando l’operatore σ⋅p/(p_o+m) alla prima equazione ( φ = σ⋅p/(p_o  m)χ )

y Ritroviamo la seconda equazione

(10)

Soluz. dell’equazione di Dirac: Energia positiva

y Il primo gruppo di soluzioni si trova dalla seconda equazione y In questo caso usiamo l’autovalore positivo: p_o = +E_p

y Ricaviamo χ in funzione di φ

y Sostituiamo in w. La soluzione è pertanto

y Lo spinore φ è arbitrario

y Ci sono due possibili spinori indipendenti φ_r, r = 1,2 quindi due possibili stati

y Se la particella ha una massa diversa da zero si può considerare il suo sistema di riposo ( p = 0 ) nel quale si ha

y Nel sistema di riposo i due spinori sono

Una possibile scelta è data da

E infine

(11)

Soluz. dell’equazione di Dirac:Energia negativa

y Il secondo gruppo di soluzioni si trova dalla prima equazione y In questo caso usiamo l’autovalore negativo: p_o = E_p

y Ricaviamo φ in funzione di χ

y Sostituiamo in w. La soluzione è pertanto y Lo spinore χ è arbitrario

y Ci sono due possibili spinori indipendenti χ_r, r = 1,2 quindi due possibili stati

y Se la particella ha una massa diversa da zero si può considerare il suo sistema di riposo ( p = 0 ) nel quale si ha

y Nel sistema di riposo i due spinori sono

Una possibile scelta è data da

E infine

(12)

y Abbiamo pertanto trovato 4 soluzioni

y Due soluzioni (r = 1,2) con energia positiva y Due soluzioni (r = 3,4) con energia negativa

y …… l’esponenziale con energia negativa non è in forma covariante y Per le soluzioni con energia negativa si sostituisce p o p

y Si utilizzano pertanto gli spinori w(p, r) (attenzione all’ortogonalità)

y Per evitare di scrivere gli spinori con argomento negativo si definiscono due spinori per l’energia positiva u(p,r) e due spinori per l’energia negativa v(p,r)

y Scrivendo v(p,r) esplicitamente (r = 1,2)

(13)

Forma covariante dell’Equazione di Dirac

y Dimostreremo che l’equazione di Dirac ha la stessa forma in tutti i sistemi inerziali

y Tuttavia la forma fin qui utilizzata non è manifestamente covariante y In particolare la coordinata t appare in modo diverso dalle x_k

y Moltiplichiamo l’equazione da sinistra per β y Utilizziamo β² = 1

y Definiamo γ⁰ = β e γ^k = βα^k

y Introduciamo^† ∂^μ = (∂∂t, ∂∂x^k) ∂_μ = g_μν∂^ν = (∂∂t, ∂∂x^k) y Riordinando i termini otteniamo

y È molto usata la notazione di Feynman (a_μ è un 4-vettore) y Le matrici γ soddisfano le seguenti regole di commutazione

non sono (tutte) hermitiane

(14)

y Nella rappresentazione di Pauli-Dirac la forma delle matrici è

y In forma esplicita

y Vale la pena rendersi conto di quello che la forma compatta dell’equazione di Dirac significa effettivamente

y Si tratta di un sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali

(15)

y Abbiamo visto le soluzioni (onde piane) dell’equazione di Dirac y Due funzioni ad energia positiva u(p,r)e^−ip⋅x

y Due funzioni a energia negativa v(p,r)e^+ip⋅x

y Applicando l’equazione di Dirac in forma covariante a queste soluzioni otteniamo due equazioni per gli spinori u e v

y Ricordarsi che si tratta di due equazioni matriciali y Le soluzioni sono autofunzioni dell’equazione di Dirac

y Spettro continuo, funzioni non normalizzabili

y Le soluzioni normalizzabili si costruiscono come pacchetti

y Si può verificare^† che uno stato iniziale localizzato (ad esempio una distribuzione gaussiana u w(0,1) ), ha una rappresentazione che contiene sia energie positive che negative

y ^†Greiner W. - Relativistic Quantum Mechanics. Wave Equations, 3rd ed. - Springer cap. 8, es. 8.5

(16)

Proprietà delle matrici γ

y Le matrici γ hanno alcune delle proprietà delle matrici α e β y Traccia nulla, autovalori ±1

y A differenza delle matrici α e β le matrici γ^k (k = 1,3) non sono hermitiane

y Queste relazioni possono essere unificate

y Vedremo che risulterà molto utile anche l’aggiunto spinoriale (definito per una matrice qualsiasi, non solo per γ^μ)

y Proprietà dell’aggiunto spinoriale (analoghe a quelle dell’aggiunto hermitiano)

y Va sottolineato che tutte le espressioni scritte sono matrici (4u4)

(17)

Proprietà delle matrici γ

y Vedremo che è utile definire anche l’aggiunto spinoriale per uno spinore

y Come nel caso dell’aggiunto hermitiano si tratta di un vettore-riga

y Una proprietà del prodotto di matrici u spinori Aψ

y In seguito saranno molto utili quantità scalari costruite a partire dagli spinori come ad esempio

y Calcoliamo il suo complesso coniugato

(18)

Corrente conservata

y Studiamo adesso come definire una corrente j^μ per l’equazione di Dirac tale che

y Procediamo come nel caso delle equazioni di Schrödinger e di Klein-Gordon y Moltiplichiamo a sinistra per lo spinore aggiunto hermitiano

y Scriviamo l’equazione aggiunta hermitiana

y Moltiplichiamo a destra per ψ e sottraiamo alla prima equazione

y Se le matrici γ^μ fossero hermitiane γ^μ†= γ^μ si potrebbe scrivere j^μ = ψ ^†γ^μψ

y Possiamo però utilizzare l’aggiunto spinoriale

y Ricordiamo la definizione di aggiunto spinoriale per lo spinore ψ no! sbagliate

(19)

y Ripetiamo il calcolo precedente sostituendo l’aggiunto hermitiano con l’aggiunto spinoriale

y Moltiplichiamo l’equazione di Dirac a sinistra per l’aggiunto spinoriale di ψ

y Scriviamo l’aggiunto spinoriale dell’equazione di Dirac

y Moltiplichiamo a destra per ψ

y E sottraiamo alla prima espressione

y Il primo membro è il 4-divergenza della corrente

(20)

y Vediamo adesso se si può interpretare la corrente j^μ come densità di corrente di probabilità

y Consideriamo la densità

y Vediamo pertanto che, a differenza di quanto avveniva per l’equazione di Klein-Gordon la densità ρ è definita positiva ed è pertanto interpretabile come densità di probabilità

y Occorre comunque verificare che il 4-vettore j^μ abbia le corrette proprietà di trasformazione per una trasformazione di Lorentz

y Lo vedremo in seguito

y Un punto da approfondire è legato alle normalizzazioni degli spinori

y Fino a questo punto non abbiamo utilizzato la possibilità di definire la normalizzazione degli spinori w (o u, v)

y La quantità ρdV deve essere invariante per trasformazioni di Lorentz y L’elemento di volume dV = dxdydz si contrae come 1/γ dV o dV/γ y Pertanto ρ deve "dilatarsi" come γ

(21)

Normalizzazione degli spinori

y Con un calcolo diretto si può facilmente verificare che

y Analogamente per gli spinori di energia negativa

y Pertanto, se ridefiniamo la normalizzazione degli spinori come

y Otterremo

y Ovviamente E_p varia come γ ( E_p = mγ )

y Questa normalizzazione ha lo svantaggio di introdurre una dimensionalità y Qualche autore utilizza la normalizzazione 2E_p/m

y Ha lo svantaggio che diverge per particelle con massa nulla (ad esempio i neutrini)

In Aitchison, Hey si usano entrambe; in Peskin Schroeder si usa 2E

(22)

Normalizzazione degli spinori

y Per quanto riguarda l’ortogonalità degli spinori è facile verificare che gli spinori w(p,r) sono fra di loro ortogonali

y Con la normalizzazione scelta (r,q = 1,4)

y Per esprimere queste condizioni utilizzando gli spinori u(p,r) e v(p,r) bisogna utilizzare cautela

y Gli spinori v sono definiti come (r =1,2) v(p,r) = w(−p,r+2)

y Le condizioni di normalizzazione e ortogonalità sono pertanto (r,q = 1,2)

y Notiamo incidentalmente che la normalizzazione degli spinori dipende da p e pertanto dipende dal sistema inerziale in cui si osserva lo spinore

y Le trasformazioni di Lorentz per gli spinori (che introdurremo) non sono unitarie perché non preservano la norma

(23)

Normalizzazione usando gli aggiunti spinoriali

y Introduciamo infine le normalizzazioni degli spinori utilizzando l’operazione di aggiunto spinoriale invece della coniugazione hermitiana

y Ad esempio, utilizzando la forma esplicita nella rappresentazione di Pauli-Dirac

y Si dimostra facilmente che

y Sottolineiamo che in queste relazioni la quantità di moto p ha sempre lo stesso segno

y Si può dimostrare che queste relazioni valgono indipendentemente dalla rappresentazione

y Infine questa normalizzazione è invariante rispetto al sistema di riferimento

(24)

Interpretazione delle soluzioni con p_o = −E_p

y Nella teoria di Dirac sarebbe possibile interpretare senza problemi le soluzioni con energia positiva

y La densità di probabilità è definita positiva

y L’evoluzione temporale (libera) di una funzione d’onda che contiene solo stati con p₀ > 0 non conduce all’apparizione di stati con p₀ < 0

y Tuttavia ci sono dei problemi

y Da un punto di vista matematico gli autovettori dell’Hamiltoniana sono un sistema completo solo se si includono anche gli stati con p₀ < 0

y L’evoluzione di uno stato iniziale localizzato (ad esempio una distribuzione gaussiana) porta a stati che contengono sia energie positive che negative y Infine se si introduce una interazione diventano

possibili transizioni da stati di energia positiva a stati di energia negativa

y Sarebbero transizioni che non assorbono energia bensì la cedono

y Sarebbero transizioni spontanee y Non esisterebbero stati stabili

(25)

y Dirac fornì una interessante soluzione a questi problemi

y Le particelle descritte dall’equazione di Dirac sono fermioni y Obbediscono al principio di esclusione di Pauli

y Dirac ipotizzò che tutti gli stati con energia negativa fossero occupati da elettroni

y Introdusse così un “mare” di particelle con energie negative y Il mare ha una energia totale infinita (E = −∞)

y Il mare ha una carica infinita (Q = −∞)

y Il mare ha un momento angolare totale nullo (coppie up-down) y Non possono esserci transizioni spontanee a

stati di energia negativa: tutti gli stati sono occupati y Se uno stato fisico viene descritto rispetto a questo “mare”

si giunge ad una descrizione accettabile e consistente

(26)

y Consideriamo un sistema nel quale inizialmente ci sia solo il mare (tutti gli stati di energia negativa sono completi) y Supponiamo che un fotone ceda al sistema una

quantità di energia sufficiente per una transizione y Da uno stato con energia negativa −E_k, −k

y Ad uno stato con energia positiva E_p, p y Il bilancio energia-momento è

y Nello stato finale abbiamo

y Un elettrone di carica −|e|, momento p spin s y Il mare ha perso una particella

y Si è creata una buca (hole)

y La sua carica diminuisce di −|e|

y La sua energia diminuisce di (−E_k) y Il suo momento diminuisce di (−k) y Il suo spin diminuisce di s

y Abbiamo creato un’antiparticella con numeri quantici |e|,m, E_k,k,−s E

+m

−m 0

y Abbiamo creato una particella y Nel sistema mare

y La carica aumenta di |e|

y L’energia aumenta di E_k y Il momento aumenta di k y Lo spin del mare diventa −s

(27)

y Con questa interpretazione riconsideriamo gli spinori con energia negativa

y Rappresentano una antiparticella di massa m una e carica +|e|

y Il 4-momento della particella è (E_p,p)

y Ricordiamo che lo spinore v(p,r) è definito a partire dalle soluzioni w con energia negativa e dalla relazione v(p,r) = w(−p,r)

y Se interpretiamo v(p,r) come la funzione d’onda della buca allora y Lo spinore v(p,1) rappresenta uno stato con spin down

y Lo spinore v(p,2) rappresenta uno stato con spin up

y Notare la corrispondenza fra valore "fisico" dello spin e numero dello stato

(28)

Invarianza relativistica dell’equazione di Dirac

y Nel caso dell’equazione di Klein-Gordon avevamo visto che l’invarianza per trasformazioni di Lorentz si esprimeva nel seguente modo

y Se φ soddisfa l’equazione y Allora la funzione definita da

y Soddisfa l’equazione

y Nel caso dell’equazione di Dirac si ha una situazione simile con una complicazione

y La funzione d’onda ψ(x) ha 4 componenti e una trasformazione di Lorentz modifica anche le componenti

y Facciamo il parallelo con una rotazione nel caso di un campo vettoriale F(r) y La rotazione modifica le componenti del punto rc = U r

y La rotazione modifica anche le componenti del campo vettoriale Fc(rc) = U F(r)

y Nel caso del campo spinoriale è fondamentale ricordare che lo spinore è una grandezza matematica differente da un 4-vettore

y Occorre trovare la legge di trasformazione degli spinori

(29)

Invarianza relativistica dell’equazione di Dirac

y Come nel caso delle rotazioni o delle trasformazioni di Lorentz assumiamo y La legge di trasformazione degli spinori è lineare

y Ad ogni trasformazione di Lorentz Λ corrisponde una trasformazione spinoriale S(Λ) che permette di calcolare lo spinore in K'

y Vediamo adesso le proprietà fondamentali di S(Λ)

y Lo spinore trasformato deve soddisfare l’equazione di Dirac nel sistema K'

y Sostituendo ψc(xc) = Sψ(x) e ∂c_μ = Λ_μ^α ∂_α otteniamo

y Moltiplichiamo da sinistra per S⁻¹

y L’equazione è identica all’equazione di Dirac se sono le stesse matrici

γ^μ del sistema K