CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA.
FOGLIO DI ESERCIZI 5– GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE 2012/13
Esercizio 5.1. Si considerino le matrici A =
3 1 − k − 1
3 1 1
− 3 −1 − k − 1
e B =
3 2 − 1
− 1 1 0
2 k 1
a) Trovare, se esistono, i valori del parametro reale k per i quali null(A) = null(B) = 0.
b) Sia C = AB. Stabilire se il sistema lineare Cx = 0 ha soluzione unica quando k = 0.
Esercizio 5.2. Si considerino le matrici
A =
1 0 1 3
1 1 1 5
1 −1 k + 2 k − 1 1 0 k + 2 2k − 1
b =
1 1 2 k
con k parametro reale.
a) Si risolva il sistema Ax = b al variare del parametro k.
b) Si stabilisca per quali valori di k il vettore v =
− 7 3 , −2, 1
3 , 1
appartiene all’insieme Sol(Ax = b).
Esercizio 5.3. [v. 7.62] Sia A la matrice reale seguente:
A =
k − k 0 − 1 1 − 2 1 0
0 1 k 1
a) Determinare il rango di A al variare del parametro reale k.
b) Calcolare null(A) e le soluzioni del sistema lineare omogeneo Ax = 0, nel caso k = 1.
Esercizio 5.4. [6.4] Calcolare l’inversa delle matrici (invertibili)
A = 1 2 2 − 1
B =
1 −1 3
1 1 2
2 0 7
utilizzando il metodo della riduzione a gradini.
Esercizio 5.5. [6.7] Sia A la matrice reale
A =
k k − 1 k
0 2k − 2 0 1 k − 1 2 − k
(k reale).
a) Si determini per quali valori di k la matrice A `e invertibile. Si calcoli la matrice inversa di A per k = −1.
b) Calcolare il rango di A al variare del parametro k.
Esercizio 5.6. [6.9] Sia A la matrice reale
A =
1 − 2 0
3k 8 + 2k k − 1 0 8k + 8 0
(k reale).
a) Calcolare il rango di A al variare del parametro k.
b) Esistono valori di k per i quali la matrice `e invertibile?
2 FOGLIO DI ESERCIZI 5 – GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE 2012/13
Esercizio 5.7. [v. 6.6] Dato k ∈ R, si considerino le seguenti matrici reali A
k
=
1 0 1 k 1 2 0 2 1
B =
− 1 0 1
0 − 1 2
0 1 0
a) Stabilire per quali valori di k la matrice A
k `e invertibile.
b) Trovare la matrice inversa di A
1
, per k = 1.
c) Risolvere l’equazione matriciale A
1
X + B = 0,con X matrice reale 3 × 3.
Esercizio 5.8. [6.11] Sia A la matrice reale A =
1 k 0
0 1 k − 4
2 k 0
(k reale).
a) Stabilire per quali valori di k la matrice A `e invertibile.
b) Per i valori di k trovati al punto precedente determinare l’inversa di A.
Esercizio 5.9. Sia A una matrice reale invertibile che soddisfa l’equazione 2A
2− A − I = 0. Esprimere l’inversa A
−1 di A in funzione di A. ` E possibile determinare A e la sua inversa?
Esercizio 5.10. [v. 7.93] Si considerino le matrici A = 2 1
2 1
, B = 0 4 4 0
, C = 2 9 10 1
, D = 6 k − 2 2 k + 2
Si stabilisca per quali valori di k la matrice D `e combinazione lineare di A, B e C. In tali casi si esprima D come combinazione lineare di A, B e C.
Esercizio 5.11. [5.16] Si considerino le matrici A = 1 1
2 − 1
, B = 2 k + 1 4 k − 3
, C =
0 1
2k − 2 2k − 1
a) Si stabilisca per quale valore di k ∈ R le matrici A, B e C sono linearmente dipendenti.
b) Per il valore trovato in a) esprimere B come combinazione lineare di A e C.
Esercizio 5.12. [5.17] Date le matrici A = 1 2
− 1 3
, B = 2 1 1 1
, C =
− 1 1
2 3
, D = 0 1
− 1 2
stabilire se D `e combinazione lineare di A, B, C.
Esercizio 5.13. [7.22] Siano dati i seguenti vettori di R
3:
v
1
≡ (1, 1, 1), v
2
≡ (2, 7, 7), v
3
≡ (0, k
2+ 2, 3), v
4
≡ (1, k + 3, k
2+ 2).
Stabilire se v
4
`e combinazione lineare di v
1
, v
2
e v
3
al variare del parametro k.
Esercizio 5.14. [7.25]
a) Mostrare che i vettori
v
1
= (0, 1, 1), v
2
= (−1, k, 0), v
3
= (1, 1, k) sono linearmente indipendenti per ogni valore di k ∈ R.
b) Esprimere il vettore v = (2, 1, 2) come combinazione lineare di v
1
, v
2
, v
3
.
Esercizio 5.15. [5.19] Siano dati i polinomi
p
1(x) = 1 + x, p
2(x) = 1 + 2x + x
2, p
3(x) = x − x
2.
Esprimere, se `e possibile, f (x) = x
2− x + 2 come combinazione lineare di p
1
(x), p
2
(x), p
3
(x).
