Calcolo delle Probabilità 2012/13 – Foglio di esercizi 5

Calcolo delle Probabilità 2012/13 – Foglio di esercizi 5

Variabili aleatorie: distribuzioni congiunte e marginali; indipendenza; massimo e minimo.

Esercizi teorici

Esercizio 1. Siano X, Y variabili aleatorie reali discrete, definite sullo stesso spazio di probabilità (Ω, A, P).

(a) Si mostri che per ogni funzione ϕ : R²→ R la variabile aleatoria reale Z := ϕ(X, Y ) è discreta con densità discreta data da

p_Z(z) = X

(x,y)∈R²: ϕ(x,y)=z

p_X,Y(x, y) , ∀z ∈ R .

(b) Si mostri che, posto S := X + Y , si ha p_S(s) = X

x∈R

p_X,Y(x, s − x) , ∀s ∈ R . In particolare, se X e Y sono indipendenti,

pS(s) = X

x∈R

pX(x)pY(s − x) , ∀s ∈ R .

Esercizio 2. Siano X, Y variabili aleatorie reali assolutamente continue, definite sullo stesso spazio di probabilità (Ω, A, P). Supponiamo che il vettore (X, Y ) sia assolutamente continuo, con densità f_X,Y. Poniamo S := X + Y .

(a) Posto Z := Y , si mostri che il vettore (S, Z) è assolutamente continuo, con densità fS,Z(s, z) = fX,Y(s − z, z) .

(b) Si deduca che S := X + Y è una variabile aleatoria assolutamente continua, con densità fS(s) =

Z

z∈R

fX,Y(s − y, y) dy = Z

x∈R

fX,Y(x, s − x) dx . In particolare, se X e Y sono indipendenti,

fS(s) = (fX ∗ f_Y)(s) :=

Z

z∈R

fX(s − y)fY(y) dy = Z

x∈R

fX(x)fY(s − x) dx . (L’operazione f_X ∗ f_Y è detta convoluzione delle due funzioni f_X e f_Y.) Esercizi “pratici”

Esercizio 3. Un segnale viene trasmesso in un istante aleatorio X. Il ricevitore viene acceso in un istante aleatorio Y e resta acceso per un intervallo di tempo aleatorio Z. Supponendo che X, Y, Z siano variabili aleatorie indipendenti con X ∼ U [0, 2] e Y, Z ∼ U [0, 1], qual è la probabilità che il segnale venga ricevuto?

Esercizio 4. Sia Z := (X, Y ) un vettore aleatorio bidimensionale con distribuzione uniforme nel sottoinsieme C := ([0,¹₂] × [0,¹₂]) ∪ ([¹₂, 1] × [¹₂, 1]). Si determinino le distribuzioni delle variabili aleatorie reali X e Y . Esse sono indipendenti?

†Ultima modifica: 14 novembre 2012.

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Esercizio 5. Sia Z := (X, Y ) un vettore aleatorio bidimensionale con distribuzione uniforme nel disco unitario D1 := {(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ 1}. Si determinino le distribuzioni delle variabili aleatorie reali X e Y . Esse sono indipendenti?

Esercizio 6. (*) Consideriamo n prove ripetute e indipendenti con probabilità di successo p. Si determini la distribuzione congiunta delle variabili aleatorie S := “numero di successi nelle n prove” e Y := “prova in cui si ha il primo successo”.

Esercizio 7. Sia (X, Y ) un vettore aleatorio bidimensionale con densità f data da f (x, y) = c y e^−xy1[0,∞)×[0,2](x, y) .

(a) Si determini il valore di c ∈ R affinché f sia effettivamente una densità.

(b) Si determinino le densità marginali di X e Y e si riconosca la legge di Y . (c) X e Y sono indipendenti?

(d) Si determini una densità g : R²→ [0, +∞] diversa da f ma con le stesse marginali.

(e) (*) Si mostri che V := max(X, Y ) è una variabile aleatoria reale assolutamente continua e se ne determini la densità.

(f) (*) Posto U := X + Y , si dica se U e V sono indipendenti. [Sugg.: non è necessario calcolare la densità congiunta di (U, V ).]

Esercizio 8. Siano X₁, X₂ variabili aleatorie indipendenti con X₁ ∼ X₂ ∼ U (0, 1).

(a) Si determini la legge di L := min{X₁, X2} e M := max{X₁, X2}, mostrando che si tratta di variabili assolutamente continue.

(b) (*) Sia ϕ : R → R la riflessione rispetto al punto ¹₂, ossia ϕ(x) := 1 − x (si noti che ϕ⁻¹ = ϕ). Posto X₁⁰ := ϕ(X₁) e X₂⁰ := ϕ(X₂), si mostri che X₁⁰ e X₂⁰ sono variabili aleatorie indipendenti con X₁⁰ ∼ X₂⁰ ∼ U (0, 1). Si deduca che L⁰:= min{X₁⁰, X₂⁰} ha la stessa distribuzione di L. Si mostri quindi che L⁰= ϕ(M ). Infine, partendo dal fatto che M è una variabile aleatoria assolutamente continua, si concluda che L⁰ (e dunque anche L) è assolutamente continua, con densità f_L⁰(x) = fL(x) = fM(1 − x).

Esercizio 9. Siano X₁, X2 variabili indipendenti con distribuzione uniforme discreta sull’insieme {1, . . . , n}, dove n ∈ N. Definiamo la variabile Y := min{X1, X₂}.

(a) Si calcoli P(Y = k) per ogni k ∈ N.

(b) Si mostri che lim_n→∞ P(Y ≤ tn) = 2t − t² per ogni t ∈ (0, 1).

Esercizio 10. Sia X₁, X2, . . . una successione di variabili casuali scalari i.i.d. con distribuzio- ne uniforme nell’intervallo (0, 1), definite su uno spazio di probabilità (Ω, A, P). Introduciamo la variabile casuale T : Ω → N ∪ {+∞} e, per k ∈ N, l’evento Ak definiti da

T (ω) := inf



k ≥ 1 : Xk(ω) ≤ 1 3



, Ak =



Xk≤ 1 3

 .

e definiamo Y := X_T1_{{T <∞}}, cioè Y (ω) := X_{T (ω)}(ω) se T (ω) < ∞ e Y (ω) := 0 altrimenti.

(a) Per ogni fissato n ∈ N, si esprima l’evento {T = n} in termini degli eventi {Ak}_k∈N. (b) Si determini la legge di T .

(c) Si determini la legge di Y . (Sugg.: si calcoli innanzitutto P(Y ≤ x, T = n) per n ∈ N.)