Geometria
Proff. F. Bracci/ F. Gavarini Appello II —- 10 Settembre 2010 Geometria I modulo/Algebra Lineare
[1]Sia V uno spazio vettoriale metrico, e sia B :={
v1, v2, v3}
una sua base ortonormale. Si considerino in V i tre vettori
w1 := v1+ 2 v2+ v3 , w2 := v1− v2+ v3 , w3 := 3 v1− v3
(a) Dimostrare che B′ :={
w1, w2, w3}
`e una base di V . (b) Dimostrare che la base B′ :={
w1, w2, w3}
non `e ortogonale.
(c) Determinare un vettore v ∈ V che sia ortogonale ai due vettori u := w1 − 3 w2, u′ := 2 w2+ w3, e che abbia norma pari a 3 , cio`e (in formule) v⊥ u , v ⊥ u′ , ∥v∥ = 3 . [2] Nello spazio vettoriale V :=R4 , si considerino i tre vettori
v1(t) :=(
− t − 1 , t − 1 , 3 t + 2 , 2 t + 3)T
, v2(t) :=(
3 , 0 , 3 , 4)T
v3(t) :=(
− t + 2 , 2 , −2 t + 2 , t + 2)T
dipendenti dal parametro t∈ R .
(a) Per ogni valore di t∈ R , determinare nell’insieme {
v1(t) , v2(t) , v3(t)}
un sottoin- sieme massimale I(t) composto di vettori linearmente indipendenti.
(b) Per ogni valore di t∈ R , determinare se il vettore v :=(
− 2 , 4 , 1 , −7)
appartenga al sottospazio Span(
v1(t) , v2(t) , v3(t))
. In caso affermativo, si esprima — tramite opportuni coefficienti, dipendenti da t — il vettore v come combinazione lineare dei vettori appartenenti a I(t) .
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Geometria II modulo/Metodi Numerici per la Grafica I
1) Nel piano proiettivo P2 siano fissate coordinate omogenee [x1 : x2 : x3]. Si consideri l’immersione canonica dello spazio affineA2 data da (x, y)7→ [x : y : 1].
1. Trovare l’equazione del fascioF di rette proiettive che passano per [1 : −1 : 0] e trovare l’equazione di tale fascio nel piano affine.
2. Sia ˆrα la retta proiettiva x1 − x2 = αx3, con α numero reale. Determinare equazione cartesiana e equazione parametrica della sua parte affine.
3. Siano s1 ed s2 le rette del fascioF che contengono rispettivamente il punto [0 : 0 : 1] e il punto [0 : 1 : 1]. E siano ˆr1, ˆr2 le due rette ottenute da ˆrαimponendo α = 1 e α = 2.
Determinare l’area del quadrilatero affine i cui vertici sono dati dalle interserzioni di s1 con ˆr1, di s1 con ˆr2, di s2con ˆr1e di s2 con ˆr2.
2)Nel piano affineA3 siano fissate coordinate{x, y, z}. Sia πtil piano di equazione 2x + 2y− 2z = 6t con t≥ 1. Sia O = (0, 0, 0).
1. Rispetto alla proiezione centrale da O su πt, determinare la traccia T e il punto di fuga F della retta r passante per (1, 0, 0) e parallela al vettore (1, 1,−1).
2. Determinare per quali valori di t la distanza tra T e F `e minima e giustificare geometri- camente il motivo.
3. Determinare se possibile un sistema di riferimento ortonormale{O′, x′, y′, z′} per cui, per un fissato t, il piano πtsia dato da z′ = 0 e la retta r sia data da x′ = y′ = 0.
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