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Testo completo

(1)Università degli Studi di Siena Dipartimento di Economia Politica e Statistica. Correzione Prova Scritta di Matematica Generale (A.A. 11-12) 23 marzo 2013 ") c d e c Ê d Ðc / eÑ Ê Ðd 9 eÑ Z Z Z Z Z Z Z J Z Z Z J Z J Z J J J J Z Z Z Z J Z J Z Z J J Z Z Z J J J Z Z La proposizione c Ê d è sicuramente vera quindi non consideriamo la terza e quarta riga, dato che Ðc / eÑ Ê Ðd 9 eÑ è vera nelle rimanenti sei righe concludiamo che la risposta è affermativa. #) Notiamo che l'uguaglianza " 7# œ " 8# può essere riscritta come 7# 8# œ ! che è verificata solo per 7 œ 8 œ !. Riflessiva: a7 − ™, 7# 7# œ !? Falso, controesempio 7 œ ". Simmetrica : aÐ7ß 8Ñ − ™# , 7# 8# œ ! Ê 8# 7# œ !? Vero, banale. Antisimmetrica: aÐ7ß 8Ñ − ™# , Ð7# 8# œ ! e 8# 7# œ !Ñ Ê 7 œ 8? Vero, perché come prima evidenziato da 7# 8# œ ! otteniamo 7 œ 8 œ !. Transitiva: aÐ7ß 8ß :Ñ − ™$ , Ð7# 8# œ ! e 8# :# œ !Ñ Ê Ð7# :# œ !Ñ? Vero, perché se 7# 8# œ ! e 8# :# œ ! risulta 7 œ 8 œ : œ ! da cui 7 # : # œ !. Completa: aÐ7ß 8Ñ − ™# , Ð7# 8# œ !Ñ o Ð8# 7# œ !Ñ o Ð7 œ 8Ñ? Falso, controesempio 7 œ " e 8 œ !. $) 637 0 ÐBÑ œ 637 logÐ" BÑ œ log #; BÄ ". BÄ ". 637 0 ÐBÑ œ 637 7B ; œ 7 ;; B Ä ". BÄ " 637 0 ÐBÑ œ 637 7B ; œ 7 ; ; BÄ" BÄ" 637 0 ÐBÑ œ 637 logÐ" BÑ œ log #. BÄ". BÄ". La funzione è continua su l'insieme dei numeri reali ‘ se e soltanto se: 7 ; œ log # œ 7 ; œ log # e con semplici passaggi algebrici si ha 7 œ ! e ; œ log #. " cosÐ=/8BÑ " cosÐ=/8BÑ =/8B # " " %) 637 œ 637 † œ † " œ . Š ‹ BÄ! BÄ! B# =/8# B " B # # B# # B # B# B ! œ ". 637 637 Š ‹ Š ‹ • œ ˆ/# ‰ œ /! œ ". ” # # BÄ∞ B Ä ∞ B B &) GÞIÞ: B !. GÞIÞ œ Ò!ß ∞Ò. Segno: B# ÈB ! Ê ÈBÐÈB$ "Ñ ! Ê ÈB$ " Ê B ", C positiva in Ó"ß ∞Ò, negativa in Ó!ß "Ò..

(2) Intersezioni: Cœ! Cœ! Cœ! œ C œ B# ÈB Ê œ B# ÈB œ ! Ê œ È È $ BÐ B "Ñ œ !. ß. Cœ! œB œ !. à. Cœ! œB œ ". Intersezioni nei punti SÐ!ß !Ñ e EÐ"ß !Ñ. Limiti agli estremi del GÞIÞ: 637 B# ÈB œ ∞ ∞ J M , se raccogliamo ÈB si ottiene BÄ ∞ 637 B# ÈB œ 637 ÈBÐÈB$ "Ñ œ ∞ † ∞ œ ∞Þ. .. B# ÈB C " 637 œ 637 œ 637 B œ ∞ ! œ ∞. La B Ä ∞B BÄ ∞ BÄ ∞ ÈB B funzione non presenta asintoti. " Crescenza e decrescenza: C w œ #B . #È B $ È " " " " % $ È $ #B ! Ê #B Ê B Ê BÊ œ . Minimo % "' % #È B #È B $ $ È È % % $ $ assoluto in B œ pari a CÐ Ñœ È # . 637 C w œ ∞. S è punto di % % ) BÄ! cuspide. " Concavità e convessità: C ww œ #. , con C ww - !, aB - !; funzione $ È % B strettamente convessa. Grafico: BÄ ∞. BÄ ∞. ') Posto > œ cos B si ha .> œ =/8B .B e quindi =/8B " " .B œ. Ð. =/8BÑ .B œ. .> œ ( ( ( " cos# B " cos# B " >#.

(3) arctan > 5 œ arctan cos B 5; passando all'integrale definito otteniamo: 1 1 # =/8B 1 1 # .B œ. arctan cos B œ arctan cos arctan cos ! œ . ¹ ( # ! # % ! " cos B 7) I METODO: il polinomio di MacLaurin di terzo grado della funzione 1Ð>Ñ œ /> è ># >$ T$1 Ð>Ñ œ " >. . Il polinomio cercato è ottenuto per composizione #x $x tralasciando le potenze di ordine superiore al terzo: T$0 ÐBÑ œ T$1 ÐB B# Ñ œ ÐB B# Ñ# ÐB B# Ñ$ B# #B$ B$ # # " ÐB B Ñ. œ " B B. œ #x $x #x $x # B & " B B$ . # ' II METODO: utilizziamo le derivate: # 0 ÐBÑ œ /B B Ä 0 Ð!Ñ œ "; # 0 w ÐBÑ œ /B B † Ð" #BÑ Ä 0 w Ð!Ñ œ "; #. #. 0 ww ÐBÑ œ /B B † Ð" #BÑ# /B B † Ð #Ñ Ä 0 ww Ð!Ñ œ "; # # # 0 www ÐBÑ œ /B B † Ð" #BÑ$ /B B † #Ð" #BÑÐ #Ñ #/B B † Ð" #BÑ Ä 0 www Ð!Ñ œ &; sostituiamo le derivate nel polinomio 0 ww Ð!Ñ # 0 www Ð!Ñ T$0 ÐBÑ œ 0 Ð!Ñ 0 w Ð!Ñ † B. †B. † B$ e come in precedenza #x $x B# & abbiamo T$0 ÐBÑ œ " B B$ . # ' C " 8) 0Bw œ CA # ; 0Cw œ BA ; B B 0Dw œ A D A " ; 0Aw œ BC D A † log D ..

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