1. Data la regione di piano non omogenea, delimitata dalle curve y = x 2 , x = y 2 , la cui densit`a di massa varia con la legge ρ(P ) = α x P , determinare l’ascissa del baricentro G nel caso α = 2.

1 ^a prova scritta di Meccanica Razionale - 6.04.2004

Cognome e Nome . . . . Corso di Laurea . . . Anno di Corso 2 3 altro

FILA 1

1. Data la regione di piano non omogenea, delimitata dalle curve y = x ² , x = y ² , la cui densit`a di massa varia con la legge ρ(P ) = α x ^P , determinare l’ascissa del baricentro G nel caso α = 2.

O P

x y

A 5

7 ; B 4

9 ; C 4

7 ; D 5

9 .

2. Calcolare il momento assiale della quantit`a di moto K u , dove ~u `e il versore della retta avente equazione z = 0, x = y, del sistema omogeneo costituito dall’asta OC (OC = β R, massa α m) e dalla lamina triangolare AOB (OA = OB = R, massa m), sapendo che esso ruota con velocit`a angolare costante ~ ω = (0, 1, 1) attorno ad O, nel caso α = 1, β = 1.

O A

B

x

y z

C

A 5 √ 2

6 mR ² ; B

√ 2 8 mR ² ; C 3 √

2

4 mR ² ; D

√ 2 12 mR ² .

3. Comporre i seguenti stati cinetici rotatori ~v ⁱ = ~ ω ⁱ ∧ (P − O ⁱ ), i = 1, 2, 3:

O 1

µ 0, 0, 1

2

¶

~

ω 1 (−1, 0, 2) O 2 (0, 1, 0) ~ ω 2 (0, 2, 0) O 3

µ 1 2 , 0, 1

2

¶

~

ω 3 (2, 0, 0)

e calcolare il modulo della velocit`a dei punti appartenenti all’asse di Mozzi.

A 1

3 ; B 1

2 ; C 1

4 ; D 3

2 .

Avvertenze:

1. Non ` e consentita la consultazione di testi e appunti.

2. Durata della prova: 45 minuti.

3. Punteggi: punti 3 per risposta esatta, punti 0 per risposta non crocettata, punti -1 per risposta errata.

4. Ammissione alla 2

prova scritta con punti 5.