15. ESERCIZI di RIEPILOGO
1. Data la curva '(t) = (1 + cos t, 1 sin t, cos(2t)), t 2 [0, ⇡], stabilire se risulta semplice e regolare.
Determinarne versore tangente, normale, binormale, curvatura e torsione nel punto P (1, 0, 1).
2. Determinare versore tangente, versore normale orientato, curvatura orientata e circonferenza osculatrice della curva piana di equazione cartesiana y = sin2x nel punto P (⇡2, 1). Stabilire per quali x 2 [0, ⇡]
risulta ˜k(x) = 0.
3. Calcolare Z p
1 xz ds essendo la curva semplice e regolare avente per sostegno l’intersezione del cilindro x2+ z2= 1 con il piano x + y + z = 1.
4. Data la funzione f (x, y) = ( x2y
x2+y2 (x, y)6= (0, 0)
0 (x, y)6= (0, 0 stabilire se nell’origine (i) risulta continua e derivabile parzialmente;
(ii) ammette derivata direzionale nella direzione ⌫ = (p12,p12);
(iii) risulta di↵erenziabile.
5. Data la funzione f (x, y) = y2(x + 1) 2x, determinarne, se esistono, i punti di massimo e di minimo relativo nel suo dominio. Determinare i punti di massimo e di minimo assoluto nell’insieme D ={(x, y) 2 R2|p
1 + y2 x 2}.
6. Determinare le coordinate del baricentro del corpo piano D ={(x, y) 2 R2| 0 y p
3x, x2+ y2 2x}
di densit`a di massa costante.
7. Calcolare il flusso del campo F (x, y, z) = (x, y, 0) attraverso la superficie S di equazione cartesiana z = x92 +y42 con x2+ y2 4, orientata in modo tale che N(0, 0, 0) · k < 0.
8. Calcolare ZZZ
E
zex2+y2dxdydz dove E ={(x, y, z) 2 R3| 0 x2+ y2 z 1}.
9. Dato il campo vettoriale F (x, y, z) = (1z, 2y +pz,2pyz zx2), dire dove risulta conservativo e determinarne un potenziale. Calcolarne il lavoro lungo la curva '(t) = (t2, t, t + 1) con t2 [0, 1].
10. Determinare la soluzione del seguente problema di Cauchy
(y0= 2xy yx2log x
y(1) = 2 specificandone il do- minio.
11. Determinare la soluzione del problema di Cauchy 8>
<
>:
y00+ y = cos x1 + cos x y(0) = 1
y0(0) = 0
.
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