Tavolo con foro e masse collegate da un filo

Tavolo con foro e masse collegate da un filo

Figure 1:

Una massa m legata ad un filo di lunghezza l si muove senza attrito su un piano orizzontale. Tramite un foro sul piano, il filo viene mantenuto in tensione da una massa M appessa all’altra estremit`a.

1. Si determini e si studi il potenziale efficace scritto in funzione della co- ordinata radiale r. Determinare, in particolare, il raggio r0 dell’orbita circolare.

2. Ricavare esplicitamente il raggio minimo ed il raggio massimo dell’orbita percorsa dalla massa m nel caso in cui la lunghezza iniziale del filo sia d e la velocit`a iniziale v₀ sia perpendicolare al filo stesso.

3. Determinare il tempo necessario per passare dalla distanza massima r_max alla minima r_min nel caso di orbite “quasi circolari”, cio`e con (rmax− r_min) << r0.

0.1 Potenziale efficace

Il moto della massa m viene pi`u facilmente descritto in coordinate polari (r, θ). Nel moto si conservano il momento angolare rispetto al polo O (foro) e l’energia meccanica.

( LO= mr²θ˙

E = ¹₂m( ˙r²+ r²θ˙²) + +¹₂M ˙r²+ M gr (1) 1

dove lo zero dell’energia potenziale della massa M `e preso ad una quota l al di sotto del piano, ed il contributo cinetico della massa appesa `e espresso in funzione di r. Essendo il moto della massa m piano, il momento della quantit`a di moto `e diretto lungo l’asse z perpendicolare al piano stesso.

Possiamo eliminare ˙θ ricavandolo dalla prima equazione e sostituendolo nella seconda:

E = 1

2(m + M ) ˙r²+ L²_O

2mr² + M gr ≡ 1

2(m + M ) ˙r²+ U_{ef f}(r) (2) Il potenziale efficace appena definito diverge per r → 0 e per r → ∞, ed ha un minimo in

r₀ = ³ s L²₀

mM g corrispondente alle traiettorie circolari.

L’andamento del potenziale `e rappresentato in figura 2; in figura `e anche riportato un possibile valore di E. Il moto `e confinato fra un raggio minimo ed un raggio massimo definiti dai punti di incontro fra curva e retta.

E = L²_O

2mr_m² + M gr_m (3)

Figure 2: Potenziale efficace e possibile valore di E.

L’equazione di terzo grado risultante non ha, in generale, una soluzione analitica. Tale soluzione si pu`o trovare per le particolari condizioni iniziali di cui al prossimo punto.

0.2 Soluzione particolare

Nel caso in cui ~v₀ sia perpendicolare al raggio vettore, il momento angolare rispetto al polo `e LO = mdv0 e l’equazione 3 si pu`o riscrivere come:

1

2mv₀²+ M gd = L²_O

2mr_m² + M gr_m = 1 2md²

r_m² v₀²+ M gr_m (4) 2

Chiaramente una soluzione di questa equazione `e r<sub>m</sub> = d in quanto nei punti di “afelio” e “perielio” la velocit`a risulta perpendicolare al raggio vettore.

Infatti, portando tutto a primo membro in 4, risulta:

1

2mv²₀(1 − d²

r_m² ) − M g(r_m− d) = 1

2mv²₀r²_m− d²

r²_m − M g(r_m− d) = 0 (5) da qu`ı si vede esplicitamente che una soluzione `e r_m = d mentre l’altra si ottiene da:

2M gr²_m− mv²₀r_m− mv₀²d = 0 (6) la cui soluzione positiva `e:

rm= mv²₀ 4M g 1 +

s

1 + 8M gd mv²₀

!

≡ 1 +√ 1 + 8f

4f d (7)

dove abbiamo introdotto il numero adimensionale f = ^{M gd}_mv2 0

.

Si noti che per f = 1 risulta rm = d. In questo caso, la forza peso M g e la “forza centrifuga” mv²₀/d sono uguali mantenendo la massa m lungo una traiettoria circolare. Pi`u correttamente: la forza peso della massa M , tramite il filo inestensibile e senza massa l, fornisce la forza centripeta nec- essaria a mantenere m in moto circolare uniforme di raggio d.

Se f > 1, l’equazione 7 indica che r_m < d, quindi r_m rappresenta il raggio minimo della traiettoria che avr`a d come raggio massimo. Questo corrisponde a M g > mv²₀/d, con ovvia interpretazione secondo quanto detto sopra. Il viceversa accade per f < 1.

0.3 Periodo dell’orbita

Il caso di orbite “quasi circolari” corrisponde ad una energia iniziale E che non si discosta molto dal punto di minimo del potenziale efficace (figura 2).

Per determinare il periodo di transito da r_max a r_minpossiamo sviluppare il potenziale efficace intorno al minimo come nel caso delle piccole oscillazioni.

La pulsazione risultante `e:

ω² = 1 (m + M )

d²U (r) dr²

    _r=r

0

= 3L²₀

m(m + M )r₀⁴ = 3M g (m + M )r0

(8) Il periodo di transito richiesto `e uguale a met`a del periodo di un’oscillazione completa:

T = π

s(m + M )r₀

3M g (9)

Si noti che le orbite percorse dalla massa m non sono chiuse, per cui quanto scritto non equivale ad affermare che dopo un tempo 2T la massa m torna alla posizione iniziale.

3