Pendolo con punto di sospensione oscillante

Pendolo con punto di sospensione oscillante

Figure 1:

Il punto di sospensione O⁰ di un pendolo viene mantenuto in oscillazione secondo la legge:

x_O⁰(t) = x₀cos ωt (1)

Si determini il moto della massa m nell’ipotesi di piccole oscillazioni assumendo che all’istante iniziale il punto di sospensione venga spostato nella posizione x(0) = x0 con il pendolo mantenuto verticale.

Soluzione

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Consideriamo il sistema non inerziale con asse verticale y⁰ solidale al punto di sospensione. In questo sistema la posizione della massa m `e de- scritto dall’angolo polare θ. Le forze che agiscono sulla massa m sono: la forza peso, la tensione del filo e la eventuale forza apparente dovuta alla non inerzialit`a del sistema.

Quindi:

m~g + ~τ + ~F_app= m~a (2)

con

F~app= −m~atr = mx0ω²cos ωt ˆex

Usiamo un sistema di coordinate polari:

 mg cos θ − τ + mx0ω²sin θ cos ωt = m(¨r − r ˙θ²)

−mg sin θ + mx₀ω²cos θ cos ωt = m(r ¨θ + 2 ˙r ˙θ) (3) Nel caso di piccole oscillazioni, riscriviamo la prima equazione del sistema (3) come:

θ + ω¨ ₀²θ = x0

l ω²cos ωt (4)

dove, come al solito, ω0 rappresenta la frequenza naturale di oscillazione del pendolo:

ω0 =r g l La soluzione generale `e:

θ(t) = A cos ω0t + B sin ω0t + x0

l ω²

ω²₀− ω² cos ωt (5) Le due costanti di integrazione A e B sono date dalle condizioni iniziali.

Ad esempio se il punto di sospnsione viene spostato a x(0) = x0 mantenendo il pendolo vertical e poi viene lasciato andare, le condizioni iniziali sono:

θ(0) = ˙θ(0) = 0. Da cui:

θ(t) = ^x_l⁰_ω2^ω2

0−ω²(cos ωt − cos ω0t)

= 2^x_l⁰_ω2^ω−ω² ₀²sin^ω−ω₂ ⁰t sin^ω+ω₂ ⁰t

= A(t) sin^ω+ω₂ ⁰

(6)

dove ho usato le formule di prostaferesi per riscrivere la somma dei coseni.

La soluzione (6) rappresenta una funzione sinusoidale di pulsazione Ω = (ω + ω0)/2, media fra la pulsazione naturale e quella della forzante, e di periodo T = 4π/(ω + ω₀), la cui ampiezza A(t) oscilla a sua volta con periodo T_A= 4π/(ω − ω₀) > T .

Questo fenomeno si chiama “battimento” ed `e rappresentato in figura.

Vediamo adesso i casi limite:

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Figure 2:

• ω ' ω₀ : in questo caso ω − ω0 ' 0 e la funzione A(t) pu`o essere sviluppata al prim’ordine dando:

θ(t) = x₀ l

ω²

ω + ω₀t sin Ωt

Quindi siamo in una condizione di risonanza nella quale l’ampiezza dell’oscillazione aumenta linearmente con il tempo. Naturalmente questo `e vero fino a che si mantiene valida l’approssimazione di piccole oscillazioni.

• ω >> ω₀ : in questo caso conviene ripartire dalla prima linea della equazione (6), cio`e prima della applicazione delle formule di prostafer- esi, e approssimare cos ω₀t ' 1. Risulta:

θ(t) = x0

l (1 − cos ωt)

Per capire il risultato, consideriamo la posizione del punto P coinci- dente con la massa m. Nel sistema non inerziale:

x⁰_P = l sin θ ' lθ = x₀(1 − cos ωt) Nel sistema assoluto, l’ascissa della massa m vale:

xP = x⁰_P + x_O⁰ = x0

Quindi l’oscillazione del punto di sospensione `e cos`ı veloce che la massa m rimane ferma nella sua posizione iniziale (sempre per piccole oscil- lazioni).

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• ω₀>> ω : in questo caso:

θ(t) = 2x₀ l

ω²

ω²− ω₀² sin−ω₀

2 t sin+ω₀ 2 t ' 0

Quindi l’oscillazione del punto di sospensione avviene molto lenta- mente ed il pendolo si mantiene in posizione verticale.

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