Corso di laurea in Fisica I Parziale di Istituzioni di Fisica Teorica L’Aquila 15 Novembre 2014 studente/ssa: matricola:

Corso di laurea in Fisica

I Parziale di Istituzioni di Fisica Teorica L’Aquila 15 Novembre 2014

studente/ssa:

matricola:

1) Un atomo di idrogeno ` e descritto dalla Hamiltoniana

H = H _G (P) + H _r (p, r)

dove H G ` e l’Hamiltoniano del baricentro e H r l’Hamiltoniano delle coordinate relative.

- Scrivere H _G ed H _r .

- Quali sono le quantit` a conservate?

- Quale ` e l’insieme completo di osservabili commutanti che descrive il problema?

Se ad H viene aggiunto il termine

V = −gL · s

Dove L ` e il momento angolare orbitale ed s ` e lo spin elettronico,

- Quale ` e l’insieme completo di osservabili commutanti che descrive il problema?

H G (P) ` e l’Hamitoniano di una particella libera di massa pari alla massa totale mentre H r (p, r)

`

e l’hamiltoniano di una particella di massa ridotta in un campo centrale Coulombiano, da

ci` o si ha la conservazione dell’energia, dell’impulso del centro di massa (nelle sue 3 componenti), del momento angolare in modulo e di una delle sue componenti (qualora non si consideri lo

spin dell’elettrone). Nel caso particolare del potenziale Coulombiano la ulteriore convervazione del vettore di Lenz corrisponde alla degenerazione accidentale degli autovalori dell’energia.

Il termine di perturbazione pu` o essere riscritto introducendo il momento angolare totale J = L + s...

2) Un oscillatore armonico unidimensionale di pulsazione propria ω ` e sottoposto alla perturbazione V = −λ(a ² + a ^†2 )

- quando ci si attende sia valida la teoria delle perturbazioni?

- determinare la correzione al primo e secondo ordine per l’energia dello stato fondamentale.

Per la validit` a della teoria delle perurbazioni bisogna confrontare l’energia associata a V e quella associata all’Hamiltoniano dell’oscillatore armonico...

3) Un rotatore libero ` e descritto dall’Hamiltoniano:

H = L ² 2I dove I ` e il momento di inerzia del sistema.

Gli operatori L ₊ ed L ₋

- possono rappresentare grandezze fisiche?

- sono compatibili?

- Sono quantit` a conservate nell’evoluzione descritta dall’Hamiltoniano sopra?

1

L ± non sono operatori Hermitiani. Per il secondo questito bisogner` a calcolare il commutatore fra le due quantit` a e per il terzo quesito un altro commutatore dovr` a essere calcolato...

4) Due particelle identiche in una dimensione sono nello stato descritto dalla funzione d’onda Ψ(x ₁ , x ₂ ) = ^{√ 1}

2πσ

exp(− ^x

_4σ ^+x

)

- Si supponga che lo spin delle particelle sia nullo. La funzione d’onda su scritta ` e uno stato possibile per il sistema? Giustificare la risposta.

- Si supponga che lo spin delle due particelle sia 1/2 e si scriva la parte di spin affinch` e la funzione d’onda totale sia ammissibile.

La funzione d’onda ` e simmetrica per scambio duqneu potr` a essere una funzione ammissibile per bosoni di spin nullo e per fermioni di spin 1/2 solo se, in quest’ultimo caso la parte di spin sara antisimmetrica.

5) Una particella senza spin ` e confinata in un quadrato di lato L.

- Scrivere autovalori ed autofunzioni nella rappresentazione della coordinata.

- Il momento angolare ` e una quantit` a conservata?

La componente z del momento angolare a due dimensioni sar` a conservata se il potenziale commuta con L z ...

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