4.5 - Forze conservative

(1)

Parte I

In generale il lavoro L =Rf

i F~ · ~dsdipendedal percorso effettuato. Basta infatti considerare il lavoro compiuto da una forza di attrito radente: F_att= RB

A µdN ds = µdNRB

A ds = µdNL^AB con L^AB la lunghezza effettiva del percorso compiuto. Quando illavoronon dipendedal percorso effettuato

ovvero Z B

A

( ~F · ~ds)I= Z B

A

( ~F · ~ds)II (1) qualunque siano i percorsi I e IIallora si dice che la forza F `e conser- vativa. Se questo `e verificatoallora l’integrale RB

A( ~F · ~ds) = f (B) − f(A) si può esprimere come differenza dei valori di una funzione f (x) (una primitiva) nelle coordinate dei punti A e B (il lavoro allora dipenderà dalle coordinate dei punti ma non dallo specifico percorso fatto) Conseguenza di ciò è che se il percorso è chiuso, ovvero i punti iniziali e finale coincidono,il lavoro sarà nullo:

L= 0 ⇔ I

F~ · ~ds= 0 (2)

L=0 per qualunque percorso chiuso equivale a dire che la forza `e conser- vativa. La funzione primitiva f (x) cambiata di segno `e detta Energia potenziale: L_AB = U_A− UB = −∆U = −∆Ep

1 Indipendendenza dal percorso per forze conser- vative

Indipendendenza dal percorso per forze conservative

(1) ⇒ (2) `e ovvia in quanto se B ≡ A certamente l’integrale `e nullo. Veri- fichiamo anche che (2) ⇒ (1) per completare l’equivalenza: infatti conside- rando un generico percorso chiuso e individuando i tratti (1) e (2) si deve avere LTOT = L1+ L2 = 0 per la(2)

(2)

Nicola GigliettoA.A. 2013/14

A 1 B

2

Per cui (LAB)₁ = −(L^BA)₂. Se consideriamo un altro percorso chiuso che ad esempio va da A a B sul solo percorso (2) con una andata e ritorno sempre dalla (2) abbiamo che (LAB)2+ (LBA)2= 0 ⇒ (LAB)₂ = −(L^BA)₂ da cui sostituendo (LAB)₁ = −(L^BA)₂ = (LAB)₂. In definitiva 0 =H

( ~F · ~ds) ⇒R

(1)( ~F · ~ds) =R

(2)( ~F · ~ds) Il lavoro nullo su un percorso chiuso qualunque implica il lavoro non dipende dal percorso ma solo dagli estremi.

Parte II

energie potenziali di alcune forze

Calcolare l’energia potenziale significa effettuare il seguente integrale∆U = −Rx_f

x_i F(x)dx Energia potenziale forza peso

Es. 1: Forza costante (es. Forza peso): F=-mg che in genere `e diretta lungo l’asse y per cui integriamo di fatto su dy: ∆U = −Ryf

yi (−mg)dy = +mg(yf− y_i) ∆U = mg∆y ovvero U_f − Ui= mgy_f− mgyi⇒U = mgy + cost.

Normalmente si calcolano sempre delle differenze in quanto di fatto cal- coliamo dei lavori. Possiamo comunque volere l’energia potenziale in un preciso punto (ad es. y_f). Per fare questo dobbiamo considerare un punto di riferimento per l’energia potenziale al quale attribuiamo arbitraria- mente energia potenziale nulla. Questa nostra scelta non avr`a alcuna conseguenza nel calcolo delle variazioni di energia potenziale. Nell’esempio considerato ad esempio si attibuisce energia potenziale nulla al livello del suolo yi = 0, U (yi) = 0. Fatta questa scelta abbiamo che U = mgy `e l’energia potenziale in un generico punto alla quota y e ∆U = mg(y_f − yi).

L’energia potenziale gravitazionale dipende solo dall’altezza rispetto al suolo (che `e scelta come posizione di riferimento U(0)=0).

(3)

Energia potenziale delle Forze elastiche Le forze elastiche hanno F=-kx per cui ∆U = −Rx_f

x_i(−kx)dx = +[¹2kx²]^xx^f_i =

1

2k(x²_f − x²i) ⇒ U = ¹₂kx²+ cost. La costante `e definita scegliendo un riferimento opportuno: U=0 quando x_i = 0, avendo indicato con x_i = 0 la posizione a riposo della molla e quindi l’energia potenziale elastica della molla ha espressione

U = ¹₂kx²

4.6 - Conservazione dell’energia meccanica

Definiamo Energia meccanica E di un sistema la somma della sua energia cinetica con l’energia potenziale eventualmente posseduta da tutti i suoi componenti. E = Ep + E_k oppure E = U + K Vediamo cosa accade ad un punto materiale soggetto solo a forze conservative: dal teorema del lav- en.cinetica abbiamo che L = ∆Ek e dalla definizione di forze conservative abbiamo che L = −∆U per cui −∆U = ∆Ek ⇒ ∆(U + Ek) = 0 ovvero

−(Uf − Ui) = E_kf − Eki ⇒ Uf + E_kf = U_i+ E_ki ⇒ Ef = E_i L’energia meccanica si conserva in presenza di forze conservative

Principio di conservazione dell’energia meccanica

Se in unsistema isolatoagiscono soloforze conservative alloral’energia meccanica del sistema non cambia. Potranno cambiare separatamente U e K in modo da dare una somma costante. Il vantaggio (quando possibile) dell’applicazione del principio `e quello di poter considerare solo gli stati iniziali e finale del punto senza dover considerare gli stati intermedi.

Esercizio 8.3

Un oggetto di massa m scivola su un piano privo di attrito da una altezza h=8.5m. Calcolare la velocit`a alla fine dello scivolo. (confrontate la soluzione con quella trovata con lo svolgimento tramite il secondo principio)

mgh = ¹₂mv²⇒v =√ 2gh Esercizio 8.4

(4)

Nicola GigliettoA.A. 2013/14

Un oggetto di massa M=61 Kg è legato ad una corda elastica di lunghezza L=25m e di costante elastica k=160N/m. Se tale oggetto è lanciato da un ponte alto h’=45 m sopra un fiume, a quale altezza h dal fiume arriverà ?

Le forze agenti sono la fune elastica e la forza peso tutte conservative inoltre sia all’inizio che alla fine l’oggetto `e fermo All’inizio: U_g = mgh^′ (riferita al suolo) e U_el = 0 Alla fine si avra’ Ug = mghe U_el = ¹₂k(h^′− h− 25)² Per cui si avr`a mgh^′ = mgh + ¹₂k(h^′− h)² ⇒ mg(h^′ − h) =

1

2k(h^′−h)² ⇒ mg = ¹₂k(h^′−h)h = h^′−^2mgk = 36, 5 − 25 m(verificare!) 4.6-Estensione del principio di conservazione dell’energia

4.6-Estensione del principio di conservazione dell’e- nergia

Lavoro svolto da una forza esterna: avendo definito il lavoro come l’energia trasferibile ad un corpo (teor.lavoro-en.cinetica) allora possiamo vedere il lavoro esterno come un trasferimento di energia al sistema (W> 0) o dal sistema (W< 0) Quindi in generale per un sistema qualunque possiamo

⇒

≥0 W

⇐ W<0

dire che il lavoro complessivo `e Ltot =P

(lavori di tutte le forze agenti)=

Lcons+ LnonconsInoltre Ltot = Lcons+ Lnc = ∆Ek ⇒ quindi ricavando il lavoro delle forze non conservative si ha: Lnc = ∆E_k− L^cons = ∆E_k − (−∆U) = ∆(E^k+ U ) = ∆E. Il lavoro delle forze non conservative `e pari alla variazione di energia meccanica

Tra le forze non conservative vi sono gli attriti per i quali ∆Emecc <0 e per qusto motivo sono dette dissipative in questo caso l’energia meccanica viene parzialmente convertita in calore dovuto ad esempio allo strofinamento con la superficie di contatto.

4.6 - Conservazione dell’energia

(5)

4.6 - Conservazione dell’energia

Se consideriamo tutte le forme di energia possibili e consideriamo l’energia totale E di un sistema, essa pu`o variare solo se viene trasferita da o verso l’esterno. In sostanza dato un sistema il lavoro compiuto da una forza esterna

`eL= ∆Emecc+ ∆Eint+ ∆Ecal

e se il sistema `e isolato l’energia totale del sistema si conserva:

∆E_mecc+ ∆E_int+ ∆E_cal = 0 avendo chiamato con ∆E_int L’energia dovuta alle forze interne al sistema ∆Ecal l’energia termica prodotta dagli attriti

2 Ricerca analitica di una forza

Ricerca analitica di una forza

Dal momento che per le forze conservative si ha ∆U (x) = −L = −F^x∆x ⇒ allora F_x(x) = −^∆U_∆x e portando agli infinitesimi F_x(x) = −^dU_dx ovvero la forza lungo la direzione x `e data dalla derivata della funzione energia potenziale rispetto a x e cambiata di segno. Graficamente rappresenta la pendenza della curva. La relazione indicata scritta nello spazio diventereb-

U U(x)

x α

dx

=-dU α tg

be: ~F = −^∂Udxuˆ_x−^∂Udyuˆ_y−^∂Udzuˆ_z che si definisce come operazione gradiente della funzione scalare U(x,y,z)

4.7 Momento angolare -Appendice C

Appendice C- Momento di un vettore rispetto ad un punto Se ~v `e un vettore applicato in un punto P si definisce momento del vettore rispetto ad un punto O (detto polo)il vettoreM~o = ~OP × ~v

(6)

Nicola GigliettoA.A. 2013/14 2 RICERCA ANALITICA DI UNA FORZA

ed `e ortogonale al piano definito dai vettori OP~ e ~v e ha modulo | ~Mo| =

|OP |v sin θ = |OH|v con la distanza |OH| = h che viene dettabracciodi ~v

rispetto ad O

O MO

v

θ

P

H

Comunque si muovi il vettore v lungo la retta d’azione HP il vettore ~Mo non cambia ma se si cambia polo in genere cambia anche il momento Infatti se introduciamo un nuovo punto O’ si avr`a ~Mo′ = ~O^′P × ~v = ( ~O^′O+ ~OP) × ~v = ~O^′O× ~v + ~Mo

4.7 Momento angolare e momento della Forza

Momento angolare

Definiamo come momento angolare il vettoreL~ = ~r× ~p= ~r× m~v

che `e calcolato rispetto al polo O, se si cambia polo per quanto detto prima si avr`a ~L_O = ~O^′O× m~v + ~L_O

Momento della Forza

Analogamente il il momento della Forza `e definito comeM~ _O= ~r× ~F ovviamente la somma dei momenti risulta pari al momento della risultante:

M~ =P

i~r× ~F_i = ~r×P

iF~_i Teorema del momento angolare

Deriviamo rispetto al tempo il momento angolare: ^d~_dt^L = ^d~_dt^r×m~v+~r×m^d~dt^v Se il polo `e fermo nel sistema di riferimento in cui il moto avviene allora ^d~_dt^r = ~v per cui il primo prodotto vettoriale si annulla e risulta ^d~_dt^L = ~r× m^d~_dt^v =

~r×m~a = ~r ×F = ~M_o ovvero il teorema del Momento angolare: M~ _o= ^d~_dt^L^o La derivata del momento angolare rispetto al tempo `e pari al momento della forza se entrambi sono calcolati rispetto al medesimo polo fisso in un sistema di riferimento inerziale

Se il momento delle forze è nullo allora ~M = 0 ⇒ ~L = costante Inoltre quando la forza è applicata per tempi brevi si può scrivere: Rt

0M dt~ =

(7)

Rt

0(~r× ~F)dt = ~r×Rt

0F~ = ~r× ~J = ∆~Lche `e detto teorema del momento dell’impulso

Lavoro in un moto circolare

Infine possiamo esprimere il lavoro in termini di uno spostamento angolare:

L =RB

A F_Tds=Rθ_B

θ_A F_Trdθ=Rθ_B θ_A M dθ

Unit`a di misura dei momenti: Momento della forza:Nm Momento angolare: kg · ms⁻¹ = Nms