il lavoro complessivo per tornare L = +

Nello “sport” del salto con l’elastico il saltatore si lancia nel vuoto appeso ad una corda elastica. Come si può prevedere con certezza fino a dove arriverà nella sua caduta? La risposta è ovviamente di “vitale” importanza per il saltatore.

Introduzione

Il Teorema Lavoro-Energia afferma che il lavoro totale fatto dalla forze agenti su una particella è uguale alla variazione della sua Energia Cinetica.

Quando agiscono determinate forze, dette conservative, il lavoro totale eseguito dipende solo dalle configurazioni iniziale e finale del sistema e non dal percorso effettuato.

Tali tipi di forze sono in grado di immagazzinare l’energia e di restituirla integralmente. Tale energia è detta potenziale.

Quando agiscono solamente forze attive conservative, la somma dell’energia cinetica e di quella potenziale viene detta energia meccanica totale. Tale grandezza risulta costante (si conserva).

Altre forze, come gli attriti, non sono conservative e non immagazzinano l’energia, bensì la dissipano.

Mediante l’introduzione di altre forme di energia (grandezze trasformabili in lavoro meccanico), come l’energia chimica, termica, nucleare, la conservazione dell’energia diventa uno dei principi più generali della fisica.

massa ferma, K=0

il lavoro complessivo per tornare L = +

kd

→ K = +

kd

L = −

kd

→ K = 0 L = +

kd

→ K = +

kd

L = −

kd

→ K = 0

FORZE CONSERVATIVE

Forza elastica

il lavoro complessivo per tornare alla posizione iniziale è nullo

K = ¹₂ mv²

K = 0 → L = −mgh = −

mv

L = mgh → K = mgh =

mv

FORZE CONSERVATIVE Forza gravitazionale

Una forza esterna mette in movimento verso l’alto il corpo puntiforme.

Nella salita la Terra esercita un lavoro su di esso fino ad arrestarlo alla altezza h.

Nella discesa la Terra esercita un lavoro su di esso fino ad arrestarlo alla quota y=0.

FORZE NON CONSERVATIVE FORZA D’ATTRITO

il lavoro complessivo per tornare alla posizione iniziale è –2|L

|

K = ¹₂mv²

K è diminuita L=-|L_a|

Se un corpo percorre un cammino chiuso sotto l’azione di una forza che compie complessivamente lavoro nullo, tale forza è conservativa, altrimenti, se compie lavoro non nullo, è non conservativa.

Se il lavoro fatto da una forza nel muovere un certo corpo dalla posizione iniziale a quella finale è indipendente dal cammino percorso fra i due punti, la forza è conservativa;

altrimenti è non conservativa Seconda definizione (equivalente) di forza conservativa

Lavoro lungo il primo percorso (1)

L

= ( −kx ) ^{dx =}

+d

−d/2

∫ ⁻

^kx

⁼

= −

k −d / 2 _$ ^# ( )

^{− d}

^% _{& =}

^kd

Lavoro lungo il secondo percorso (2)

L

= ( −kx ) ^dx

+d

−d

∫ ^{+ ( −kx ) dx}

−d

−d/2

∫ ^{= −}

^kx

−d

−

kx

−d

−d/2

= 0 −

k −d / 2 _$ ^# ( )

^{− d}

^% _{& =}

^kd

DEFINIZIONI DI FORZE CONSERVATIVE

Prima definizione (equivalente) di forza conservativa

Se la forza agente è conservativa e la particella compie un percorso chiuso

L

+ L

= 0 F ⋅ d  

s

a(1) b

∫ ^{+ F ⋅ d  s }

b(2) a

∫ ^{= 0}

Se si cambia la direzione del percorso (2) lo spostamento cambia segno ma la forza rimane la stessa

F ⋅ d   s

a(2) b

∫ ^{= F ⋅ −d  ( s  )}

b(2) a

∫ ^{= − F ⋅ d  s }

b(2) a

∫ ^{→ L}

^{= −L}

Il lavoro fatto dalla forza conservativa non dipende dal percorso

L

+ L

= L

− L

= 0 →  F ⋅ d 

s

a(1) b

∫ ^{= F ⋅ d  s }

a(2) b

∫

Equivalenza delle due definizioni

L’energia potenziale di un sistema può essere definita solo se le forze agenti sono tutte conservative

L’energia potenziale di un sistema è l’energia immagazzinata nella sua configurazione meccanica (compressione di una molla, innalzamento di un peso, ecc.)

Quando lo stato di un sistema conservativo cambia da una configurazione (i) ad una configurazione (f), il lavoro eseguito è indipendente dalla modalità con la quale il cambiamento avviene (indipendente dal percorso).

Si indica con ΔU la variazione di energia potenziale del sistema nel passare dalla configurazione (i) alla configurazione (f)

U_i e U_f sono i valori dell’energia potenziale immagazzinata dal sistema nelle configurazioni (i) ed (f)

U

−U

= ΔU < 0 → L > 0 U

−U

= ΔU > 0 → L < 0

U diminuisce, il sistema compie lavoro

U aumenta, il sistema assorbe lavoro

L = L

= −ΔU = − U (

−U

)

ENERGIA POTENZIALE

Lavoro della molla da d) ad e)

L = −

kd

Variazione dell’energia potenziale

ΔU = −L = +

kd

Per il Teorema Lavoro-Energia

ΔK = L = −

kd

Per il sistema massa molla

= 0 Δ

+

Δ U K

L’energia cinetica e potenziale si scambiano esattamente l’una nell’altra durante

l’evoluzione del sistema

ENERGIA POTENZIALE ED ENERGIA CINETICA

Risultato generale derivante dalla definizione di energia potenziale e dal Teorema Lavoro-Energia Nei sistemi conservativi la variazione dell’Energia Potenziale è esattamente compensata da

una variazione uguale in modulo ed opposta in segno di Energia Cinetica

ΔU + ΔK = 0 → Δ U + K ( ) ^{= 0}

Si definisce Energia Meccanica Totale E la somma dell’Energia Potenziale e dell’Energia Cinetica di un sistema conservativo

E = U + K → ΔE = 0 → E = U + K = costante

Conservazione dell’Energia Meccanica

In qualsiasi sistema isolato costituito da corpi che interagiscono solo con forze di tipo conservativo, la somma dell’Energia Cinetica e dell’Energia Potenziale deve rimanere costante

TEOREMA DI CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA MECCANICA

Non agiscono forze esterne o, se presenti, noncompiono lavoro sul sistema

Scambio dell’energia cinetica e potenziale in un sistema massa molla

Energia tutta potenziale della molla compressa

Energia presente in forma cinetica e potenziale

Energia tutta cinetica della massa

CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA MECCANICA

L’energia meccanica totale del sistema resta costante, pur ripartendosi tra cinetica e potenziale nelle varie fasi

del moto

L

+ L

= −ΔU

− ΔU

Definizione di Energia Potenziale

Teorema Lavoro-Energia

L

+ L

= ΔK

Legge di Conservazione Energia Meccanica

ΔU

+ ΔU

+ ΔK = 0

E = U

+U

+ K = costante

E = U

+ K

= U

+ K

→ E =

kx

+ mgx +

mv

= 0

parte da fermo alla posizione x=0 consente di esprimere v in funzione di x

Il Teorema di Conservazione dell’Energia Meccanica fornisce una relazione fra velocità e configurazione geometrica (posizione) della particella o del sistema e consente di ottenere direttamente informazioni sul moto

E’ una relazione derivata dalle leggi del moto, è meno completa ma è più facilmente applicabile essendo l’energia uno scalare

E’ il caso particolare di una Legge di Conservazione più generale

CORPO SOGGETTO A PIÙ FORZE CONSERVATIVE

http://www2.biglobe.ne.jp/~norimari/science/JavaApp/

energy1/e-energy1.html

Altri esempi di scambio di energia

cinetica e potenziale

Variazione dell’Energia Potenziale di una particella sottoposta ad una forza conservativa unidimensionale F(x)

ΔU = −L = − F x

( )

x₀ x

∫

La funzione U(x) può essere ottenuta scegliendo un punto di riferimento x₀ arbitrario e assegnando a U(x₀) un valore di comodo completamente arbitrario.

Hanno significato solamente le variazioni di U(x) e non i suoi valori assoluti. Una diversa scelta di U(x₀) cambia i valori di U(x) ma non le differenze ΔU= U(x₂)-U(x₁)

U x

( )

( )

( )

x₀ x

∫

Muovendosi da x₀ ad x la velocità della particella varia da v₀ a v, il lavoro fatto dalla forza sarà:

L = ΔK = ¹₂mv² − ¹₂mv₀² Teorema Lavoro-Energia

SISTEMI CONSERVATIVI UNIDIMENSIONALI

La grandezza E (energia meccanica) rimane costante durante il moto.

Combinando la definizione di Energia Potenziale con il teorema Lavoro-Energia si ottiene

1

2

mv

−

mv

= U x ( )

^{−U x} ( )

E =

mv

+U x ( ) ⁼

^mv

^{+U x} ( )

conservazione dell’Energia Meccanica non compaiono né accelerazione né forza

dipende solo da posizione e velocità iniziali

Spesso la soluzione di problemi meccanici può essere ottenuta sfruttando il fatto che alcune grandezze rimangono costanti (Leggi di Conservazione).

Nel caso unidimensionale la relazione fra forza ed energia potenziale viene scritta come:

ΔU = dU

U x( )

U x( )

∫ ^{= − F x ( ) dx}

x x

∫ ^{→ F x ( ) = − dU x} _dx ^{( )}

Non contiene tuttavia la soluzione completa del moto, non dà informazioni sulla direzione della velocità e non contiene esplicitamente il tempo.

L’equazione di conservazione dell’energia meccanica consente di semplificare la soluzione di alcuni problemi dinamici senza l’uso delle leggi del moto di Newton

Essa rappresenta una prima soluzione delle equazioni di moto, si esprime in termini di velocità e posizioni e non di forze e accelerazioni (integrale primo del moto)

SISTEMI CONSERVATIVI UNIDIMENSIONALI

http://www.mhhe.com/physsci/physical/jones/ol06-6.htm

posizione di riferimento x₀

U(x₀)=0

U x ( ) ^{− 0 = −} ( ^−kx ) ^dx

0 x

∫ ⁼

^kx

U(x)=max

U(x)=max non dipende dal segno di x

−dU

dx = − d dx

1 2kx²

( )

La forza dall’energia potenziale

Si allunga la molla di x_m con la massa ferma

E = 0 +

kx

=

mv

+

kx

v = ± k

m

(

)

si ottiene la velocità in funzione della posizione

LA FORZA ELASTICA

posizione di riferimento y₀

U(y₀)=0

U y ( ) ^{− 0 = − F}

^dy

0 y

∫ ^{= − ( −mg ) dy}

0 y

∫ ^{= mgy}

−dU

dy = − d

dy(mgy) = −mg = F_y Si ottiene la forza dall’energia potenziale

Approccio energetico al problema.

(1) Il corpo possiede una energia cinetica K

(2) Mentre sale l’energia potenziale corpo-terra cresce e diminuisce la cinetica

(3) Nel punto più alto tutta l’energia cinetica è diventata potenziale (4) Durante la caduta avviene il processo inverso

Si indica con v₀ la velocità verticale del corpo nel punto di riferimento y₀= 0

E =

mv

+ mgy =

mv

+ 0

v = ± v

− 2gy

LA FORZA DI GRAVITÀ

Metodo eschimese per vedere in lontananza

http://www.mhhe.com/physsci/physical/giambattista/roller/roller_coaster.html http://surendranath.tripod.com/Applets/Dynamics/Coaster/CoasterApplet.html

CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA MECCANICA E

FORZA GRAVITAZIONALE

Un ascensore di massa m=920 kg si muove dal livello della strada fino all’ultimo piano di un grattacielo alto 412 m. Quanto vale la variazione dell’energia potenziale del sistema ascensore-Terra?

Gli ascensori sono normalmente collegati a contrappesi, di massa circa pari a quella della cabina più il carico, che scendono quando la cabina sale e salgono quando scende..

In questo modo la maggior parte dell’energia necessaria per fare salire l’ascensore viene fornita dalla discesa del contrappeso e viceversa.

ΔU = mgΔy = mgh = 920 kg ( ) ( ^{9,80 ms}

) ^{( 412 m ) = 9016 N ( ) ( 412 m ) = 3, 7 ⋅10}

^J

1kWh = 10

(

) ⁽

⁾

La molla di un fucile è compressa di d=3,2 cm. Nella canna viene messo un proiettile di 12 g.

Con quale velocità esso lascia la canna? (k=7,5 N/cm)

E = K_f +U_f = K_i+U_i → ¹₂mv² + 0 = 0 + ¹₂kd² v_i = 0; x_i = −d

( ) (

)

Condizioni iniziali e finali

v = d k

= 0, 032 m ( ) ^{750 Nm}

−1

= 8, 0 ms

ESEMPI

Sulle montagne russe un carrello carico di passeggeri, spostato lentamente dall’altezza y=25 m, scivola verso il basso accelerando. Trascurando gli attriti, con quale velocità raggiungerà la base delle montagne russe?

A prima vista il problema sembra non risolvibile in quanto non si conosce il profilo della rotaia.

Il Teorema di Conservazione dell’Energia collega lo stato iniziale a quello finale ed è indipendente dal percorso intermedio

In assenza di attrito la guida non fa lavoro sul carrello

E = U

+ K

= U

+ K

E = 0 +

mv

= mgy + 0

v = 2gy = 2 9,80 ms

(

) ⁽

⁾

E’ la velocità del carrello in caduta libera I binari cambiano solo la direzione di v

E’ indipendente dalla massa del carrello e dei suoi occupanti

ESEMPI

Un praticante di salto con l’elastico, di massa m=61 kg, si trova su un ponte alto 45 m sul livello del fiume. A riposo la corda elastica ha una lunghezza L=25 m. Se k=160 N/m calcolare l’altezza inferiore alla quale arrivano i suoi piedi.

E = U

+U

+ K

= U

+U

+ K

E = mgh +

kd

+ 0 = mg h + d + L ( ) ^{+ 0 + 0}

1

2

kd

− mgd − mgL = 0 → d = 17, 9 m h = 45m − 25m −17, 9 m = 2,1m

relazione fra stato finale ed iniziale

Qual è la forza netta sul saltatore nel punto più basso?

F = kd − mg =

= 160 Nm (

) ^{( 17, 9 m ) − 61kg ( )} ( ^{9,80 ms}

) ^{= 2266 N}

ESEMPI

Quando un sistema è conservativo e il moto si svolge in una dimensione, l’approccio energetico consente di:

(1)  Ottenere una rappresentazione grafica efficace delle caratteristiche del moto del sistema

(2)  Trovare, in qualche caso, una soluzione analitica completa per il moto. Posizione in funzione del tempo x=x(t)

U x ( ) ^{+ 1} ₂ ^mv

= U + K = E → v = ± 2

m #$ E −U x ( ) %&

Energia Potenziale

in funzione di v e di x (integrale primo)

Energia Totale

costante i due versi della velocità Il moto è possibile per E>U(x)

SISTEMI CONSERVATIVI UNIDIMENSIONALI:

SOLUZIONE COMPLETA

Energia Potenziale

Forza corrispondente

F x

( )

dx

"

#$ %

&

'

x₀

Energia Cinetica E_tot = E₁

punti di inversione livelli di Energia Totale

E = U + K

minima Energia Totale

Il grafico dell’Energia Potenziale consente, una volta stabilito il valore dell’Energia Totale, di determinare i valori di x dove il moto è permesso, i punti di inversione, i valori della Forza

GRAFICO DELL’ENERGIA POTENZIALE

Buche di potenziale

v = dx

dt = ± 2

m_"#E −U x

( )

± 2

m"#E −U x

( )

= dt

Integrando da (x₀,t₀=0) ad (x,t) dx

± 2

m"#E −U x

( )

= dt

t₀ t

∫

x₀ x

∫

Si ricava la posizione x in funzione del tempo

Particella sottoposta ad una forza elastica F=-kx, che al tempo t=0 parte da ferma v₀=0 dalla posizione x=x₀

U =

kx

; E =

kx

; → m k

dx x

− x

x₀ x

∫ ^{= ±t}

Utilizzando le tavole degli integrali

dx x

− x

x₀ x

∫ ^{= −arccos} _x ^x

0

#

$ % &

' (

x₀ x

= ± k

m t → x t ( ) ^{= x}

^cos _m ^{k t}

andamento sinusoidale

E’ stato necessario un solo integrale invece dei due integrali della soluzione dinamica che utilizza le leggi del moto di Newton.

Soluzione analitica di x = x(t)

La forza F(x,y,z) sia conservativa, quindi il lavoro eseguito per andare da un punto ad un altro non dipenda dal cammino percorso.

Variazione di Energia

Potenziale U(x,y,z)

ΔU = − F

dx

x₀ x

∫ ^{− F}

^dy

y₀ y

∫ ^{− F}

^dz

z₀ z

∫ ^{= −}

^{F  ( ) r  ⋅ d r }

r₀ r

∫

Conservazione

dell’Energia ¹²

mv

+U x, y, z ( ) ⁼

^mv

^{+U x} (

^{, y}

^{, z}

)

1

2

mv

+U x, y, z ( ) ^{= E}

Il gradiente è un operatore differenziale che trasforma una funzione scalare della posizione in un Relazione fra la Forza e

l’Energia Potenziale U(x,y,z)

F  

( ) r ^{= − ∂U}

∂x

i −  ∂U

∂y

 j − ∂U

∂z

k = −  

∇U x, y, z ( )

gradiente di U(x,y,z) derivata parziale

ESTENSIONE AI SISTEMI CONSERVATIVI

BIDIMENSIONALI E TRIDIMENSIONALI

Il Teorema di Conservazione dell’Energia Meccanica, che comprende l’Energia Cinetica e l’Energia Potenziale, vale sotto le condizioni seguenti:

(1) Il sistema deve essere isolato

(2) Le forze attive agenti devono essere tutte conservative (3) Le forze vincolari non devono compiere lavoro

ΔE = ΔK + ΔU = 0; E = U + K = costante

Quando un sistema non è isolato ed è sottoposto a forze esterne che compiono lavoro l’Energia Meccanica Totale non si conserva

ΔE = ΔK + ΔU = L

; L

> 0, lavoro entrante ΔE > 0 L

< 0, lavoro uscente ΔE < 0

"

# $

CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA PER

UN SISTEMA DI PARTICELLE

Quando un sistema è formato da molte particelle si verifica sperimentalmente che l’energia può essere immagazzinata, in forma cinetica e potenziale nei moti ed interazioni delle singole molecole.

ΔE = ΔU + ΔK + ΔE_int = L_est

Se il sistema è isolato, non viene trasferito lavoro dall’ambiente e si ottiene una generalizzazione del Teorema di Conservazione dell’Energia

ΔE = ΔU + ΔK + ΔE = 0

Il sistema scambia energia solo tramite lavoro

meccanico Sistema

adiabatico

Variazioni delle mutue distanze delle molecole ne variano l’energia potenziale, modificazioni delle loro velocità ne cambiano l’energia cinetica complessiva. Quest’ultima variazione si manifesta tramite cambiamenti della Temperatura del Sistema (vedi Termodinamica).

Questa energia microscopica non può essere contabilizzata come energia potenziale e cinetica macroscopica del sistema.

Essa viene chiamata complessivamente Energia Interna E_int. L’esperimento permette di verificare che questa energia viene immagazzinata da tutti i sistemi in modo conservativo.

SISTEMA FORMATO DA MOLTE PARTICELLE

MICROSCOPICHE

solo il blocco

ΔE = ΔK + ΔE

= L

+ L

attrito molla

blocco e molla

ΔE = ΔU + ΔK + ΔE

= L

molla

attrito

blocco, molla e attrito

ΔE = ΔU + ΔK + ΔE

= 0

interna al blocco+tavolo Energia Totale costante

DIVERSE DEFINIZIONI DI SISTEMA E AMBIENTE:

SCAMBI ENERGETICI

In presenza di forze non conservative l’Energia Meccanica di un sistema non si conserva ma può diminuire (dissipazione) o aumentare.

Si conserva invece sempre l’Energia Totale che comprende oltre a quella Meccanica anche l’Energia Interna nelle sue diverse forme.

Questa Legge di Conservazione è di carattere del tutto generale non è mai stata contraddetta dall’esperienza

aumenta ΔU, l’energia potenziale gravitazionale

diminuisce ΔE_int, nella forma

diminuisce ΔU, l’energia potenziale gravitazionale

aumenta ΔE_int della

DIVERSE DEFINIZIONI DI SISTEMA E AMBIENTE:

SCAMBI ENERGETICI