Unità Didattica N° 38 Calcolo approssimato delle radici dell’equazione f(x) = 0

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Unità Didattica N° 38

Calcolo approssimato delle radici dell’equazione f(x) = 0

01) La risoluzione approssimata delle equazioni f(x) = 0

02) Metodo grafico per la separazione delle radici reali dell’equazione ^{f x} ( ) ^{= 0}

03) Teorema di esistenza della radici dell’equazione f ( ) x = ⁰

04) Metodo delle tangenti o di Newton-Fourier

05) Metodo delle corde o delle secanti o delle parti proporzionali

06) Metodo di bisezione o metodo dicotomico

Unità Didattica N° 38 Calcolo approssimato delle radici dell'equazione f(x) = 0 Pagina 55 di 66

La risoluzione approssimata delle equazioni f(x) = 0

In questa unità didattica analizzeremo i principali metodi per la risoluzione approssimata delle equazioni algebriche o trascendenti f ( ) x = 0 con f ( ) x funzione reale , algebrica o trascendente , della variabile reale x .

La risoluzione approssimata dell’equazione ^f ( ) ^{x = 0} passa attraverso le seguenti fasi :

01) Limitazione delle radici : occorre determinare un intervallo di numeri reali [ , ] A L contenente tutte le radici reali dell’equazione proposta

02) Enumerazione delle radici : bisogna stabilire quante sono le radici reali dell’equazione ^{f x} ( ) = 0 appartenenti all’intervallo [ , ] A L

03) Separazione delle radici : occorre determinare degli intervalli [ , ] a b ognuno dei quali contiene una sola radice dell’equazione proposta

04) Approssimazione delle radici : approssimare una radice reale dell’equazione

( )

f x = 0 significa trovare un numero , con un predeterminato numero di cifre decimali , che approssima la radice con la precisione richiesta .

Metodo grafico per la separazione delle radici reali dell’equazione ^{f x} ( ) ^{= 0}

-1 o 1

x ₁

x ₂

x ₃ x ₄

• • • •

Unità Didattica N° 38 Calcolo approssimato delle radici dell'equazione f(x) = 0

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Un primo metodo grafico consiste nel tracciare la curva di equazione ^{y = f x} ( ) ed annotare gli intervalli che contengono una sola intersezione della curva con l’asse delle ascisse . Con questo procedimento otteniamo la limitazione delle radici reali e la separazione delle radici reali .

( ) x 64 x 60 x 4 x 1 0

f = ⁴ − ² − + = , ^{f ′} ( ) ^{x = 4 64} ( ^{x 3 − 30 x − 1} ) , ^{f ′′} ( ) ^{x = 24 32} ( ^{x 2 − 5} )

Abbiamo così limitato e separato le radici reali dell’equazione f ( ) x = 64 x ⁴ − 60 x ² − 4 x + 1 = 0 Un secondo metodo grafico è quello di scrivere la funzione f x come differenza di due funzioni ( )

( )

g x ed h x sicché l’equazione proposta assume la forma ( ) ^{g x} ( ) ^{− h x} ( ) = 0 e quindi

( ) ( )

g x = h x . Poi si costruiscono le curve σ e γ aventi rispettivamente equazioni ^{y = g x} ( ) ^e ( )

y = h x . ( ) ( )

y g x

y h x

=

=

⎧ ⎨

⎪

⎩⎪

σ

γ Le soluzioni dell’equazione ^{f x} ( ) = 0 coincidono con le ascisse dei punti comuni alle curve σ e γ .

( ) x 64 x 4 60 x 4 x 1 0

f = − ² − + = y = 64 x ⁴ − 60 x ² = 4 x − 1

⎩ ⎨

⎧

−

=

−

= 1 x 4 y

x 60 x 64

y ^{4 2}

Dalle intersezioni delle due curve deduciamo che l’equazione proposta ammette 4 radici comprese tra i numeri 2 − e 2 + ( tra i numeri 1 − e 1 + se notiamo che ^f ( ) ( ) ^{− ⋅ 1 f 1 <} 0 ) .

y = 64 x ⁴ − 60 x ²

y = 4 x − 1

x ₁ x ₂ o x ₃

x ₄

•

• •

•

Nel caso della nostra equazione é preferibile utilizzare il secondo metodo grafico , in quanto col primo non siamo in grado di trovare i punti stazionari della funzione .

Unità Didattica N° 38 Calcolo approssimato delle radici dell'equazione f(x) = 0

La risoluzione approssimata delle equazioni f(x) = 0 Pagina 3

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Teorema di esistenza della radici dell’equazione f ( ) x = 0

Se f x è continua nell’ intervallo limitato ( )

e chiuso [ , ] a b e se agli estremi di tale intervallo assume valori di segno opposto ( ^f ( ) ( ) ^{a ⋅ b f < 0} ) , allora l’equazione

( ) ^{x = 0}

f ammette almeno una radice interna all’intervallo [ , ] a b .

o y

x ₁ x x ₂

x ₃

( ) ( )

f a f b ⋅ <0 + - - ⁺

a

• b

•

•

• • f(a)

f(b)

•

•

Questo teorema ci assicura l’esistenza di almeno una radice in un dato intervallo , ma non ne garantisce l’unicità . Se poi la funzione f x è strettamente monotona ( ) ¹ in [ , ] a b allora l’equazione ^{f x} ( ) = 0 ammette una sola radice interna all’intervallo [ , ] a b .

Resta così giustificato il seguente :

Primo teorema dell’unicità della soluzione dell’equazione f ( ) x = 0

Se f x è una funzione continua nell’intervallo limitato e chiuso [ , ] ( ) a b e derivabile nei suoi punti interni , se risulta ^{f a} ( ) ( ) ^{⋅ f b} < 0 e se ^{f ′} ( ) ^{x ≠} 0 nell’intervallo aperto ] , [ a b , allora l’equazione ^{f x} ( ) = 0 ammette una sola soluzione interna ad [ , ] a b .

o y

x x

1

( ) ( )

f a ⋅ f b < 0 +

+

- -

a

b

f(a)

f(b)

•

• •

•

•

( ) ^{x 0 x ] a , b [}

f ′ > ∀ ∈

( ) ^{x 0 x ] a , b [}

f ′′ > ∀ ∈

Secondo teorema dell’unicità della soluzione dell’equazione f ( ) x = 0 Se f x è una funzione continua nell’intervallo limitato e chiuso [ , ] ( ) a b e derivabile due volte nei punti interni di tale intervallo , se risulta ^{f a} ( ) ( ) ^{⋅ f b} < 0 e se ^{f ′′} ( ) x è sempre positiva o sempre negativa nell’intervallo ] , [ a b , allora l’equazione ^{f x} ( ) = 0 ammette una sola soluzione interna ad [ , ] a b .

1

Strettamente crescente o strettamente decrescente

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Teorema di esistenza delle radici dell'equazione f(x) = 0 Pagina 4

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Metodo delle tangenti o di Newton-Fourier

Supponiamo di avere separato nell’intervallo [ , ] a b la radice reale semplice α dell’equazione

( )

f x = 0 e supponiamo che essa sia unica . Questo significa che le funzioni ^{f ′} ( ) ^{x ed f ′′} ( ) ^x

hanno, nell’intervallo [ , ] a b , segno costante , cioè la funzione ^{f x} ( ) è strettamente monotona e priva di punti di flesso . Si possono presentare i seguenti quattro casi :

o x

y ^{f a} ( ) ^{⋅ ′′ f} ( ) ^{a > 0}

•

•

a • b

α A

a) B

a = punto di Fourier

+ +

o x y

•

•

•

( ) ( )

f a ⋅ ′′ f a > 0

A

B

a α

b b) a = punto di Fourier

- -

o x y

A •

•

a • α

b

( ) ( )

f b ⋅ ′′ f b > 0

c)

b = punto di Fourier

- -

o x y

•

•

•

A

B

a α b

( ) ( )

f b ⋅ ′′ f b > 0

d) b = punto di Fourier

+ +

Considerati i punti A a f a [ , ( )] , B b f b [ , ( )] diremo estremo di Fourier quello dei due estremi dell’intervallo [ , ] a b nel quale ^{f x} ( ) ^ed f ′′ ( ) x hanno lo stesso segno , cioè :

( ) ( )

f a ⋅ ′′ f a > 0 ⇒ a è estremo di Fourier ^{f b} ( ) ^{⋅ ′′ f} ( ) ^b > 0 ⇒ b è estremo di Fourier Supponiamo , per fissare le idee , che a sia l ‘estremo di Fourier . Scriviamo l’equazione della retta tangente al grafico della funzione ^{f x} ( ) nel punto A a f a [ , ( )] ^{y − f a} ( ) ^{= ′ f a} ( ) ^⋅ ( ^{x − a} )

Tale tangente incontra l’asse x nel punto di ascissa ( )

( ) ( )

( )

o o

o

f x

x x f a f

a a f x

x = − ′

− ′

=

= ₁

Unità Didattica N° 38 Calcolo approssimato delle radici dell'equazione f(x) = 0

Metodo delle tangenti o di Newton-Fourier Pagina 5

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Risulta a < x ₁ < α < b con ^{f x} ( ) ( ) 1 ⋅ ′′ ^{f x} 1 > cioè con x 0 ₁ estremo di Fourier relativo all’intervallo [ x b ₁ , ] . Applicando lo stesso procedimento all’intervallo [ x b ₁ , ] otteniamo :

( ) ( ) 1 1 1

2 f x

x x f

x = − ′ con a < x ₁ < x ₂ < α < b Applicando lo stesso procedimento all’intervallo [ x ₂ , b ] otteniamo :

( ) ( ) 2 2 2

3 f x

x x f

x = − ′ con a < x ₁ < x ₂ < x ₃ < α < b Applicando lo stesso procedimento all’intervallo [ x ₃ , b ] otteniamo :

( ) ( ) ³ ₃

3

4 f x

x x f

x = − ′ con a < x ₁ < x ₂ < x ₃ < x ₄ < α < b

Iterando il procedimento n volte otteniamo :

( ) ( )

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

− ′

=

=

−

−

−

1 1 1

n n n

n o

x f

x x f

x x a

con n = 1 2 3 , , ,"" ed x

_n−

₁ = a

oppure : ( )

⎪⎩ ( )

⎪ ⎨

⎧

− ′

=

=

+

n n n

n o

x f

x x f

x x a

1

con n = 0 , 1 , 2 , 3 , " " ed x

_n

= a

Il metodo delle tangenti nel caso in cui a è l’estremo di Fourier fornisce dei valori di x

_n

approssimati per difetto della radice α .

Se l’estremo di Fourier è b [ ^{f b} ( ) ^{⋅ ′′ f} ( ) ^b > 0 ] perveniamo alla formula :

( ) ( )

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

− ′

=

=

−

−

−

1 1 1

n n n

n o

x f

x x f

x x b

con n = 1 2 3 , , ,"" ed x

_n

_{− 1} = b

Unità Didattica N° 38 Calcolo approssimato delle radici dell'equazione f(x) = 0

Metodo delle tangenti o di Newton-Fourier Pagina 6

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o , alla sua equivalente , ( )

⎪⎩ ( )

⎪ ⎨

⎧

− ′

=

=

+

n n n

n o

x f

x x f

x x b

1

con n = 0 , 1 , 2 , 3 , " " ed x

_n

= b

( )

( ) ( )

( )

^o_o

o

f x

x x f b f

b b f

x = − ′

− ′

1 = , ( )

( ) ¹ ₁

1

2 f x

x x f

x = − ′ , ( )

( ) ² ₂

2

3 f x

x x f

x = − ′ , ( )

( ) ³ ₃

3

4 f x

x x f

x = − ′

ed i valori x

_n

sono valori approssimati per eccesso della radice x = α .

La condizione di arresto può essere data sotto la forma x

_n

− x

_n

_{− 1} < ε = 10 ⁻

^m

. Riepilogo delle formule trovate :

( ) ( )

x a estremo di Fourier

x x f x

f x

o

n n

n n

= =

= −

′

⎧

⎨ ⎪

⎩ ⎪ ^{− −}

− 1

1

1

n = 1 2 3 , , ,""

( ) ( )

f a ⋅ ′′ f a > 0

( ) ( )

x b estremo di Fourier

x x f x

f x

o

n n

n n

= =

= −

′

⎧

⎨ ⎪

⎩ ⎪ ^{− −}

− 1

1

1

n = 1 2 3 , , ,""

( ) ( )

f b ⋅ ′′ f b > 0

( )

f x = 64 x ² − 60 x ² − 4 x + 1 ^{f ′} ( ) ^{x = 4 64} ( ^{x 3 − 30 x − 1} )

( ) ( )

′′ = −

f x 24 32 x ² 5 α ∈] , ; [ 0 5 1 ^f ( ) ^{1 ⋅ ′′ f} ( ) ¹ > ⁰ x

_o

=b = 1

( ) ( )

x b f b

1 = − f b

′ = ( )

1 ( ) 1

1 0 992424

− f ′ =

f , , ( )

x x f x ( )

f x

2 1

1

1

0 9922789

= −

′ = ,

( ) ( )

x x f x

f x

3 2

2

2

0 99227884

= −

′ = , x ₃ − x ₂ = 0 , 00000005 Questo significa che le prime 7 cifre decimali sono sicuramente esatte .

Unità Didattica N° 38 Calcolo approssimato delle radici dell'equazione f(x) = 0

Metodo delle tangenti o di Newton-Fourier Pagina 7

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Metodo delle corde o delle secanti o delle parti proporzionali

Supponiamo di avere separato nell’intervallo [ , ] a b la radice reale semplice α dell’equazione

( )

f x = 0 e supponiamo che essa sia unica . Questo significa che : 01) f ( ) ( ) a ⋅ b f < ⁰

02) le funzioni ^{f ′} ( ) ^{x ed f ′′} ( ) x hanno , nell’intervallo [ , ] a b , segno costante , cioè la funzione f x è strettamente monotona e priva di punti di flesso . ( )

Sotto queste condizioni , per il grafico γ della funzione f x relativamente all’intervallo [ , ] ( ) a b , può presentarsi soltanto uno dei quattro casi indicati nelle seguenti figure .

o x y

•

•

•

•

( ) ( )

f a ⋅ ′′ f a >

0

A

B

a α

b x 1

x ₂

b)

B ₁

( ) ( )

f b ⋅ ′′ f b <

0

o x y

( ) ( )

f b ⋅ ′′ f b < 0

( ) ( )

f a ⋅ ′′ f a > 0

•

• •

a • b

α ^x 1

x ₂ A

B ₁ B a)

o x y

•

•

•

•

A

B

a ^{x 1 x 2} α b

( ) ( )

f a ⋅ ′′ f a < 0

( ) ( )

f b ⋅ ′′ f b > 0

d)

o x y

A •

•

a • α

x ₁ x ₂ b A ₁

•

( ) ( )

f a ⋅ ′′ f a < 0

( ) ( )

f b ⋅ ′′ f b > 0

c)

Col metodo delle corde sostituiamo il grafico della funzione f x con la retta passante per i ( )

punti A a f a [ , ( )] , B b f b [ , ( )] . Il grafico di f x incontra l’asse delle ascisse nel punto ( ) x = α che è l’unica radice dell’equazione ^{f x} ( ) = 0 interna all’intervallo [ , ] a b . La retta AB incontra l’asse x nel punto x ₁ ∈] , [ che rappresenta un valore approssimato a b ² di α .

La retta AB ha equazione

Unità Didattica N° 38 Calcolo approssimato delle radici dell'equazione f(x) = 0

Metodo delle corde o delle secanti Pagina 8

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( ) ( ) ( ) ( )

y f a f b f a

b a x a

− = −

− ⋅ − oppure : ^{y f b} ( ) ^{f b} ( ) ^{f a} ( ) ( )

b a x b

− = −

− ⋅ − y = 0 ⇒

[1] ^{x = x 1 = a − f b} ( ) ^{b − − a f a} ( ) ( ) ^{⋅ f a} oppure ^{x = x 1 = b − f b} ( ) ^{b − − a f a} ( ) ( ) ^{⋅ f b [2]}

Utilizzeremo la formula [1] nei casi indicati nelle figure c) e d) , utilizzeremo la formula [2] nei casi indicati nelle figure a) e b) .

Applicando n volte il metodo delle corde o delle secanti otteniamo il seguente schema iterativo : 01) ^{f b} ( ) ^{⋅ ′′ f} ( ) ^b > 0 ⇒ x

_o

= ⇒ approssimazione per difetto a

( ) ( ) ( ) f ( ) b f ( ) ( ) a ^{f a} a

a b x x f f b f

x x b

x

_o

o o

o

⋅

−

− −

=

− ⋅

− −

1 = • • •

x 1

• α

a

x

_o

= b

( ) ¹ ( ) ( ) ₁ ¹

1

2 f x

x f b f

x x b

x ⋅

−

− −

= ^{• • •}

x 1 x ^• 2

• α

a

x

_o

= b

( ) ² ( ) ( ) ₂ ²

2

3 f x

x f b f

x x b

x ⋅

−

− −

= ^{• • •}

x 1 •

x 2

• ^• x ₃ α

a

x

_o

= b

( ) ( ) ( ) 1 ¹ 1

1 −

−

− − ⋅

−

− −

=

_n

n n n

n

f x

x f b f

x x b

x n = 1 2 3 , , ,"" [1]

02) ^{f a} ( ) ^{⋅ ′′ f} ( ) ^a > 0 ⇒ x

_o

= ⇒ approssimazione per eccesso b

( ) ( ) ( ) f ( ) b f ( ) ( ) a ^{f b} a

b b x a f f x f

a x x

x

_o

o o

o

⋅

−

− −

=

− ⋅

− −

1 = • •

a α ^• x ^• 1 b = x

o

( ) 1 ( ) ( ) ¹

1 1

2 f x

a f x f

a x x

x ⋅

−

− −

= ^• a ^•

x

o

b =

• x 1

• x 2

α •

( ) 2 ( ) ( ) ²

2 2

3 f x

a f x f

a x x

x ⋅

−

− −

= ^• _a ^•

x

o

b =

• x 1

• x 2

α • x ^• 3

( ) ₁ ¹ ( ) ( ) ¹

1 −

−

− − ⋅

−

− −

=

_n

n n n

n

f x

a f x

f

a x x

x n = 1 2 3 , , ,"" [2]

2

Per eccesso o per difetto

Unità Didattica N° 38 Calcolo approssimato delle radici dell'equazione f(x) = 0

Metodo delle corde o delle secanti Pagina 9

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Individuata la formula da applicare occorre porre termine alle iterazioni fissando la precisione ε con la quale si vuole approssimare la radice α . Le iterazioni hanno termine quando risulta

ε

<

−

_n

₋₁

n

x

x avendo scelto x n come valore approssimato ( per eccesso o per difetto ) della radice α . L’errore che si commette è minore di ε . Se risulta ε = 10 ⁻

ⁿ

allora le prime n cifre decimali di x _n sono esatte .

L’equazione f ( ) x = x ³ + 3 x + 5 = 0 ammette una sola radice α ∈ ] − 2 ; − 1 [ . Calcolare un valore approssimato di α con la precisione ε = 10 ^{− 2} ( cioè con due cifre decimali esatte ) utilizzando il metodo delle corde .

( ) x = x ³ + 3 x + 5

f , f ′ ( ) x = 3 x ² + 3 , f ′′ ( ) x = 6 x , f ′ x ( ) > 0 ∀ x ∈ ] − 2 ; − 1 [

( ) < 0

′′ x

f ∀ x ∈ ] − 2 ; − 1 [ f ( ) − 2 = − 9 , f ( ) − 1 = 1 , f ( ) ( ) − 2 ⋅ f − 1 < 0

( ) ( ) a ⋅ f ′′ a = f ( ) ( ) − 2 ⋅ f ′′ − 2 > 0

f , f ( ) ( ) b ⋅ f ′′ b = f ( ) ( ) − 1 ⋅ f ′′ − 1 < 0

Per calcolare un valore approssimato di α utilizzeremo la formula [2] .

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 9 ^{1 1 , 1}

2 1 1

1 1 2

2 1 1

1 ⋅ = −

+ +

− −

−

=

−

− ⋅

−

− +

− −

−

=

− ⋅

− −

= f

f a f

a f f b f

a a b

x

( ) x ₁ = f ( ) − 1 , 1 = 0 , 369 f

( ) ( ) ( ) 9 , 369 ^{0 , 369 1 , 1354}

9 , 1 0 , 1 369 , 9 0 369 , 0

2 1 , 1 1 ,

1 1

1 1 1

2 ⋅ = − − ⋅ = −

+ +

− −

−

=

− ⋅

− −

= f x

a f x f

a x x

x

01 , 0 10 0354 , 0 1 , 1 1354 ,

1 ²

1

2 − x = − = > ⁻ =

x f ( ) x ₂ = f ( − 1 , 1354 ) = 0 , 1301

( ) ( ) ( ) 0 , 1301 9 ^{0 , 1301 1 , 1354 0 , 023 1 , 1477} 2

1354 , 1354 1 ,

2 1

2 2 2

3 ⋅ = − − = −

+ +

− −

−

=

− ⋅

− −

= f x

a f x f

a x x

x

01 , 0 10 0116 , 0 1354 , 1 1477 ,

1 ²

2

3 − x = − = > ⁻ =

x f ( ) x ₃ = f ( − 1 , 1477 ) = 0 , 0451

( ) 3 ( ) ( ) ^{3 1 , 1477 0 1 , 0451 , 1477 9 2 0 , 0451 1 , 1477 0 , 004249 1 , 1519}

3 3

4 ⋅ = − − = −

+ +

− −

−

=

− ⋅

− −

= f x

a f x f

a x x

x

01 , 0 10 0043 , 0 1434 , 1 1477 ,

1 ²

3

4 − x = − = < ⁻ =

x

15 ,

− 1

α = è un valore approssimato della radice α con due cifre decimali esatte .

154171495 ,

− 1

α = è un valore approssimato di α con 9 cifre decimali esatte .

Unità Didattica N° 38 Calcolo approssimato delle radici dell'equazione f(x) = 0

Metodo delle corde o delle secanti Pagina 10

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Metodo di bisezione o metodo dicotomico

Supponiamo che l’equazione ^{f x} ( ) = 0 ammetta la soluzione x = α ∈ ] a , b [ e che essa sia unica . Questo significa che risulta ^{f a} ( ) ( ) ^{⋅ f b} < 0 e la funzione ^{f ′} ( ) ^x ha segno costante in ] b a , [ .

• Per generalizzare il processo di iterazione poniamo : a

a ₁ = , b ₁ = b e calcoliamo

2 2

1 1 1

b a b

x = a + = +

Calcoliamo f ( ) ( ) a ₁ = f a , f ( ) x ₁ , f ( ) ( ) b ₁ = f b Se risulta f ( ) x ₁ = 0 la soluzione dell’equazione ^{f x} ( ) = 0 è

2 2

1 1 1

b a b

x = a + = +

α = , in caso contrario essa appartiene

all’intervallo ] a , x ₁ [ o all’intervallo ] x ₁ , b [ .

( ) ( ) a ⋅ x f ₁ < 0

f ⇒ α ∈ ] a , x ₁ [ f ( ) ( ) x ₁ ⋅ b f < 0 ⇒ α ∈ ] x ₁ , b [ Se , ad esempio , risulta f ( ) ( ) x ₁ ⋅ b f < 0 allora poniamo a ₂ = x ₁ , b ₂ = b e ci calcoliamo

2

2 2 2

b x = a + e

si continua l’iterazione scegliendo dei due sottointervalli ] a ₂ , x ₂ [ o ] x ₂ , b ₂ [ quello nei cui estremi la funzione assume valori di segno opposto . Si procede con l’iterazione sino ad ottenere l’approssimazione desiderata . Otteniamo una successione di sottointervalli ognuno contenuto nel precedente e di ampiezza uguale alla metà .

2

1 1 2 2

a a b

b − = − ,

2

2 2 3 3

a a b

b − = − ,

2

3 3 4 4

a a b

b − = − , ... , b a b a

n n

n n

− = _{− 1} − _{− 1} 2

L’ultimo sottointervallo determinato ha ampiezza : b a b a

n

−

n

= −

n

2

• Se scegliamo

2

n n n

b x a

x = α = = + come valore approssimato della radice dell’equazione commettiamo un errore E

_n

dato dalla seguente relazione :

E b a

n

≤ −

n

2

Il procedimento di iterazione può essere realizzato attraverso il seguente schema :

Unità Didattica N° 38 Calcolo approssimato delle radici dell'equazione f(x) = 0

Metodo di bisezione o metodo dicotomico Pagina 11

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iterazioni a

_n

b

_n

2

n n n

b

x = a + ^{f a} ( )

n

^{f x} ( )

n

^{f b} ( )

n

1 a ₁ = a b ₁ = b

2

1 1 1

b

x = a + f ( ) a ₁ > 0 f ( ) x ₁ < 0 f ( ) b ₁ < 0 2 a ₂ = a ₁ b ₂ = x ₁

2

2 2 2

b

x = a + f ( ) a ₂ > 0 f ( ) x ₂ < 0 f ( ) b ₂ < 0 3 a 3 = a 2 b ₃ = x ₂

2

3 3 3

b

x = a + f ( ) a 3 > ⁰ f ( ) x 3 > ⁰ f ( ) b 3 > ⁰ 0

1 4 60

64 x ⁴ − x ² − x + = , ^f ( ) ( ) ^{0 5 , ⋅ f 1} < , ^{1 f} ( ) ^α = 0 , α ∈] , , [ 0 5 1

iterazione a

_n

b

_n

x a b

n

=

n

+ ₂

2 ^{f a} ( )

n

^{f x} ( )

n

^{f b} ( )

n

1 a ₁ =a = 0 , 5 b ₁ =b = 1 0 , 75 2

1 5 , 0

1

= + =

x ^{f 0 5} ( ) ^{, < 0 f 0 75} ( ^, ) ^{< 0 f 1} ( ) ^{> 0}

2 a ₂ = 0 , 75 b ₂ = 1 x ₂ = 0 , 875 f ( ) a ₂ < 0 f ( ) x ₂ < 0 f ( ) b ₂ > 0 3 a ₃ = 0 , 875 b ₃ = 1 9375 x ₃ = 0 , f ( ) a ₃ < 0 f ( ) x ₃ < 0 f ( ) b ₃ > 0 4 a ₄ = 0 , 9375 b ₄ = 1 x ₄ = 0 , 96875 f ( ) a ₄ < 0 f ( ) x ₄ < 0 f ( ) b ₄ > 0 5 a ₅ = 0 , 96875 b ₅ = 1 984375 x ₅ = 0 , f ( ) a ₅ < 0 f ( ) x ₅ < 0 f ( ) b ₅ > 0 6 a 6 = ^{0 , 984375} b ₆ = 1 992187 x ₆ = 0 , f ( ) a ₆ < 0 f ( ) x ₆ < 0 f ( ) b ₆ > 0 7 a

7

= ^{0 , 992187} b ₇ = 1 996093 x ₇ = 0 , f ( ) a ₇ < 0 f ( ) x ₇ > 0 f ( ) b ₇ > 0 8 a

8

= ^{0 , 992187} b ₈ = 0 , 996093 x ₈ = 0 , 994139 f ( ) a 8 < ⁰ f ( ) x 8 > ⁰ f ( ) b 8 < ⁰ 9 a

9

= ^{0 , 992187} b ₉ = 0 , 999439 x ₉ = 0 , 995115 f ( ) a ₉ < 0 f ( ) x 9 > ⁰ f ( ) b 9 < ⁰ 10 a

10

= ^{0 , 992187} b ₁₀ = 0 , 995115 x ₁₀ = 0 , 993651 f ( ) a ₁₀ < 0 f ( ) x ₁₀ > 0 f ( ) b ₁₀ < 0 11 a

11

= ^{0 , 992187} b

₁₁

= 0 , 993651 x ₁₁ = 0 , 992919 f ( ) a ₁₁ < 0 f ( ) x ₁₁ > 0 f ( ) b ₁₁ < 0

000244 ,

2048 0 5 , 0 2

5 , 0 1

2 ¹¹

10 ≤ b −

_n

a = − = =

E

992919 ,

11 = 0

x solo le prime tre cifre decimali sono sicuramente esatte

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