esempi di monomi: 4a −

Monomi (vedi Bergamini C1)

Un monomio è un'espressione letterale formata dal prodotto di numeri e potenze che hanno per base una lettera e per esponente un numero naturale. Perciò fra le lettre non compaiono addizioni, sottrazioni o divisioni. (Noi lavoreremo in generale con dei numeri reali perciò, salvo indicazioni contrarie, i nostri monomi saranno costituiti da numeri reali e potenze naturali di lettere, intese come numeri reali.) Anche un semplice numero può essere considerato un monomio.

esempi di monomi: 4a −

ab 2 ab

r

125

non sono monomi: 4 2a + b 4ab

5a + 5

a a

Un monomio in forma normale è scritto come prodotto fra un numero (il coefficiente) e una o più lettere diverse fra loro, con i relativi esponenti (la parte letterale).

Il grado di un monomio è la somma degli esponenti della parte letterale.

Il grado rispetto a una lettera è l'esponente di quella lettera.

esempio: 5a

b

5 è il coefficiente, a

b

è la parte letterale, 4 + 6 = 10 è il grado, 6 è il grado rispetto a b Due monomi sono simili quando hanno la stessa parte letterale.

esempio: 5a

b

è simile a 3 a

b

, a 3b

a

ma non è simile a 5a

b

Operazioni con i monomi

La somma o differenza di due monomi simili è il monomio che si ottiene sommando algebricamente i coefficienti e lasciando invariata la parte letterale.

esempio: 2a - 5a = -3a

Nel prodotto di due monomi, per i coefficienti si usano le regole relative ai numeri, mentre per le lettere si usano le proprietà delle potenze. Lo stesso vale nei casi di divisione o elevazione a potenza di monomi.

esempi: 3a

⋅5a

= 15a

, 3a

b

⋅5a

= 15a

b

, 3a

⁄5a

= a, (3a

b

)

= 27a

b

La parte letterale del Massimo Comun Divisore

comuni a tutti i monomi, ognuna presa una sola volta e con l'esponente minimo. Per il coefficente numerico; se i coefficienti sono numeri naturali si può prendere come coefficiente l'M.C.D. dei coefficienti, se no anche l'uno va bene.

esempio: l' M.C.D. tra

x

y

z , x

y ,

x

y

z

sarà x

y La parte letterale del minimo comun multiplo

presenti nei monomi, ognuna presa una sola volta e con l'esponente massimo. (Per il coefficiente; se i coefficienti sono numeri naturali si può prendere come coefficiente l'm.c.m.).

esempio: l' m.c.m. tra

x

y

z , x

y ,

x

y

z

sarà x

y

z

Polinomi (vedi Bergamini C2)

Un polinomio è la somma algebrica di (uno o) più monomi. Anche ogni monomio viene considerato un polinomio.

Un polinomio è ridotto a forma normale simili.

Il grado di un polinomio è il grado maggiore dei suoi termini.

Il grado rispetto a una lettera è il maggiore dei gradi dei suoi termini rispetto a quella lettera.

Un polinomio è detto omogeneo se tutti i suoi termini sono dello stesso grado.

È detto ordinato rispetto ad una lettera ordine crescente o decrescente.

È detto completo rispetto ad una lettera l

grado 0.

Il termine noto è il termine formato soltanto da un numero (senza lettere) ossia il monomio di grado 0.

Operazioni con i polinomi

Nelle operazioni con i polinomi si applica tra l'altro la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione. Così avremo per esempio

a(b + c) = ab + ac,

(a + b)(c + d) = (a + b) c + (a + b) d = ac + bc + ad + bd.

-(a + b + c) = - a - b - c Prodotti notevoli

La somma per la differenza di due monomi: (A + B)(A - B) = A

- B

Il quadrato di un binomio: (A + B)

= A

+ 2AB + B

Il quadrato di un trinomio: (A + B + C)

= A

+ B

+ C

+ 2AB + 2AC + 2BC Il cubo di un binomio: (A + B)

= A

+ 3A

B + 3AB

+ B

Funzione polinomiale

Un polinomio può essere considerato come una funzione a una o più variabili.

Possiamo calcolarne i valori assegnando particolari valori alle lettere presenti.

I valori per i quali un polinomio si annulla sono detti zeri del polinomio.

Esempio: x

- 5x + 6 è una funzione polinomiale P(x) della variabile x

Come già detto a proposito dei monomi, noi lavoreremo in generale con dei numeri reali perciò la funzione P(x) è da intendere definita da  verso .

P(x):  → 

x → x

- 5x + 6

Al valore della variabile x = -1 corrisponde il valore della funzione P(-1) = 12

I numeri 3 e 2 sono zeri della funzione perchè P(3) = 0 e P(2) = 0

Divisione tra polinomi (vedi Bergamini C2)

Consideriamo due polinomi con una sola variabile; diciamo p(x) e g(x). In modo analogo alla divisione intera, per g(x)≠0, si può definire la divisione

p(x) : g(x) = q(x) con resto r(x)

Come per gli interi si dice 9 diviso 4 uguale 2 con resto di 1, così per i polinomi si dirà p(x) diviso g(x) uguale q(x) con resto r(x). I polinomi p(x), g(x), q(x) e r(x) sono detti rispettivamente il dividendo, il divisore, il quoziente ed il resto.

Avremo così:

p(x) : g(x) = q(x) con resto r(x)  p(x) = g(x)⋅q(x) + r(x)

Nel caso r(x) sia diverso da zero si parla di divisione con resto, altrimenti (r(x)=0) si parla di divisione esatta e si dice che p(x) è divisibile per g(x).

Esempio:

(3x

- x - 1) : (x + 2)

13 + 7x + 14 - 7x - 1

3x - 7 -3x

- 6x

x + 2 3x

- x - 1

+ 7x + 14 - 7x - 1

3x - 7 -3x

- 6x

x + 2 3x

- x - 1

3x -3x

- 6x

x + 2 3x

- x - 1

(3x

- x - 1) : (x + 2) = (3x - 7) con resto di 13 infatti (3x

- x - 1) = (x + 2)⋅(3x - 7) + 13

Nel caso il divisore sia un binomio di primo grado in x, diciamo (x - a) con a  , ci sono dei procedimenti di calcolo per arrivare prima al risultato (regola di Ruffini = regola di Horner) e ci sono un paio di risultati che può essere utile ricordare:

Teorema del resto

y Data la divisione p(x) : (x - a)  r(x) = p(a)

il resto è dato dal valore che assume p(x) quando a x sostituisco a

(Nel esempio riportato sopra avremmo a = -2 e sostituendo: 3(-2)

- (-2) - 1 = 12 + 2 - 1 = 13) Teorema di Ruffini (teorema della divisione)

y Un polinomio p(x) è divisibile per un binomio (x - a) se e soltanto se p(a) è uguale a zero.

(esempio: (2x

- x - 1) è divisibile per (x - 1) dato che 2(1)

- (1) - 1 = 2 - 1 - 1 = 0)

Nota: per dei polinomi con più variabili è possibile procedere a delle divisioni considerando una sola

Scomposizione in fattori (vedi anche Bergamini C3)

In modo analogo alla scomposizione di un numero naturale in fattori primi (24 = 2⋅2⋅2⋅3 = 2

⋅3), possiamo voler scomporre i polinomi in un prodotto di polinomi di grado minore. Per esempio potremmo scomporre (2x

- x - 1) nel prodotto (x - 1)⋅(2x + 1). Ricordiamo che il teorema fondamentale dell’aritmetica dice che quando un numero naturale non è primo, è sempre possibile farne la scomposizione in fattori primi, ossia scriverlo sotto forma di un prodotto in cui tutti i fattori sono numeri primi e che questa scomposizione, ordine a parte, è unica. Per i polinomi con coefficienti

teorema fondamentale dell'algebra (del sistema dei numeri complessi) Ogni polinomio di grado n

f(x) = x

+ a

x

+ a

x

+ ... + a

x + a

Può essere scomposto nel prodotto di esattamente n fattori ) )...(

)(

)(

( )

( x x

x

x

x

f = − α − α − α − α

Dove α

, α

, α

,... α

sono numeri complessi, radici dell’equazione f (x) = 0

Se lavoriamo con i numeri reali il risultato è un pò diverso. Diciamo che un polinomio è riducibile quando può essere scomposto nel prodotto di polinomi di grado minore. Allora abbiamo il risultato seguente:

In  tutti i polinomi di grado superiore al 2° sono riducibili

Esistono però dei polinomi di 2° grado irriducibili in . Esempio (x

+ 1). Questi polinomi irriducibili non hanno zeri (radici) in . Se ne tracciamo il grafico essi appariranno come delle parabole che stanno sopra o sotto l'asse delle x senza incontrarlo mai.

Quando abbiamo a che fare con un polinomio di grado n con coefficienti reali e una variabile reale, possiamo al massimo avere n zeri (radici). Può succedere che gli zeri non siano tutti distinti. Ad esempio il polinomio (x

- 2x + 1) si annulla per x = 1 ed è scomponibile nel prodotto (x - 1)(x - 1), si dice allora che 1 è uno zero di molteplicità 2. Ad ogni zero del polinomio, contando anche la sua molteplicità, corrisponde un fattore di 1° grado nella scomposizione. In  possiamo avere dei polinomi senza nessuno zero. questi saranno scomponibili in fattori di 2° grado e il loro grado non potrà essere che pari (perchè?).

Per la scomposizione in fattori di un polinomio disponiamo di diversi metodi tra cui il raccoglimento, il raccoglimento parziale, il riconoscimento di prodotti notevoli o di prodotti particolari. Il teorema di Ruffini ci fornisce un'altro metodo per scomporre un polinomio; la ricerca di uno zero del polinomio che ci permette una divisione esatta con un binomio di 1° grado. A questo proposito disponiamo di un'altro risultato che può aiutarci:

Gli zeri razionali (elementi di ) di un polinomio a coefficienti interi, sono della forma , p q dove p è divisore del termine noto e q è divisore del coefficiente principale (il coefficiente del monomio di grado massimo)

In linea di principio dunque noi possiamo, lavorando in , scomporre qualsiasi polinomio in un

prodotto di polinomi di 1° grado. Lavorando in  possiamo scomporre qualsiasi polinomio in un

prodotto di polinomi di 1° o 2° grado. In pratica questa scomposizione non è sempre facile.

Scomposizione di polinomi: esempi

Raccoglimento, raccoglimento parziale, riconoscimento di un prodotto notevole, riconoscimento del prodotto di due polinomi, ricerca di uno zero razionale

A x

+ 6x

+ 5x raccoglimento → x(x

+ 6x

+ 5) prodotto (6=5+1, 5=5⋅1) → x(x

+ 5)(x

+ 1) y

+ (a+b)y + a⋅b = (y + a)(y + b)

B 2x

- 2x

- 8x

+ 8x raccoglimento → 2x(x

- x

- 4x + 4) raccoglimento parziale → 2x[x

(x - 1) - 4(x - 1)]

raccoglimento → 2x(x

- 4)(x - 1) prodotto notevole (dif. quad.) → 2x(x - 2)(x + 2)(x - 1)

y

- a

= (y -a)(y + a) C 2x

+ 3x

- 6x - 9 ricerca di una radice razionale

( , p dove p è divisore del termine noto e q è divisore del coefficiente principale) q

possibilità: p = 1, 3, 9; q = 1, 2; = ±1, ±1/2, ±3, ±3/2, ±9, ±9/2 p q

sostituisco le possibili radici nel polinomio per vedere se lo sono davvero:

1→-10, -1→-2, 1/2→-11, -1/2→11/2, 3→54, -3→-18, 3/2→-9/2, -3/2→0 -3/2 è una radice allora il polinomio è divisibile per (x + 3/2). Se effettuo la divisione ottengo che

2x

+ 3x

- 6x - 9 = (x + 3/2)(2x

- 6)

se raccolgo il 2 nel secondo fattore e lo distibuisco al primo ottengo (2x +3)(x

- 3) prodotto notevole (dif. quad.) → (2x + 3)(x - 3 )(x + 3 )

y

- a

= (y -a)(y + a)

in questo caso si poteva, più convenientemente, procedere per raccoglimento parziale ...

Cbis 2x

+ 3x

- 6x - 9 raccoglimento parziale → x

(2x + 3) - 3(2x + 3)

raccoglimento → (x

- 3)(2x +3)

prodotto notevole (dif. quad.) → (x - 3 )(x + 3 )(2x + 3)

y

- a

= (y -a)(y + a)

Teorema del binomio

Quando dobbiamo sviluppare la potenza n Tartaglia ( o Pascal):

...

...

...

a

+ 5a

b + 10a

b

+ 10a

b

+ 5ab

+ b

1

5 10 10

5 1

(a + b)

a

+ 4a

b + 6a

b

+ 4ab

+ b

1

4 6

4 1

(a + b)

a

+ 3a

b + 3ab

+ b

1

3 3

1 (a + b)

a

+ 2ab + b

1

2 1

(a + b)

a + b 1

1 (a + b)

1 1

(a + b)

Questo triangolo ci fornisce i coefficienti dei termini dello sviluppo, ordinati secondo le potenze decrescenti di a e crescenti di b.

Questi coefficienti sono anche detti coefficienti binomiali. Il primo coefficiente per la 5

potenza del binomio si nota 5 = 1, il secondo = 5, il terzo = 10 e così via fino al sesto = 1.

0

5 1

5 3

5 5 Il coefficiente binomiale generico si nota n o o anche nCr e vale:

r C

nCr = n =

r n!

(n − r)!r!

(n! si legge "n fattoriale" e indica il prodotto dei primi n numeri interi: n!=1⋅2⋅3⋅...⋅n. Ad esempio 5! = 1⋅2⋅3⋅4⋅5 = 120. Per definizione si pone 0!=1)

La formula generale per lo sviluppo di (a + b)

sì scriverà allora (a + b)

= a

+ C

a

b + C

a

b

+ ... + C

ab

+ b

e questa è detta talvolta il teorema del binomio.

dei tasti sia per calcolare n! che per calcolare nCr.

Il coefficiente binomiale n = nCr, corrisponde al numero di combinazioni diverse con cui è r

possibile estrarre r oggetti da un insieme di n diversi oggetti (non conta l'ordine d'estrazione).

Esempio:

Così se voglio conoscere quante sono le diverse possibilità di un estrazione del lotto a numeri (6 numeri su 45) chiedo alla machinetta di calcolare 45 =

C

= = 8'145'060

6 45!

(45 − 6)!6!

Se gioco una schedina con 7 numeri (quella da 7 franchi), allora con quei 7 numeri posso formare

7

C

= 7 diverse combinazioni di 6 numeri. Per cui moltiplico le mie possibilità di fare 6.

Equazioni

Abbiamo sin qui imparato a manipolare delle espressioni algebriche, in particolare dei polinomi, sviluppando le parentesi, raggruppando, dividendo etc.. Se la manipolazione è corretta passiamo da un espressione algebrica ad un altra espressione algebrica equivalente alla prima per ogni valore che possono assumere le variabili o i parametri. Così x

- 1 è equivalente a (x - 1)(x + 1) per ogni x  .

Allora possiamo scrivere x

- 1 = (x - 1)(x + 1) e sappiamo che questa uguaglianza è valida per

qualsiasi x  . Ci sono invece delle uguaglianze che scriviamo ben sapendo che non sono valide per qualsiasi valore che possono assumere le variabili o i parametri. Queste uguaglianze prendono allora il nome di equazioni ed occorre ricercare per quali valori delle variabili o/e dei parametri esse sono vere.

Così x

= 1, se consideriamo x  , è verificata solo per due valori di x; +1 e -1. Diremo allora che x

= 1 e x

= -1 sono le due soluzioni dell'equazione x

= 1.

Altri esempi:

x

= -1 non è verificata per nessuna x   (l'equazione non ha soluzioni in ).

|x| = x è verificata per x positivo o nullo (x  ). ‘

Un'equazione si presenta dunque come un espressione, un'uguale e una seconda espressione.

L'espressione alla sinistra dell'uguale è detta membro di sinistra o primo membro dell'equazione, l'espressione alla destra membro di destra o secondo membro.

Nell'equazione x

- 1 = 0, abbiamo x

- 1 come primo membro e 0 come secondo membro.

equazioni equivalenti

Due equazioni sono equivalenti se l'insieme delle loro soluzioni coincide.

Così l'equazione x

= 1 è equivalente all'equazione x

- 1 = 0 poichè entrambe hanno {-1, +1} come insieme delle soluzioni.

Alcune regole per ottenere delle equazioni equivalenti:

1. se ai due membri di un equazione aggiungo uno stesso numero, ottengo un equazione equivalente.

2. se moltiplico i due menbri di un equazione per uno stesso numero diverso da zero, ottengo un equazione equivalente.

Esempio:

3x -5 = 0 aggiungo 5 ad entrambi i membri ottenendo 3x = 5 moltiplico ora entrambi i membri per 1/3 e ho x = 5/3 Altre operazioni sui membri di un'equazione

Alcune operazioni che possiamo fare sui membri di un'equazione non ci danno un'equazione

equivalente ma possono comunque aiutarci a trovare le soluzioni del equazione originale. Così se elevo al quadrato i due membri di un'equazione, posso dire che l'insieme delle soluzioni della prima

equazione dev'essere contenuto nell'insieme delle soluzioni della nuova equazione (se due numeri sono

uguali, lo saranno anche i loro quadrati). Così x = 2 non è equivalente a x

= 4, ma le soluzioni della

prima equazione sono anche soluzioni della seconda. Quando si utilizzano queste operazioni sui

membri di un equazione, una volta trovate delle soluzioni, bisogna sempre ritornare all'equazione di

partenza e vedere se la verificano. (È sempre bene controllare, se possibile, che le soluzioni trovate

verifichino effettivamente l'equazione di partenza)

Equazioni polinomiali

Quando abbiamo un'equazione del tipo P(x) = 0 dove P(x) è un polinomio, diciamo che è un'equazione polinomiale. Il polinomio può avere coefficienti interi, razionali, reali o complessi. Noi lavoriamo generalmente con coefficienti reali. Sappiamo, dal teorema fondamentale dell'algebra, che un

polinomio di grado n possiede n n è

dispari, avremo almeno una radice reale e al massimo n radici reali. Se n è pari avremo da zero a n radici reali. Noi impareremo a risolvere le equazioni polinomiali (a coefficienti reali) fino al secondo grado. La formula per risolvere equazioni polinomiali di 2° grado era conosciuta già dai Babilonesi.

Dei metodi generali per risolvere le equazioni polinomiali di 3° e 4° grado sono stati trovati da

matematici del XVI secolo. Per le equazioni polinomiali di 5° grado bisogna aspettare la metà del XIX secolo.

1858 Hermite, Kronecker

V°

∼1545 (pubblicato da Cardano) Lodovico Ferrari

IV°

∼1545 (pubblicato da Cardano) Ferrari, Tartaglia (disputa)

III°

∼2000 a C.

Babilonesi II°

Anno Attribuzione

Grado

Equazioni lineari

Le prime equazioni di cui ci occupiamo sono le equazioni polinomiali di 1° grado dette anche equazioni lineari. Le espressioni di partenza possono essere un pò complicate ma dopo un certo numero di manipolazioni si possono ridurre a qualcosa di semplice. Un equazione lineare ridotta in forma normale appare come un polinomio di primo grado uguagliato a zero. Se l'incognita è una sola, diciamo x, la forma generale di un equazione lineare puo essere scritta come segue:

ax + b = 0

( a e b sono i coefficienti). Se conosciamo il valore numerico dei coefficienti, per esempio nell'equazione 3x + 2 = 0, diremo che abbiamo un'equazione numerica. Se invece parte o tutti i coefficienti sono delle lettere, diremo che abbiamo un'equazione letterale.

Discussione di un'equazione lineare letterale

Consideriamo l'equazione lineare letterale ax + b = 0. Di a e b sappiamo soltanto che sono elementi di

. Possiamo allora risolvere questa equazione distinguendo tre casi:

I caso: a ≠ 0 e b ≠ 0

l'insieme delle soluzioni è costituito da un solo elemento, -b/a.

Si dice anche che l'equazione è determinata.

II caso: a = 0 e b ≠ 0

l'insieme delle soluzioni è vuoto.

Si dice anche che l'equazione è impossibile III caso: a = 0 e b = 0

l'insieme delle soluzioni contiene un numero infinito di elementi (tutto ).

Si dice anche che l'equazione è indeterminata.

Naturalmente se solo un coefficiente è letterale la discussione non comporterà tutti e tre i casi.

Disequazioni (vedi Bergamini modulo D unità 2)

Abbiamo appena visto cosa dobbiamo intendere quando parliamo di equazione. Se in un equazione sostituiamo il segno = con un segno di diseguaglianza come <, >, ≤ o ≥, otteniamo una

disequazione. Le disequazioni vanno trattate in parte come le equazioni ma in parte hanno delle caratteristiche e regole proprie. Ad un disequazione, come ad un equazione, corrisponde un insieme di valori che possono assumere le variabili o i parametri per cui la disequazione risulta vera. È l'insieme delle soluzioni. L'insieme delle soluzioni è spesso costituito da un infinità di elementi e la soluzione specificata utilizzando delle notazioni per degli intervalli di valori.

qualche esempio:

3x - 6 ≥ 3 per verificare questa disequazione x può assumere qualsiasi valore reale superiore o uguale a tre. La soluzione della disequazione potrà essere notata in una delle forme

seguenti: x≥3 oppure x ∈ [3, +∞[

x

> 1 questa disequazione è verificata per x minore di meno uno o per x maggiore di uno.

Scriveremo x<-1  x>1 oppure x ∈ ]-∞, -1[ ∪ ]1, +∞[

|x|  2 è verificata per x minore o uguale a meno due e per x maggiore o uguale a due.

Scriveremo: x-2  x2 oppure x ∈ ]-∞, -2] ∪ [2, +∞[

Come per le equazioni, diremo che due disequazioni sono equivalenti se l'insieme delle soluzioni coincide.

Alcune regole per ottenere delle disequazioni equivalenti:

Abbiamo dato, per le equazioni, due regole che permettevano di passare da un'equazione ad

un'equazione equivalente. Di queste due regole possiamo tenere la prima (sostituendo equazione con disequazione) ma dobbiamo un po' cambiare la seconda:

1. se ai due membri di una disequazione aggiungo uno stesso numero, ottengo una disequazione equivalente.

2a. se moltiplico i due membri di una disequazione per uno stesso numero positivo, ottengo una disequazione equivalente.

2b. se moltiplico i due membri di una disequazione per uno stesso numero negativo e inverto il verso, ottengo una disequazione equivalente.

Esempi:

-3x - 6 ≥ 3 è equivalente a -3x ≥ 9 (ho aggiunto 6 ad entrambi i membri) -3x ≥ 9 è equivalente a x ≤ -3 (ho moltiplicato per -1/3 e invertito il verso)

La regola che ci fa invertire il verso se la moltiplicazione è per un numero negativo farà sì che con delle disequazioni letterali, ma non solo, dovremo a volte aprire delle discussioni.

(x - 2)/(x - 3) ≥ 1 è equivalente a (x - 2) ≥ (x - 3) se x > 3

ma è equivalente a (x - 2) ≤ (x - 3) se x < 3

Sistemi di disequazioni ad un'incognita (vedi Bergamini pag. D68 e seguenti)

Un sistema di disequazioni è un insieme di disequazioni che devono essere tutte soddisfatte. Se per esempio scrivo

{ ^2x _{x − 3 m 5} ^{+ 4 < 6}

significa che cerco dei valori di x che soddisfino entrambe le disequazioni. Tutti i valori di x che soddisfano entrambe le disequazioni costituiranno l'insieme delle soluzioni. Nel nostro esempio nessun valore reale è soluzione del sistema.

Sistemi equivalenti

Come per le equazioni e le disequazioni, stabiliamo una relazione d'equivalenza tra sistemi di disequazioni.

Due sistemi di disequazioni sono equivalenti se l'insieme delle loro soluzioni coincide.

Così il sistema scritto sopra è equivalente al sistema { ^x _{x m 8} ^{< 1}

poiché entrambi hanno ∅ come insieme delle soluzioni.

una regola per ottenere dei sistemi equivalenti:

Se trasformiamo una disequazione del sistema in una disequazione equivalente (secondo le regole viste per le disequazioni), otterremo un sistema equivalente.

metodo "grafico" per determinare la soluzione di un sistema ad un'incognita

Quando siamo giunti alla soluzione di ognuna delle disequazioni del sistema (trasformandole se necessario), rappresentiamo le varie soluzioni in un unica tabella come di seguito:

x < 1 ¹

x ≥ 8

8

Per ogni disequazione abbiamo una retta numerica. In grassetto disegniamo l'intervallo soluzione. Con un cerchiolino vuoto intendiamo rappresentare un punto da escludere, con un cerchiolino pieno un punto da includere nella soluzione. Potremo allora facilmente vedere per quali valori tutte le disequazioni sono soddisfatte.

Esempio:

consideriamo il sistema disequazioni seguente:

{ ^{3x 5 − 2x m 3} _2x ^{− 4 < 2} _{< x} lo trasformiamo ne sistema equivalente { ^{x x [ 1} _x ^{< 2} _{< 0}

rapresentiamo ora gli intervalli di ogni disequazione

ne concludiamo che il sistema ha per soluzione: x ∈ ]-∞, 0[

x < 2 x <= 0 x < 0

2 1 0

Sistemi di equazioni (vedi anche Bergamini modulo E unità 2)

Un sistema di equazioni è un insieme di equazioni, in genere a più incognite, che devono essere tutte soddisfatte. Se per esempio scrivo

{ ^2x _{x − 3y = 5} ^{+ 4y = 6}

significa che cerco una copia di numeri (x, y) che soddisfino entrambe le equazioni date. Tutte le coppie di numeri che soddisfano entrambe le equazioni costituiranno l'insieme delle soluzioni. Nel nostro esempio solo la copia (19/5, -2/5) è soluzione del sistema.

Il grado di un sistema è dato dal prodotto dei gradi delle singole equazioni che lo compongono.

Sistemi equivalenti

Come per le equazioni, stabiliamo una relazione d'equivalenza tra sistemi di equazioni.

Due sistemi di equazioni sono equivalenti se l'insieme delle loro soluzioni coincide.

Così il sistema scritto sopra è equivalente al sistema { _3x ^{x + 2y = 3} _{+ y = 11}

poichè entrambi hanno {(19/5, -2/5)} come insieme delle soluzioni.

Alcune regole per ottenere dei sistemi equivalenti:

Le seguenti operazioni trasformano un sistema di equazioni in un sistema equivalente:

d→d+c

{ ^3x _{−5y = 2} ^{+ y = 11}

addizionare ad un'equazione un altra equazione 3

d→-3d

{ −3x − 6y = −9 ^{3x + y = 11} moltiplicare un'equazione per un numero diverso da zero

2

c ↔ d

{ ^3x _{x + 2y = 3} ^{+ y = 11}

scambiare di posto due equazioni 1

(Saranno queste le operazioni utilizzate nel metodo della riduzione)

Forma normale di un sistema di due equazioni lineari in due incognite

Possiamo scrivere un sistema di due equazioni lineari in due incognite in forma normale come segue:

{ ^a _a

^x _x ^{+ b} _{+ b}

^y _y ^{= c} _{= c}

sono dei coefficienti e x e y a

, b

, c

, a

, b

, c

esista o ne esistano infinite, il sistema si dirà determinato, impossibile o indeterminato. Quando il

sistema ha infinite soluzioni (è indeterminato) può essere ugualmente utile o necessario specificare

quale sia l'insieme delle soluzioni.

Metodi di risoluzione di un sistema di due equazioni lineari in due incognite

Scriviamo un'esempio di un sistema di due equazioni lineari in due incognite in forma normale da utilizzare per illustrare i vari metodi di risoluzione:

{ ^2x _x ^{+ 5y = −7} _{− 4y = 3}

(Naturalmente una prima tappa della risoluzione di un sistema potrebbe consistere nella sua trasformazione in forma normale.)

Metodo di sostituzione

x = −7 + 5 2 = −1 Una volta conosciuta la seconda incognita si ottiene facilmente la

prima.

y = 6 + 7 −13 = − 1 Poi si risolve ottenendo la seconda incognita

−7 − 5y

2 − 4y = 3 ... e si sostituisce l'espressione ottenuta a secondo membro nell'altra

equazione.

x = −7 − 5y Si isola un'incognita in un'equazione ... 2

Metodo di confronto (o eliminazione)

x = −7 + 5 2 = −1 Una volta conosciuta la seconda incognita si ottiene facilmente la

prima.

y = −7 − 6 13 = −1 Poi si risolve ottenendo l'altra incognita

−7 − 5y

2 = 3 + 4y ... si eguagliano allora le espressioni a secondo membro.

, x = −7 − 5y

2 x = 3 + 4y In entrambe le equazioni si isola una stessa incognita ...

Metodo di riduzione

{ _{x = 6 − 8} ^{y = −1}

2 = −1 Una volta conosciuta un'incognita si ottiene facilmente l'altra.

{ _2x ^y _{− 8y = 6} ^{= −1}

... che si risolve.

{ _2x ^13y _{− 8y = 6} ^{= −13}

... si sottrae allora la 2a equazione alla 1a (o viceversa) ottenendo un'equazione con una sola incognita ...

{ ^2x _2x ^{+ 5y = −7} _{− 8y = 6}

Si moltiplica una delle equazioni per un numero in modo da avere i coefficienti di una delle incognite uguali in entrambe le equazioni ...

Certo tutti e tre questi metodi ci portano alla stessa soluzione. La scelta di uno o dell'altro metodo dipende da come si presenta il sistema. Il metodo della sostituzione è spesso usato con i sistemi di 2°

grado. Vedremo fra un po' come con il metodo di riduzione si affrontano anche sistemi di equazioni

lineari con molte equazioni e molte incognite.

Metodo di Cramer

Premessa

Una matrice è un insieme di numeri (o altro) ordinato in una tabella. Parleremo di una matrice 3x4 (tre per quattro) per indicare una matrice con tre righe e quattro colonne. Una matrice quadrata sarà una matrice con un numero di colonne uguale al numero di righe. In genere una matrice è indicata da un lettera maiuscola.

Esempio di una matrice 3x4: A =

4 56 2 3 0 6 21 5

−5 26 7 4 Si nota |A| o anche det(A) il determinante di una matrice quadrata A Ecco come si calcola il determinante di una matrice 2x2:

esempio:

A = a

a

a

a

= a

$ a

− a

$ a

−2 4

1 5 = − 10 − 4 = −14

Scriviamo di nuovo, in termini generali, un sistema di due equazioni lineari in due incognite in forma normale:

{ ^a _a

^x _x ^{+ b} _{+ b}

^y _y ^{= c} _{= c}

se applichiamo uno qualsiasi dei tre metodi visti alla pagina precedente e il sistema è determinato,

otterremo come soluzione x = c

b

− c

b

e .

a

b

− a

b

y = a

c

− a

c

a

b

− a

b

La condizione necessaria e sufficiente perchè il sistema sia determinato è che a

b

− a

b

sia diverso da zero. La quantità a

b

− a

b

è anche detta il determinante di questo sistema di equazioni. Se il determinante è ugale a zero, allora il sistema è o indeterminato o impossibile.

Chiamiamo D il determinante a

b

, D

il det. e D

il det.

a

b

c

b

c

b

a

c

a

c

Avremo D = a

b

− a

b

, D

= c

b

− c

b

D

= a

c

− a

c

La soluzione del nostro sistema di equazioni potrà allora essere scritta così:

Se D ≠ 0  x = D

/ D y = D

/ D

Se D = 0 e D

≠ 0 o D

≠ 0  sistema impossibile Se D = 0 e D

= 0 e D

= 0  sistema indeterminato Osservazione:

Il metodo di Cramer può essere generalizzato per dei sistemi più grandi ma il calcolo dei determinanti

risulterà più lungo che non il metodo di riduzione accennato sulla prossima pagina.

Sistemi lineari e metodo di riduzione

Quando dobbiamo risolvere un sistema di equazioni lineari di grandi dimensioni, possiamo adottare una procedura sistematica che ci porta sicuramente alla soluzione. Per dei sistemi molto grandi, pensiamo a mille equazioni per mille incognite, possiamo scrivere un programma per computer che li risolva automaticamente. Ma vediamo come procedere aiutandoci con un sistema lineare di quattro equazioni come esempio (per semplificare il lavoro tipografico ommetto la parentesi grafa).

c' d' e'''

f'' + 3e''' → f''' x − 2z + 2w = 1

y + z − w = 0 z − 2w = 0 w = 1

c' d'

e''/3 → e''' f''

x − 2z + 2w = 1 y + z − w = 0 z − 2w = 0

−3z + 7w = 1

c' d'

e' - d' → e'' f' - 3d' → f'' x − 2z + 2w = 1

y + z − w = 0 3z − 6w = 0

−3z + 7w = 1 Non considerare più la prima equazione e ripetere

per le rimanenti equazioni i punti da 2 a 5 5

c' d'

e - 3c' → e' f + 2c' → f' x − 2z + 2w = 1

y + z − w = 0 y + 4z − 7w = 0 3y + 4w = 1 Ad ogni equazione sotto la prima, addizionare o

sottrarre tot volte la prima equazione in modo da annullare gli eventuali coefficienti della prima incognita

4

(eventualmente) moltiplicare la prima equazione in modo che il coefficiente della prima incognita sia uguale ad uno

3

d → c' c → d' e f x − 2z + 2w = 1

y + z − w = 0 3x + y − 2z − w = 3

−2x + 3y + 4z = −1 (eventualmente) scambiare di posto due

equazioni in modo da avere al primo posto un'equazione con il coefficiente della prima incognita diverso da zero

2

c d e f y + z − w = 0 x − 2z + 2w = 1 3x + y − 2z − w = 3

−2x + 3y + 4z = −1 Scrivere il sistema in forma normale

(ho dato un numero ad ogni equazione) 1

y = w − z x = 1 + 2(z − w) 3 (x − 1) = 2z + w − y 1 = 2x − 3y − 4z

giunti a questo punto si può proseguire per sostituzione o ancora per riduzione per arrivare alla

soluzione.

Equazioni di 2° grado in un incognita (Bergamini H2, AVallardi p.116-121)

Daremo ora la soluzione generale di una equazione di 2° grado in un incognita, valida sia nel caso che lavoriamo con i numeri reali che nel caso che lavoriamo con i complessi. Scriviamo dapprima

un'equazione di 2° grado in forma normale:

(a≠0) ax

+ bx + c = 0

Dividendo per a otteniamo

x

+

x +

= 0

Ora applichiamo un procedimento conosciuto con il nome di "completamento del quadrato":

Osserviamo che (x +

)

= x

+

x +

differisce dal primo membro della nostra equazione solo per il termine di grado zero (rispetto a x). Possiamo allora riscrivere la nostra equazione come:

(x +

)

−

+

= 0 Spostando a destra gli ultimi due termini del 1° membro otteniamo

(x +

)

=

−

Ne deduciamo che:

x +

= !

−

E dopo qualche manipolazione otteniamo quella che chiamiamo la formula risolutiva delle equazioni di 2° grado e cioè:

x = −b ! b

− 4ac 2a

L'espressione sotto radice, b

- 4ac, è detta il discriminante e a volte si nota ∆ = b

- 4ac

Per dei coefficienti a, b, c reali distinguiamo tre casi: quando il discriminante è maggiore di zero avremo due soluzioni reali, quando il discriminante è uguale a zero avremo una soluzione reale (di molteplicità 2) e quando il discriminante è negativo avremo due soluzioni complesse.

Se lavoriamo con i reali avremo quindi le seguenti possibilità:

x ∉  zero soluzioni reali

∆ < 0

x = −b 2a una soluzione reale

∆ = 0

x

= −b ! b

− 4ac due soluzioni reali 2a

∆ > 0

Esercizio:

"

piccola CB ci sia lo stesso rapporto che tra il tutto AB e la parte grande AC."

(Vitruve, De Architectura, circa 88 a.C)

A B

C

Il segmento AC misura un metro. Il rapporto tra il segmento CB e il segmento AC è uguale al rapporto

tra il segmento AC e il segmento AB. Quanto misura AB?

Grafico di un polinomio di 2° grado in un incognita

Consideriamo il grafico di un polinomio P(x) di 2° grado come dato qui sotto:

(a≠0) P (x) = ax

+ bx + c

Il grafico sarà una parabola con l'asse di simmetria verticale. Se a è positivo le braccia della parabola saranno rivolte verso l'alto, per a negativo verso il basso. La forma della parabola dipende dal valore assoluto di a; più |a| è grande, più la parabola è stretta. Variando b e c cambia la posizione della parabola ma non la forma (larghezza).

x y

-6 -4 -2 0 2 4 6

-4 -2 0 2 4

y=-2*x^2+16*x-32 y=2*x^2-16*x+32 y=x^2

y=-x^2 y=x^2+8*x+16

y=-x^2-8*x-16

Il vertice (il punto più basso se a è positivo, o il punto più alto se a è negativo) sarà raggiunto per x = è avrà una "altezza" pari a .

−b 2a y = P(

) = −b 4a + c =

−

4a

Le equazioni di 2° grado in un incognita viste graficamente

L'equazione di 2° grado in forma normale che abbiamo visto sulla dispensa precedente corrisponde all'equazione P(x) = 0, cioè alla domanda "per quali valori di x il polinomio P(x) si annulla?". Se abbiamo tracciato il grafico del polinomio, la risposta potrà essere: "i valori di x cercati sono quelli in cui la parabola incontra l'asse delle x". Generalmente questo ci da un'idea dei valori cercati ma può essere necessaria la formula risolutiva per avere i valori esatti (se esistono). Ad un discriminante minore di zero corrisponderà una parabola che non tocca mai l'asse delle x (se ne sta sopra o sotto). Ad un discriminante uguale a zero corrisponderà una parabola che tocca l'asse delle x in un solo punto (venendo da sopra o da sotto, come quelle della figura qui sopra). Ad un discriminante maggiore di zero corrisponderà una parabola che tocca l'asse delle x in due punti.

Una disequazione di 2° grado in forma normale come P (x) = ax

+ bx + c > 0 corrisponde alla domanda

"per quali valori di x il polinomio P(x) è positivo?". Se conosciamo gli zeri del polinomio (le soluzioni

dell'equazione vista sopra) e sappiamo disegnare grosso modo la parabola, potremo definire facilmente

l'insieme soluzione della disequazione.

Disequazioni di 2° grado

equazione associata. Consideriamo un polinomio di secondo grado P(x) = ax

+ bx + c. Quando abbiamo una disequazione come P(x) > 0, P(x) < 0, P(x) ≥ 0 o P(x) ≤ 0, diremo che P(x) = 0 è la sua equazione associata. Per risolvere tali disequazioni sarà spesso utile conoscere gli zeri del polinomio P(x), o se vogliamo, risolvere l'equazione associata. Distinguiamo tre casi a seconda che il

discriminante dell'equazione associata sia negativo, nullo o positivo.

Discriminante negativo  non ci sono zeri reali.

se a > 0 allora P(x) è sempre positivo se a < 0 allora P(x) è sempre negativo

Discriminante nullo  uno zero reale (di molteplicità 2)

se a > 0 allora P(x) è sempre positivo salvo nel punto dove si annulla se a < 0 allora P(x) è sempre negativo salvo nel punto dove si annulla Discriminante positivo  due zeri reali, diciamo x

e x

se a > 0 allora P(x) è negativo nell'intervallo tra x

e x

, nullo nei punti x

e x

e positivo altrove se a < 0 allora P(x) è positivo nell'intervallo tra x

e x

, nullo nei punti x

e x

e negativo altrove

x

a > 0

a < 0

∆ < 0

x

a > 0

a < 0

∆ = 0

x

a > 0

a < 0

∆ > 0

Esempi. Risolviamo le disequazioni seguenti:

y 15x

-12x + 4 < 0. L'equazione associata è 15x

-12x + 4 = 0. Il suo discriminante vale -96 dunque niente zeri. Poichè il coefficiente di x

è positivo, il polinomio 15x

-12x + 4 è sempre positivo e la disequazione non è mai verificata (x ∈ ∅).

y 9x

-12x + 4 ≤ 0. L'equazione associata è 9x

-12x + 4 = 0. Il suo discriminante vale 0, risolvendo l'equazione trovo che ho una soluzione per x = 2/3. Poichè il coefficiente di x

è positivo, il

polinomio 9x

-12x + 4 è sempre positivo salvo per x = 2/3 dove si annulla. Dunque la disequazione è verificata solo per x = 2/3 (x ∈ {2/3}).

y -5x

-12x - 4 ‹ 0. L'equazione associata è -5x

-12x - 4 = 0. Il suo discriminante vale 64.

Risolvendo l'equazione trovo che ho due soluzioni; x

= -2 e x

= -2/5. Poichè il coefficiente di x

è negativo, il polinomio -5x

-12x - 4 è negativo per x < -2 o per x > -2/5. Dunque la disequazione è verificata solo per x ∈ ]-∞, -2[ ∪ ]-2/5, +∞[.

(Una volta conosciute le radici dell'equazione associata potevamo procedere anche così:

conoscendo gli zeri del polinomio lo scomponiamo: -5x

-12x - 4 = -5(x + 2)(x + 2/5)

dunque abbiamo la disequazione -5(x + 2)(x + 2/5) < 0 o, dividendo per -5, (x + 2)(x + 2/5) > 0 possiamo allora fare la tabellina che ci indica il segno dei singoli fattori al variare di x :

+ -

-

+ +

+ -

- +

-2/5 -2

x + 2 x + 2/5

e fortunatamente troviamo la stessa soluzione di prima : x ∈ ]-∞, -2[ ∪ ]-2/5, +∞[ )

Sistemi di disequazioni di 2° grado o più, in un incognita

Abbiamo già visto come trattare dei sistemi di disequazioni ad un incognita alla dispensa numero 26.

Se abbiamo delle disequazioni di 2° grado la tecnica non cambia molto. Se il sistema è ad una sola incognita significa che posso rappresentare l'insieme delle soluzioni di una disequazione su di una retta numerica. Disponendo queste rappresentazioni una sopra l'altra, una per ogni disequazione del sistema, potremo facilmente costruire l'intersezione dei vari insiemi. Vediamo per esempio come trattare un sistema di due disequazioni, entrambe di 2° grado:

{ ^x

+ 3x − 4 < 0

−2x

+ x + 3 m 0

Le disequazioni sono già in forma normale e possiamo risolverle una per una. Otteniamo per la prima -4 < x <1, e per la seconda -1 ≤ x ≤ 3/2. Se lo rappresentiamo mediante rette avremo:

-4

-1

1

3/2

La soluzione del sistema sarà dunque -1 ≤ x < 1 (intersezione dei questi due insiemi).

Sistemi di equazioni di secondo grado in due incognite

Un sistema di equazioni di secondo grado in due incognite è in genere costituito da un'equazione di 2°grado e da un'equazione di primo grado. Per esempio

{ ^2x _x

_{− 3y = 4} ^{+ 3y = 6}

Per risolverlo possiamo isolare un'incognita nell'equazione di 1° grado e poi sostituire nell'equazione di 2° grado:

{ ^{2 (3y + 4)} _{x = 3y + 4}

^{+ 3y = 6} { ^18y

+ 51y + 26 = 0 x = 3y + 4

Le soluzioni della prima equazione dell'esempio sono y

= -13/6 e y

= -2/3. Ad ogni soluzione per le y corrisponde una soluzione per le x : x

= 3y

+ 4 = -5/2, x

= 3y

+ 4 = 2. La soluzione del sistema è quindi data da due copie di valori: (x

= -5/2, y

=-13/6) e (x

= 2, y

=-2/3).

Osservazioni:

y Per risolvere questo sistema di 2° grado abbiamo dunque utilizzato il metodo della sustituzione.

y Visto che è un sistema a due incognite, come soluzione ci aspettiamo delle coppie ordinate di

valori. Nei sistemi lineari (1° grado) a due incognite come soluzione ci aspettiamo zero coppie

(sistema impossibile), una coppia o infinite coppie (sistema indeterminato). Ma qui (2° grado) ci

aspettiamo zero coppie (sistema impossibile), una coppia, due coppie o infinite coppie (sistema

indeterminato). Vedremo tra non molto come pensare graficamente a tutto ciò.