Teoremi. Altri esercizi

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Teoremi

Altri esercizi

http://www.die.ing.unibo.it/pers/mastri/didattica/mfo1_16.htm

Sovrapposizione degli effetti

Per un sistema fisico lineare, per il quale cioè causa ed effetto sono in relazione lineare, si può affermare che l’effetto complessivo dovuto a più cause è uguale alla somma degli effetti che ciascuna causa determina singolarmente.

La corrente in un lato della rete dovuta all’azione di n elementi attivi è la somma algebrica delle correnti circolanti nello stesso lato dovute agli elementi attivi agenti separatamente.

La differenza di potenziale tra due punti delle rete è la somma algebrica delle differenza di potenziale tra gli stessi punti dovute agli elementi attivi agenti separatamente.

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N.B.

Quando si considera agente nella rete un solo generatore,

i generatori di tensione devono essere in cortocircuito (E=0)

i generatori di corrente devono essere aperti (I=0) 8 W

6V 3A

8 W

3A

8 W 6V

V

V₁ V₂

4 W

4 W 4 W

V

V 8

8 4

8 3 4

1 



  V 2V

8 4 6 4

2 

  V

V V

V  ₁  ₂ 10 NON VALE PER LE POTENZE

Teorema di Thevenin

Data una rete accessibile da 2 morsetti, formata da generatori e resistori lineari, dal punto di vista esterno, è equivalente ad un generatore ideale di tensione V_Th con in serie una resistenza R_Th

V_Th

R_Th Rete attiva

lineare

R_Th Resistenza relativa alla stessa rete disattivata

V_th tensione a vuoto ai morsetti A e B

+ A

- B + A

- B I

V

Per ipotesi il bipolo è comandato in corrente: ad ogni valore della corrente I corrisponde uno e un solo valore della tensione V

V_AB= V_th +R_ThI I

V

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I Rete

attiva lineare

A

B

Cerco la relazione V_AB/I imponendo il valore della corrente ai terminali mediante un

generatore indipendente di corrente I e calcolando la tensione.

Per il principio di sovrapp. degli effetti V_AB= V’_AB+ V’’_AB

1) V’_AB tensione misurata quando I=0 (tensione A VUOTO)

2) V’’_AB tensione misurata quando i generatori interni sono disattivati

V’’_AB =R_eqI Rete

attiva 1)

A

B

I Rete

disattivata R_eq

2)

A

B

V’_AB= V_AB(0)

Tensione a vuoto

V’’_AB Dimostrazione

I A

B R_eq +

-

V_Th=V_AB(0) R_Th= R_eq

V_AB= V_Th +R_ThI V_Th

R_Th

A

B I

V_AB= V’_AB+ V’’_AB= V_AB(0)+R_eqI

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Trasformazione di generatori indipendenti

I V_g V

R

I_g V

I

Un generatore di tensione con un resistore in serie è equivalente ad un generatore di corrente con una resistenza in parallelo.

LKT V_g+RI –V = 0 V = V_g +RI

LKC I_g –V/R + I = 0 V = RI_g + RI

R

Le relazioni coincidono se V_g =RI_g

In tal caso i 2 bipoli sono equivalenti dal punto di vista esterno

Teorema di Norton

Data una rete accessibile da 2 morsetti, formata da generatori e resistori lineari, dal punto di vista esterno, è equivalente ad un generatore ideale di corrente I_N con in parallelo una conduttanza G_N

I_N G_N

Rete attiva

lineare G_N Conduttanza relativa

alla stessa rete disattivata I_N corrente di cortocircuito tra i morsetti A e B

A

B A

B

Per ipotesi il bipolo è comandato in tensione: ad ogni valore della tensioneV corrisponde uno e un solo valore della correnteI

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E Rete attiva

lineare

A

B

Per il principio di sovrapp. degli effetti

I= I’+ I’’

I’ corrente misurata quando E=0 I’’corrente misurata quando i

generatori interni sono disattivati

I’’=-G_ABE Rete attiva

A

B

Rete E

Disattivata G_AB

A

B

I’= I_CC

Corrente di cortocircuito

I’’

Dimostrazione (non in programma)

E I’’ A

B G_AB

I

I’

I_N G_N I = I_CC – G_AB E

tronco

I_N G_N

I

I = I_N – G_N V_AB

A

B I= I’₊ I’’=I_CC - G_ABE

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Osservazioni

 Un generatore reale di energia può essere schematizzato indifferentemente come generatore di tensione (Thevenin) o di corrente (Norton).

V_Th

R_Th

I_N G_N R

R I

V

I V

I_N =V_Th/ R_Th G_N=1/ R_Th Equivalente di Norton

A

A B

B

Teorema di Millmann

E₁ E₂ E₃ E_i E_n R₁ R₂ R₃ R_i R_n

A

B







i

i i

i i

AB G

E G V

Caso limite di rete con due soli nodi

Il valore della d.d.p esistente tra i 2 nodi di una rete binodale è quello espresso dal baricentro delle conduttanze caratterizzanti ciascun lato esistente tra i 2 nodi, considerando le conduttanze in posizione diversa per effetto delle tensioni dei generatori ideali in serie alle conduttanze stesse.

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E₁ E₂ E₃ E_i E_n R₁ R₂ R₃ R_i R_n

A

B







i

i i

i i

AB G

E G V

G₁ E₁G₁ G_n E_nG_n



i

Gi



i

i

iG

E

A B A

B

Equivalente di Norton per ciascun ramo

Dimostrazione