Sia Sia
Domanda:
Domanda:
è è possibile “ possibile “ approssimare approssimare ” ” f f
“ “ vicino vicino ” ” a x a x
00con un polinomio con un polinomio del tipo
del tipo
? ?
: ( , ) 0 ( , ) f a b → R x ∈ a b
0 0 1 0 0
( , ) ( ) ... ( )
nn n
P x x = a + a x − x + + a x − x
Risposta
Risposta Teorema: Teorema:
( )
0
: ( , ) , x ( , ) a b , f C
n( , a )
f a b → R ∈ ∈ b
0 0
0
0 0
0 0
! ( , ) t.c.
( ) ( , )
( , )
lim lim 0
( ) ( )
n
n n
n n
x x x x
P x x
f x P x x R x x
x x x x
→ →
∃
−
− −
⇒
= =
0 0 0
( ) 2
0
(
0
) 0
0 0
0 0
0
( ) '( )( - )
''( ) ( )
( - ) ...
( , )
( )
( )
!
- )
2! ! (
n
n k
n
n
K K
f x f x x x
f x f x
x x x
P x x
x x f x
n x
=
K
=
=
=
+ +
+ +
= − +
∑
( ) 0
0 0
0
( )
( , ) ( )
!
n k
k n
K
x x
P x x f x
= K
= ∑ −
Si chiama Si chiama
POLINOMIO DI TAYLOR
di grado n e punto iniziale x
di grado n e punto iniziale x
00Dal teorema precedentemente enunciato Dal teorema precedentemente enunciato
⇒ ⇒ se se f : ( , ) a b → R x 0 ∈ ( , ) a b
( )
0 0
(
co n R x x n , ) = D ( x − x ) n
0
( ) 0
0 0
( ) ( ) (
( , )
(*) )
!
n k
k
n K
x x f x
f x R x
K x
=
= ∑ − +
Il secondo membro di (*) si chiama Il secondo membro di (*) si chiama
FORMULA DI TAYLOR
FORMULA DI TAYLOR con con resto resto secondo
secondo Peano Peano
Nel caso in cui
Nel caso in cui x x
00=0 =0 la formula la formula di di Taylor Taylor prende il nome di prende il nome di
formula di Mc Laurin
Esempio Esempio
( ) ! ( , 0) :
sin
( )
( , 0) ( ) sin
(*)
n n
n
f C n P x
x
f x
P x
x
x
∈
∞⇒ ∀ ∈ ∃
=
= +
` D R
Polinomio di Mc
Polinomio di Mc Laurin Laurin di grado 3 di grado 3
''(
'( ) co '''
( ) s in s ) sin ( ) cos
f x = x f x = x f x = − x f x = − x
'(0) 1 '' '''(0 ) 1
(0 ) 0 f ( ) 0 0 f
f = f = = = −
3 3
( , 0) 1
P x x 3! x
⇒ = −
3
0 3
sin 3!
lim 0
x
x x x
→
x
− + =
⇒
Polinomio di Mc
Polinomio di Mc Laurin Laurin di grado di grado 1 1
( ) sin f '( x ) c os x
f x = x =
'
(0)
(0) 0 1
f = f =
1 ( , 0)
P x x
⇒ =
0
lim sin 0
x
x x
→
x
⇒ −
=
(*) (*) Polinomio di Mc Polinomio di Mc Laurin Laurin di di grado 5
grado 5
(
(4) 5)
( ) si n ( ) cos
f x = x f x = x
( 5
( )4 )
(0 ) 1
(0) 0 f
f = =
3 5
0 5
sin 3! 5!
lim 0
x
x x
x x
→
x
− + −
=
⇒
3 5
5
( , 0)
3! 5!
x x
P x x
⇒ = − +
migliora
migliora l l ’ ’ approssimazione di f(x) approssimazione di f(x) “ “ vicino vicino ” ” al punto x al punto x
00=0 =0
-3 -2 -1 0 1 2 3
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
G rafico d i sin (x) e d ei p o lin o m i ap p ro ssim anti fin o al g rad o 5
x
sin(x)
y=sin(x) P1 P3=P2 P5=P4
Resto nella forma di
Resto nella forma di Lagrange Lagrange
1
0 0
Se f ∈ C
n+( , ), a b x ∈ ( , ), a b P x x
n( , ) Pol di Taylor
0
1 1)
0
( 0
( , ) ( ,
( )
( ) ( )
( 1)!
(
) : )
n n
P x
nx x
f x
x a b
f
x n
x x
ξ ξ
+
−
+= −
∈
⇓
∃
+
∈
+
∀
si chiama
si chiama resto resto nella forma di
nella forma di Lagrange Lagrange
1
( 1) 0
0
( - )
( , ) ( )
( 1)!
n n
n
R x x f x x
ξ n +
= +
+
Si vuole valutare l
Si vuole valutare l ’ ’ errore che si errore che si commette approssimando la
commette approssimando la funzione
funzione
con il polinomio di Mc
con il polinomio di Mc Laurin Laurin di di grado 3
grado 3
nel punto
0( )
x0.1
f x = e x =
2 3
3
( , 0) 1
2! 3!
x x
P x x
⇒ = + + +
2 3
3
(0.1) (0.1) (0.1, 0) 1 0.1
2! 3!
⇒ P = + + +
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -5
0 5 10 15 20 25
x
exp(x)
e xp(x) P3 (0.1,1)
Utilizzando la formula di
Utilizzando la formula di Lagrange Lagrange per il per il resto
resto ⇒ ⇒
0.1 4
3 3
con (0,0.1)
(0.
1,
0) (0.1, 0) (0.1)
4!
R e P e
ξ
ξ
⇓
∈
= − =
0.1
4 4
3 4
