Prova scritta di Matematica A.A. 2001-2002 Appello del 23/9/2002

Facolt`a di Agraria

Prova scritta di Matematica A.A. 2001-2002 Appello del 23/9/2002

Voto

Istruzioni: scrivere la risposta nel riquadro a fianco dell’esercizio ed allegare lo svolgimento completo. Apporre nome, cognome e numero di matricola su ogni foglio. Prima della consegna indicare nell’apposito spazio il numero totale di fogli protocollo di cui ` e composto l’elaborato.

Cognome Nome

no. fogli (compreso questo) N. Matricola

1. Data la funzione

f (x) = 1 x log x 1. determinarne il dominio;

2. calcolarne i limiti agli estremi degli intervalli in cui la funzione `e definita;

3. determinare in quali intervalli la funzione `e crescente e in quali decrescente;

4. stabilire quante sono le soluzioni dell’e- quazione f (x) = e;

5. disegnare un grafico approssimativo di f .

1. ]0, 1[∪]1, +∞[

2. lim

x→+∞ f (x) = 0, lim

x→0

f (x) = −∞,

x→1 lim

f (x) = −∞, lim

x→1

f (x) = +∞

3. f ⁰ (x) = − 1 + log x

x ² log ² x ; f `e crescente in ]0, 1/ e[

e decrescente in ]1/e, 1[ e in ]1, +∞[;

4. l’equazione ha una soluzione

2. Calcolare l’integrale Z _t

e

1

x log x dx, t > 1

eseguendo il cambiamento di variabile x = e ^y . log(log t)

2 Matematica, 23/9/2002

3. Dati i problemi di Cauchy

1)

 



y ⁰ = y − 1 t log t y(e) = 2,

t > 1

2)

 



y ⁰ = y − 1 t log t y(e) = 1,

t > 1

1. cosa si pu`o dire in merito all’esistenza e all’unicit`a della soluzione?

2. dire se la funzione y(t) = 1 per ogni t > 1 `e una soluzione del problema 1) e, nel caso in cui non lo sia, trovarne una soluzione;

3. determinare una soluzione del problema 2).

1. in entrambi i casi la soluzione esiste ed `e uni- ca perch`e l’equazione differenziale `e di tipo lineare;

2. no, y(t) = log t + 1 3. y(t) = 1 per ogni t > 1.

4. Risolvere la disequazione (1 + |x|) ² ≥ |1 + 2x|

R

5. Si consideri la funzione f : R → f (R) con legge

f (x) =

½ x ³ se x ≤ 1 a √

x se x > 1 dove a `e un parametro reale.

1. Dire per quali valori di a la funzione `e invertibile;

2. dire se per a = 2 la funzione `e invertibile e, in caso affermativo, determinare dominio, codominio e legge della funzione inversa;

3. determinare per quali valori di a, se ne es- istono, la funzione f `e continua in ogni punto;

4. determinare per quali valori di a, se ne es- istono, la funzione f `e derivabile in ogni punto.

1. a ≥ 1

2. f ⁻¹ :] − ∞, 1]∪]2, +∞[→ R

f ⁻¹ (y) =

½ √

y se y ≤ 1 (y/2) ⁴ se y > 2 3. a = 1

4. non esistono