1. La risposta corretta `e (a). Possiamo infatti riscrivere l’a↵ermazione “non c’`e rosa senza spine”

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RISOLUZIONE

1. La risposta corretta `e (a). Possiamo infatti riscrivere l’a↵ermazione “non c’`e rosa senza spine”

come

“non esiste rosa senza spine”

che equivale ad a↵ermare che

“ogni rosa non `e senza spine”

cio`e

“ogni rosa ha le spine”

dato che le due negazioni (non `e senza spine) a↵ermano.

2. La risposta corretta `e (b). Difatti, se denotiamo con P la proposizione “gioca a poker”, con T e con B le proposizioni rispettivamente “gioca a tressette” e “gioca a briscola”, la proposizione

“chi gioca a poker gioca anche a tressette o a briscola” si pu`o riscrivere come P ) (T oppure B)

che risulta equivalente alla proposizione contronominale

¬(T oppure B) ) ¬P

dove abbiamo denotato con ¬A la negazione dell’a↵ermazione A. Ricordando che ¬(T oppure B) = ( ¬T ) e (¬B), otteniamo

(( ¬T ) e (¬B)) ) (¬P )

che possiamo rileggere dicendo che “chi non gioca n´e a tressette n´e a briscola non gioca nemmeno a poker”.

3. La risposta corretta `e (c). Possiamo schematizzare l’a↵ermazione di Beatrice come E ) ¬I

dove con E si indicata la proposizione “esistono gli extraterrestri” e con ¬I la negazione della proposizione “qualcuno pu`o incontrare gli extraterrestri”.

Beatrice ha torto se l’implicazione E ) ¬I è falsa e ciò può accadere solo se la premessa E

è vera e la conseguenza ¬I è falsa, cioè se E e I sono entrambe vere, ovvero se “esistono gli extraterrestri e qualcuno può incontrarli”.

Osserviamo infine che a↵ermare che “qualcuno pu`o incontrare gli extraterrestri” significa che almeno una persona (eventualmente anche pi` u d’una) pu`o incontrarli, quindi in particolare Beatrice avrebbe torto nel caso in cui “esistono gli extraterrestri e tutti li possono incontrare”.

4. La risposta corretta è (b). Se indichiamo con A la proposizione “Giovanna otterrà l’aumento” e con V ”Giovanna andrà in vacanza” l’a↵ermazione data equivale all’implicazione

( ¬A) ) (¬V ) ovvero alla proposizione V ) A che possiamo rileggere come

“ottenere l’aumento `e condizione necessaria affinch´e Giovanna vada in vacanza”

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5. La risposta corretta `e (c). Ricordiamo infatti che nelle negazioni occorre invertire i quantificatori 9, 8 e negare la propriet`a a cui si riferiscono.

In questo caso, se `e falso che “ 9 m 2 A tale che m a per ogni a 2 A”, otteniamo che ”8 m 2 A non vale m a per ogni a 2 A”, cio`e ”8 m 2 A, 9 a 2 A tale che m < a”.

6. La risposta corretta `e (c). Denotiamo con x la media dei voti dei rimanenti 6 esami che dovr` a sostenere Luca. La media finale dei 20 esami complessivi `e data da

m = 14 · 25 + 6x

20 .

Per avere m 27, occorre avere 14 · 25 + 6x

20 27 , 6x 20 · 27 14 · 25 = 540 350 = 190 , x 190

6 = 31,¯ 6.

Dato che il voto massimo `e 30/30, Luca non pu` o raggiungere la media del 27.

7. La risposta corretta è (d). Infatti, dalle premesse possiamo dedurre che tutti i numeri dispari maggiori o uguali di 5 sono sbarazzini, perché dalla quarta e terza proprietà si possono ottenere a partire da 5 aggiungendo 2 un numero finito di volte. Quindi, 5, 7, 9, 11,... sono tutti numeri sbarazzini, ovvero:

ogni m = 2n + 1 con n 2 N, n 2, `e sbarazzino.

Possiamo quindi concludere che 2017 `e un numero sbarazzino.

Osserviamo poi che per la seconda proprietà, raddoppiando i numeri dispari maggiori o uguali a 5 si ottengono numeri non sbarazzini, quindi 10, 14, 18, 22, ... non sono sbarazzini. Tali numeri sono tutti i numeri pari, maggiori o uguali di 10 e non divisibili per 4, dato che 2m = 2(2n + 1) = 4n + 2 con n 2 N, è pari ma non divisibile per 4. Quindi 50 non è sbarazzino.

Inoltre, nessun numero pari può essere sbarazzino. Infatti se n è pari e sbarazzino, per la terza proprietà tutti i numeri pari maggiori di esso sono sbarazzini e tra loro ci sono sicuramente numeri pari non divisibili per 4, in contrasto con quanto abbiamo osservato sopra. Dunque anche 1000 non è sbarazzino.

Osserviamo infine che 3 non `e sbarazzino perch´e non un numero naturale.

8. La risposta corretta `e (c). Denotiamo con V il numero delle partite vinte dalle Juventus, e con P il numero delle partite perse. Dato che 8 partite sono terminate in parit`a, si ha

V + P = 38 8 = 30.

Al termine del campionato, Andrea deve a Carlo 2P euro, mentre Carlo deve ad Andrea V euro.

Quindi, visto che Carlo deve dei soldi ad Andrea, si ha che V > 2P .

Tenedo conto che V + P = 30, si ha 30 P > 2P , cio`e 30 > 3P , ovvero P < 10 e quindi V > 20.

Visto che P e V sono numeri interi, deduciamo che P  9 e V 21 quindi

V 2P 21 2 · 9 = 21 18 = 3, cio`e Carlo deve ad Andrea almeno 3 euro.

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9. La risposta corretta è (a). Dato che il ragioniere è di fronte all’ingegnere, il quale è alla sinistra di Aldo, allora il ragioniere è alla destra di Aldo. Inoltre, visto che le due donne sono sedute vicine, necessariamente una di loro è di fronte ad Aldo e non fa la giornalista, perché il giornalista

è un uomo. Quindi, per esclusione, Aldo è il giornalista e la donna che gli è seduta di fronte è farmacista. Di conseguenza, l’altra donna, che è ragioniera, è seduta alla destra di Aldo e quindi alla sua sinistra è seduto Dino, che pertanto è ingegnere.

Il ragionamento `e schematizzato nella figura seguente, nella quale abbiamo indicato con lettere maiuscole le iniziale dei nomi e con lettere minuscole le iniziali delle professioni.

Attenzione, dai dati non `e possibile stabilire quale sia la posizione o la professione delle due donne.

10. La risposta corretta `e (d). Osserviamo innanzitutto che dati due insiemi numerici disgiunti A e B, contenenti rispettivamente n

₁

ed n

₂

elementi, se m

₁

`e la media degli elementi dell’insieme A e m

₂

`e la media degli elementi di B, allora la media degli elementi dell’insieme unione A [ B `e

m = n

1

· m

¹

+ n

2

· m

²

n

1

+ n

2

.

Quindi, indicando con x l’età della giocatrice che si è ritirata, l’età media della squadra prima del ritiro si può calcolare come

11 · 21 + 1 · x

11 + 1 = 231 + x 12 e tale quantit`a deve coincidere con 21,5. Quindi,

231 + x

12 = 21,5 , 231 + x = 258 , x = 27.

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