Compito di Fisica Matematica, 11/3/2011
Prof. F. Bagarello
Lo studente risolva almeno sei dei seguenti quesiti:
(1) Calcolare l’integraleH
γ(z2+ 1) dz, in cui γ `e la curva chiusa in figura, bordo della porzione del cerchio centrato nell’origine e di raggio unitario contenuto nel primo quadrante.
-
6 γ
ℑ(z)
?
- I
ℜ(z) O
(2) Sviluppare in serie di Laurent nell’intorno dei suoi punti singolari la funzione f (z) = (z2+ 1)e1/z2.
Determinarne parte regolare, parte singolare e residui.
(3) Calcolare la derivata debole del segnale φ(x) = rect(x2− 1) exp x.
(4) Risolvere l’equazione differenziale 2y′′(t)− y′(t) + y(t) = 3, con le condizioni iniziali y(0) = y′(0) = 0 usando la tecnica delle trasformate di Laplace
(5) Calcolare trasformata ed antitrasformata di Fourier della funzione f (x) = e−π|x|u(x− 3), u(x) essendo il segnale gradino.
(6) Sviluppare in serie di Fourier la funzione f (x) = rect(x2− 1). Ricavare l’uguaglianza di Parceval.
(7) Verificare che la funzione
f (x) = N { x
2, 0≤ x ≤ 5;
0, altrove
`e una densit`a di probabilit`a per un qualche valore di N , calcolarne la funzione cumulativa associ- ata, e calcolare la probabilit`a che effettuando una misura si ottenga un risultato inferiore ad 2 o compreso tra 3 e 3.5.
(8) Considerare una moneta equa. Costruire la densit`a di probabilit`a associata al lancio della moneta per tre volte e se ne calcoli il valore medio.
Suggerimento: si introducano gli eventi elementari E0: nei tre lanci non esce mai testa; E1: nei tre lanci esce testa 1 volta e cos`ı via. A ciascuno di questi eventi si associ la relativa probabilit`a e, per finire, si calcoli il valore medio della variabile aleatoria cos`ı costruita
1
