Compito di Fisica Matematica, 5/11/2012
Prof. F. Bagarello
Lo studente risolva almeno quattro dei seguenti quesiti:
(1) Calcolare il residuo della funzione f (z) = z2+251 sin (z− 5i) in corrispondenza dei suoi punti singolari. Ottenere anche la parte regolare della funzione associata.
(2) Verificare che la funzione f (z) = z2+ sin (z) `e analitica e calcolare ∫
γf (z) dz dove γ `e l’unione dei due segmenti γ1 = {0 ≤ x ≤ 1, y = 0} e γ2 = {x = 1, 0 ≤ y ≤ 1}. Calcolare poi
∫
Γf (z) dz, Γ essendo il segmento y = x con 0≤ x ≤ 1. (Osservate che con x ed y si sono indicate rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria di z.)
(3) Sviluppare in serie di Taylor nell’intorno di z0= π la f (z) = ez+1cos (z− π) e determinarne il raggio di convergenza.
(4) Calcolare la derivata nel senso debole della distribuzione φ(t) = u(t) t sin(t).
(5) Calcolare trasformata ed antitrasformata di Fourier della funzione
f (x) = 1 (x + i)2.
Calcolare inoltre la sua norma,∫∞
−∞|f(x)|2dx.
(6) Calcolare trasformata ed antitrasformata di Laplace della funzione f (t) =− sin(t). Deter- minarne l’ascissa di convergenza.
(7) Ottenere N in modo che f (x) = N x2rect(x− 1) sia un densit`a di probabilit`a, se possibile.
Ottenere di conseguenza i momenti di ordine 1,2 e 3.
(8) Determinare la probabilit`a che, lanciando un dado a cinque facce 3 volte, i risultati appaiano in ordine strettamente decrescente.
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