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(5 p.) E’ data la funzione f (x

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Academic year: 2021

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Matematica - 4 novembre 2016 versione 1

Scrivere nome, cognome e numero di matricola. Non e’ consentito usare libri, appunti, ..., ma solo una calcolatrice non programmabile. Tempo: 1h 30’.

1. (5 p.) E’ data la funzione

f (x) = log ((3x2+ 2x− 1)/x2);

si determinino: il dominio naturale di f, i punti diR che sono di accumulazione per il dominio di f ma non gli appartengono e i limiti di f (x) per x che tende a questi punti.

2. (4 p.) Si verifichino i seguenti limiti usando la definzione:

(2/3)n→ 0+ per n→ +∞; log3/4n→ −∞ per n → +∞.

3. (6 p.) Si calcolino i seguenti limiti 5· x2− 4 · 3x

7· 2x+ 6· log x, per x→ +∞, 0+; e2x− 1

log (1 + 3x), per x→ 0;

ex+ cos x, per x→ +∞, −∞.

4. (4 p.) Si scomponga il vettore (0, 2, 1) come somma delle sue componenti par- allela ed ortogonale al vettore (1,−1, 0); si verifichi la correttezza del risultato usando il teorema di Pitagora.

5. (5 p.) Per ciascuna delle seguenti sequenze di vettori, si stabilisca in due modi diversi se e’ linearmente dipendente o indipendente, e si dia una interpretazione geometrica del risultato trovato.

(1, 1 2,1

4), (4, 2, 1); (2, 1, 0), (3, 2, 1), (1, 0, 0).

6. (6 p.) Sono date le funzioni lineari

f :R3 → R2, f (x1, x2, x3) = (x1+ x3, x2+ x3) g :R2 → R3, g(x1, x2) = (x1, x2, 5x1− 4x2);

usando la rappresentazione matriciale delle funzioni lineari, si determini la fun- zione f◦g, si stabilisca se e’ invertibile, e in caso affermativo si scriva la funzione inversa.

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