Problemi di max/min a 2 variabili

RO2var.doc 1

Problemi di max/min a 2 variabili

1. Un’impresa per la produzione di due beni, che vende in condizioni di concorrenza perfetta, affronta i seguenti costi:

( ) ^{x , y = 5 x}

²

^{+ 4 xy + 4 y}

²

^{− 80 x − 64 y + 700}

C

. I prezzi unitari di

vendita sono rispettivamente € 40 e € 48. Determinare:

a) le quantità che minimizzano il costo b) le quantità che massimizzano il profitto.

2. Un monopolista vende due prodotti le cui domande sono espresse da:

p

x

x = 2000 − 0 , 5

^e

y = 600 − 0 , 2 p

_y. Sapendo che il costo di produzione è espresso dalla funzione

( ) ^{x , y = 2 x}

²

^{+ 4 xy + y}

²

^{+ 30 . 000}

C

calcolare le quantità che

massimizzano il profitto.

3. (Esame di maturità 1990 – sessione suppletiva)

Un’impresa monopolistica produce due beni economici complementari.

Le domande sono espresse dalle seguenti funzioni:

y x

y x

p p y

p p x

−

−

=

−

−

= 80

2 100

I costi dei due beni sono rispettivamente 4 e 10. Determinare la combinazione che massimizza il profitto nelle seguenti ipotesi:

a) non vi sono limiti alla produzione

b) la produzione complessiva non può superare le 54 unità 4. (Esame di maturità 1995 – sessione ordinaria)

Un’impresa produce due beni A e B che vende ai prezzi

p

_x e

p

_y. Le domande sono espresse dalle seguenti funzioni:

y x

y x

p p

y

p p

x

5 , 0 2 , 0 250

1 , 0 6 , 0 300

− +

=

+

−

=

I costi unitari di produzione sono rispettivamente 60 e 132. . Determinare la combinazione che massimizza il profitto.

Considerando la prima funzione di domanda, determinare il grado di elasticità parziale del bene A rispetto al suo prezzo e rispetto al prezzo di B.

Svolgimento e soluzioni

1. x,y: beni prodotti – discrete. Vincolo

x , y ≥ 0

a) funzione obiettivo:

^C ( ) ^{x , y = 5 x}

²

^{+ 4 xy + 4 y}

²

^{− 80 x − 64 y + 700}

5

; 0 6

64 8 4 '

0 80 4 10

' ⇒ = =

 



=

− +

=

=

− +

= x y

y x C

y x C

y x

64 16 8 80

4 4

10 = − =

=

H

minimo relativo

⇒ C

min

( ) ^{6 , 5} = ³⁰⁰

b) funzione obiettivo:

G ( x , y ) = − 5 x

²

− 4 xy − 4 y

²

+ 120 x + 112 y − 700 10

; 0 8

112 8

4 '

0 120 4

10

' ⇒ = =

 



= +

−

−

=

= +

−

−

= x y

y x G

y x G

y x

64 16 8 80

4 4

10 = − =

−

−

−

= −

H

massimo relativo

⇒ G ( ) ^{8 , 10} = ³⁴⁰

2. x,y: beni prodotti – continue. Vincolo

x , y ≥ 0

Dalle funzioni di domanda si ricava

y p

x p

y x

5 3000

2 000 . 4

−

=

−

=

funzione obiettivo:

( ) ^{x , y = − 4 x}

²

^{− 6 y}

²

^{− 4 xy + 4 . 000 x + 3 . 000 y − 30 . 000}

G

100

; 0 450

000 . 3 4 12 '

0 000 . 4 4 8

' ⇒ = =

 



= +

−

−

=

= +

−

−

= x y

x y G

y x G

y x

80 16 12 96

4 4

8 = − =

−

−

−

= −

H

massimo relativo

( ^{450 , 100} ) = ^{1 . 020 . 000}

⇒ G

3. x,y: beni prodotti – continue.

Dalle funzioni di domanda si ricava

60 2

20 +

−

=

+ +

−

= y x p

y x p

y x

funzione obiettivo:

^G ( ) ^{x , y = − x}

²

^{− 2 y}

²

^{+ 2 xy + 16 x + 50 y}

33

; 0 41

50 2 4 '

0 16 2 2

' ⇒ = =

 



= + +

−

=

= + +

−

= x y

x y G

y x G

y x

RO2var.doc 2

4 4 4 8

2 2

2 = − =

−

= −

H

massimo relativo

a) Massimo assoluto

x = 41 ; y = 33 ⇒ G

Max

= 1 . 153

b) Si aggiunge il vincolo tecnico

x + y ≤ 54

Il problema è dunque la ricerca del massimo nel campo di scelta di vertici

) 0

; 54 ( );

54

; 0 ( );

0

; 0

( A B

O

Il massimo relativo è al di fuori del campo di scelta: va dunque fatta una ricerca nei vertici e nelle frontiere:

frontiera AO:

x = 0 ; 0 ≤ y ≤ 54

5 , 12 0

50 4 ' 50

2

²

+ ⇒ = − + = ⇒ =

−

= y y G y y

G

Ok

frontiera AB:

y = 55 − x ; 0 ≤ x ≤ 54

25

; 29 0

290 10

' 3132 290

5

²

+ − ⇒ = − + = ⇒ = =

−

= x x G x x y

G

Ok

frontiera OB:

y = 0 ; 0 ≤ x ≤ 54

8 0

16 2 '

2

+ 16 ⇒ = − + = ⇒ =

−

= x x G x x

G

Ok

punti x y G Soluzione

O 0 0 0

A 0 54 -3.132

B 54 0 -2.052

In AO 0 12,5 312.5

In AB 29 25 1.073 Massimo

In OB 8 0 64

4. x,y: beni prodotti – continue.

Dalle funzioni di domanda si ricava

( )

( ^{3 1 . 050} )

7 5

750 . 1 14 5

5

− +

−

=

− +

−

=

y x p

y x p

y x

funzione obiettivo:

( )

14

8652 7910

15 30

, 25

2

2

y xy x y

y x x

G = − − − + +

( )

( ) ^{37 113 , 14}

; 4136 26 , 124 988 . 22 0

2884 20

14 5 ' 3

0 1852 3

14 10 ' 5

≅

=

≅

=

⇒

 



 



= +

+

−

=

=

− +

−

=

y x

y x G

y x G

y x

196 775 . 2 7 30 14

15

14 15 7

25

− =

−

−

= −

H

massimo relativo

( ^{124 , 26 ; 113 , 14} ) = ^{69 . 944 , 33}

⇒ G

Elasticità parziale di A rispetto al suo prezzo:

ricordando che

x = 300 − 0 , 6 p

_x

+ 0 , 1 p

_y ^{si ha:}

y x

x x

p p

x

p p

p x

x p

x

x

' 0 , 6 300 0 , 6 0 , 1

,

= ⋅ = − − +

ε

Elasticità parziale di A rispetto al prezzo di B (elasticità incrociata):

y x

y y

p p

x

p p

p x

x p

y

y

' 0 , 1 300 0 , 6 0 , 1

,

= ⋅ = − +

ε

I due beni sono succedanei in quanto

x '

p_x

< 0 ∩ x '

p_y

> 0