rivedere scoprire MATEMATICA EDIZIONE BIANCA PRESENTAZIONE per una SCUOLA INNOVATIVA

ESERCIZI SVOLTI AUTOVERIFICHE VERIFICHE SOMMATIVE ATTIVITÀ DI RECUPERO OBIETTIVO COMPETENZE MATEMATICA E REALTÀ ATTIVITÀ CONCLUSIVE INVALSI A

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LUCIANO SCAGLIANTI CLAUDIO DELLA TORRE GIANANDREA UBIALI

MATEMATICA

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MATEMATICA

MAT_ReS, rivedere… e scoprire, un nuovo corso di matematica che tiene conto delle recenti indi- cazioni ministeriali, e cerca di fornire, all’Insegnante, uno strumento utile per l’attività didattica e, agli studenti, uno strumento valido per una buona formazione matematica, culturale e tecnica.

La struttura di ogni unità didattica è così organizzata.

- Rivedere… e scoprire (Flipped Classroom): a partire dalle conoscenze già in suo possesso, lo studente viene sollecitato ad affrontare nuovi problemi che saranno lo spunto per lo studio dell’unità.

- Teoria: ogni concetto viene presentato con la massima cura e illustrato da opportuni e numerosi esempi. La materia è trattata in modo ordinato e scorrevole, facendo ricorso sovente anche a considerazioni intuitive, e intercalando punti di controllo, fi nestre storiche, richiami di con- cetti.

- Matematica inclusiva: intermezzo, per tutti gli studenti e in particolar modo per chi ne ha mag- giori necessità, che contiene un ripasso guidato, una mappa per visualizzare i concetti, l’es- senziale della teoria, cioè una breve e chiara esposizione dei concetti fondamentali, che lo studente deve conoscere (saperi minimi) e infi ne un insieme di esercizi specifi ci per questa tipologia di pagine.

- Esercizi: sono moltissimi e seguono per ogni argomento un percorso logico inerente alla teoria, sono graduati per diffi coltà e sono fi nalizzati all’acquisizione dei contenuti, al raggiungimento delle abilità operative, allo sviluppo delle capacità logico-deduttive e al conseguimento delle opportune competenze.

All’inizio di ogni gruppo di esercizi è proposta una scheda grafi camente evidente (“Ricorda”) dove vengono richiamati i concetti e le formule necessarie allo svolgimento degli esercizi.

Frequenti e numerosi sono gli esercizi risolti e gli esercizi e/o problemi di matematica e realtà.

Ogni unità prevede autoverifi che per controllare il livello di apprendimento.

- Attività conclusive, che prevedono poi anche: esercizi di riepilogo, verifi che sommative, attività di recupero, esercizi di ripasso e consolidamento e obiettivo competenze.

Il metodo didattico seguito nell’esposizione degli argomenti è deduttivo (anche se sostanzialmen- te sistematico) con molta attenzione all’aspetto didattico per quanto attiene lo sforzo di far scatu- rire “spontaneamente” le problematiche dello studente, toccando opportunamente un percorso di apprendimento.

L’impostazione grafi ca consente, grazie alla differenziazione di strutture e colori, l’individuazio- ne immediata di defi nizioni, teoremi, regole, osservazioni, esempi, richiami teorici, note stori- che, punti di controllo...

PRESENTAZIONE DELL'OPERA

Infi ne ad ogni volume è affi ancato un quaderno di attività strutturato con proposte in grado di esse- re un «aiuto», una «guida» per lo studente:

- per ripassare in proprio le nozioni fondamentali di Matematica;

- per sostenere lo studio;

- per colmare eventuali lacune.

Questo quaderno può costituire un effi cace strumento per l’attività di recupero e sostegno, come pure può essere utile per l’attività estiva.

Numerose sono poi le proposte del comparto multimediale, dove sempre maggiore attenzione vie- ne rivolta a queste ulteriori possibilità per elaborare una Didattica Digitale Integrata.

- TEST interattivi, con domande a risposta multipla e autocorrezione.

- Visualizziamo i CONCETTI, dove tutte le mappe concettuali sonoriproposte anche in formato dina- mico, lette e commentate da una voce TUTOR man mano che si completano per rappresentare l’argomento trattato.

- FORMULARIO, pratico strumento da tenere sempre in primo piano, per disporre rapidamente di tutte le informazioni utili allo studio, senza doverle cercare nel testo.

- NOTIZIE Storiche, approfondimenti storici e curiosità, da consultare e leggere, per ripercorrere il tempo con la matematica.

- VIDEOLEZIONI, esercizi che identifi cano l’argomento trattato, accompagnati da una voce TUTOR che ne analizza tutti i passaggi. Nello sviluppo dell’esercizio vengono affrontate le principali criticità, utili a migliorarne la comprensione.

- ESSENZIALE, tutte le sintesi vengono riproposte anche in formato audio per poter ripassare velo- cemente, o come differente metodologia didattica per presentare i nuovi argomenti.

- infi ne ONLINE, integrazioni, approfondimenti o completamenti di argomenti proposti.

Il corso è corredato da 2 Guide per l’Insegnante, una per il biennio e l’altra per il triennio, che con- tengono un Modulo introduttivo sulle fi nalità dell’insegnamento, gli obiettivi e i contenuti dell’ap- prendimento, le metodologie, la didattica, la valutazione e la programmazione e propongono, per ogni argomento, esercizi differenziati, utilizzabili anche come prove di verifi ca.

Inoltre, sia nelle Guide, sia in un fascicolo a parte viene presentata una didattica strutturata per

UDA e fi nalizzata all’acquisizione di ben determinate competenze.

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MATEMATICA

PIANO DELL'OPERA

Testi base

Volume 1

Insiemi e logica. Aritmetica. Calcolo letterale.

Algebra lineare. Geometria statistica.

Volume 2

Calcolo letterale e Algebra lineare (parte seconda). Calcolo in ℝ.

Retta e parabola. Geometria. Probabilità.

Volume 3/4 secondo biennio Geometria analitica. Esponenziali e logaritmi. Trigonometria e Statistica.

Analisi infi nitesimale. Calcolo combinatorio. Probabilità.

Volume 3/4 attività conclusive Volume 5

Calcolo integrale. Probabilità.

Volume Matematica fi nanziaria Appunti di matematica fi nanziaria.

Strumenti per la didattica

▶ Per l'insegnante:

Dalla parte del docente . Guida per l'insegnante (2 volumi).

▶ Per lo studente:

ReS , attività di recupero e sostegno (3 quaderni).

▶ Per lo studente:

UDA , Unità di apprendimento (4 fascicoli).

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1

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DA RICORDARE VERIFICHE VERIFICHE SOMMATIVE PENSIAMOCI SU INVALSI

BISOGNI EDUCATIVI SPECIALI BES ESSENZIALI SAPERI

3

MATEMATICA

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ATTIVITÀ

RECUPERO E SOSTEGNO

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2

MATEMATICA

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ATTIVITÀ

RECUPERO E SOSTEGNO

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1

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MATEMATICA

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ATTIVITÀ

RECUPERO

E SOSTEGNO

NUMERI NATURALI

2 2.2 Potenza dei numeri naturali

UNITÀ

Non si definisce la potenza a base zero ed esponente zero: il simbolo 0 ⁰ non ha significato.

Il fattore che si deve ripetere si chiama base della potenza, mentre il numero che indica quanti sono i fattori da ripetere si chiama esponente della potenza.

L’operazione con la quale si trova la potenza di un numero si chiama elevamento a potenza.

La seconda potenza di un numero si dice anche quadrato del numero.

La terza potenza di un numero si dice anche cubo del numero.

Casi particolari

▶Se la base è 0 , la potenza vale 0 , qualunque sia l’esponente, purché diverso da zero.

DEFINIZIONI esercizi p.79

Dati, nell’ordine, due numeri naturali a ed n si chiama potenza di base a ed esponenziale n il nu- mero naturale, che si indica con aⁿ, così determinato:

▪ se n > 1, il prodotto di n fattori uguali ad a, cioè:

▪ se n = 1, il numero a stesso, cioè:

▪ se n = 0 e a ≠ 0, il numero 1, cioè:

a ⁿ = a · a · a · ... · a 

n volte a ¹ = a a ⁰ = 1

72 base

esponente

2 5 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 ; 3 3 = 3 × 3 × 3 = 27 ; 5 2 = 5 × 5 = 25 ; 1 4 = 1 × 1 × 1 × 1 ; 0 ³ = 0 × 0 × 0 ; 10 ⁵ = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 100 000 . 9 ¹ = 9 ; 25 ¹ = 25 ; 0 ¹ = 0 ; 3 ⁰ = 1 ; 187 ⁰ = 1 ; 1 ⁰ = 1 .

Non confondere il quadra- to di un numero con il suo doppio, oppure il cubo di un numero con il suo triplo.

Ad esempio:

5 2 = 25 , mentre 5 · 2 = 10 ; 2 ³ = 8 ; mentre 2 · 3 = 6 .

ATTENZIONE

– 7 2 si legge: «sette alla seconda», oppure: «sette al quadrato»;

– 5 ³ si legge: «cinque alla terza», oppure: «cinque al cubo».

OGNI UNITÀ CONTIENE

Nella teoria

Flipped Classroom (Rivedere… e scoprire)

A partire dalle conoscenze già in possesso, lo stu- dente viene sollecitato ad aff rontare nuovi proble- mi che saranno lo spunto per lo studio dell’Unità.

Rivedere...

J Ricorda la problematica relativa alla sottrazione in ℕ e in ℚ a . 1 S ia in ℕ che in ℚ a non è sempre possibile eseguire la sottrazione, cioè dati due numeri

(naturali, o razionali assoluti) a e b non è sempre possibile trovare un numero x , tale che b + x = a .

Ad esempio:

se a = 5 __

3 e b = 3 __

4 , allora il numero x , tale che 3 __

4 + x = 5 __

3 è il numero 11 ___

12 . Invece, se b = 5 e a = 2 , allora non esiste, né in ℕ né in ℚ a , alcun numero x tale che 5 + x = 2 .

Rivedere ...e scoprire

Dopo aver studiato l’insieme ℕ dei numeri naturali e definite le operazioni fondamentali (addizione e moltiplicazione), abbiamo «ampliato» ℕ, costruendo, a partire dalle frazioni, l’insieme ℚ a dei numeri razionali assoluti.

Vogliamo ora rivedere le difficoltà relative alla sottrazione per poi scoprire come si possano superare queste difficoltà.

...e scoprire

J Spesso si presenta la necessità di dover tenere conto dell’uno e dell’altro dei due sensi (o versi) opposti nei quali possono variare alcune grandezze, come risulta dai seguenti esempi.

2 Conto alla rovescia (esempio di W.R. FUCHS)

Per addizionare due numeri naturali basta «contare» a partire dal primo numero tante unità UYERXIRIMRHMGEMPWIGSRHS1EGSQIrRSXSRSRrHMJ½GMPIGSRXEVIERGLIEPP´MRZIVWS2IP

tempo della missilistica questo modo di contare è diventato molto comune (FIG. 1)0EQEKKMSVTEVXIHMRSMLEGIVXEQIRXIZMWXSYR½PQ

o un telegiornale sul lancio di un missile, in cui i secondi sono contati EPP´MRHMIXVSTVIRHIRHSGSQITYRXSHMVMJIVMQIRXSPETEVXIR^EHIP

missile: ... cinque, quattro, tre, due, uno, zero!

Che cosa ci impedirebbe di proseguire con un simile modo di contare?

Si dovrebbe fare così: un secondo dopo la partenza, due secondi dopo la partenza, tre secondi dopo la partenza, e così via. È comodo, invece di:

un secondo dopo la partenza scrivere (− 1) ; due secondi dopo la partenza scrivere (− 2) ; tre secondi dopo la partenza scrivere (− 3) , ecc.

Questi nuovi enti matematici si chiamano numeri negativi. FIGURA 1 FLIPPED CLASSROOM

UNITÀ

156 NUMERI RELATIVI

4

1

FLIPPED CLASSROOM

2

FLIPPED CLASSROOM

MODULO A IL LINGUAGGIO DELLA MATEMATICA

▪

▪ liana.

talia la 2.

re in casi facili perazioni.

1 ...

2 ...

...

1 ...

2 ...

3 ...

...

1 ...

2 ...

3 ...

...

1 ...

2 ...

...

Unità Unità U Unità Unità Un 11111

INSIE INSIE INSIE INSIE NSIE N N MI MI MI MI M E E E E E E LOGI LOGI LOGI LOGI LOGICA OG CA CA CA A A

Unità Un Unità Unità Unità n 222

NUME NUME N NUME NUME UM UM UM UM U U N N NATUR NATUR ATUR ATU ATUR ATU ATUR ATUR ATUR ATUR TUR TUR TUR

R R

Ugo Nespolo, Paradosso algebrico.

Collezione privata.▶

MODULO

per ognir ognir ogni pe unitàunitàunitànità

TEST INTERATT TEST INTE TEST INTERATATIVTTTTIVVIIIVIVI FORMULAR FORMULAR FORMULARLARARIARIOARIOIIO

VISUALIZZIAMO VISUALIZZIAMO VISUALIZZIAMOALIZZALIZZALIZZALIZZLII I CONCETT I CO I COCETTICETTICETTICETTIEEE L'ESSENZIALE L'ESSENZIAL L'ESSENZIALELELEE

INSIEMI E LOGICA

4

1 1.1 Il linguaggio degli insiemi

UNITÀ

1

Viene proposto un breve ripasso della teoria degli insiemi che hai già studiato negli anni precedenti.

Una presentazione più approfondita dell’argomento potrai trovarla

In Matematica il concetto di insieme è sinonimo di collezione, clas- se, aggregato, raccolta, ...

La natura degli oggetti (cioè degli elementi) che formano un insieme non ha alcuna importanza. Quello che conta è che, dato un insieme, si possa con precisione dire se un dato elemento appartenga, o no, all’insieme.

1 Le lettere dell’alfabeto formano un insieme.

2 I numeri naturali formano un insieme.

▶Gli insiemi si indicano con lettere maiuscole:i A, B, C, ...

▶Gli elementi si indicano con lettere minuscole: i a, b, c, ..., x, y, ...yy

▶Per esprimere che a è un elemento dell’insieme A si scrive: a ∈ A , e si legge: «a appartiene all’insieme A»(FIG. 1.1).

▶Per esprimere invece che b non è elemento di A si scrive: b ∉ A , e si legge: «b non appartiene all’insieme A».

L’insieme vuoto si indica con il simbolo: ∅ e si legge «insieme vuoto».

Si chiama insieme singolo, o insieme unitario, un insieme formato da un solo elemento.

Esso si indica, ad esempio, con {a} e non va confuso con l’unico elemento a, che gli ap- partiene.

Si chiama coppia l’insieme formato da due elementi distinti.

La coppia formata dagli elementi a e b si può scrivere, indifferentemente:

{a, b},oppure {b, a}, perché, nel rappresentare un insieme, l’ordine non ha alcuna importanza.

TERMINOLOGIA

TERMINOLOGIA esercizi p.16

Non possiamo dire che è un insieme, ad esempio,

«l’insieme degli studenti sim- patici di una classe», perché non è stabilito un criterio in base al quale uno stu- dente è ritenuto simpatico.

ATTENZIONE

a A

b FIGURA 1.1

1 L’insieme degli uomini alti più di 7 metri è un insieme vuoto.

2 L’insieme dei numeri naturali minori di 1 è un insieme singolo, formato dal solo numero zero.

3 L’insieme dei numeri naturali uguali al proprio quadrato è una coppia, formata dai numeri 0 e 1.

121 CIRCONFERENZA

3.1

.1

MODULO A GEOMETRIA ANALITICA bRisolvendo il sistema:

{ x²+ yyy = 4²

√__

3x + y = 4ottieni:x²+ (4 −√__

3 x)²= 4 ⇒ x²+ 16 − 8√__

3 x + 3x²= 4 ⇒

⇒ 4x²− 8√__

3 x + 12 = 0 ⇒ x²− 2√__

3 x + 3 = 0 ⇒ (x −√__

3)²= 0 ⇒ x =√__

3.

L’equazione ha una soluzione (√__

3, 1); quindi la retta è tangente alla circonferenza nel punto T(√__

3, 1).

cRisolvendo il sistema:

{x²+ yyy = 4² 4x − 3y = 12ottieni:x2

+ (4x − 12_____

3)

2

= 4 ⇒ 9x²+ 16x²− 96x + 144 = 36 ⇒

⇒ 25x²− 96x + 108 = 0,

che non ha soluzioni (Δ < 0). Pertanto la retta è esterna alla circonferenza.

OSSERVACome puoi verificare, anche solo sulla figura, la distanza d del centro della circonfed - renza dalla retta è nel caso a: minore del raggio, nel casobuguale al raggio, nel caso c: maggio- re del raggio.

PUNTO DI CONTROLLO 1 La circonferenza x²+ yyy + 8x + 6y + 5 = 0 ha:²

C = (, )edr = .

2 Quale delle seguenti circonferenze passa per l’origine degli assi:

a.x²+ yyy − 4x + 2y − 1 = 0;² b.x²+ yyy − 6x − 2y = 0; ² c.x²+ yyy − 2x + 4x + 15 = 0.² 3 L’equazione x²yyy + 9 = 0 rappresenta una circonferenza?²

4 Le due circonferenze: x²+ yyy − 4x + 6y − 7 = 0 e (x − 2)^{2 2}+ ( y + 3)²= 4 sono concen- triche?

5 Quali delle seguenti equazioni non rappresentano circonferenze?

a.x²+ yyy − 2xy + 3x + 2y − 1 = 0;² b.x²+ 2yyy = 1;² c.x²+ yyy + 1 = 0.²

TANGENTI A UNA CIRCONFERENZAG U C CO

167 GLI INSIEMI ℤ E ℚ

4.1

.1

MODULO A IL LINGUAGGIO DELLA MATEMATICA

1 (+ __ 5 4 ) : (− 3 __ 2 ) = (+ 5 __ 4 ) · (− 2 __ 3 ) = − 10 ___

12 = − 5 __

6 .

2 (− 4) : (− 1 __ 3 ) = (− 4) · (− 3) = (+ 12) ; (+ 3) : (+ 3 __ 4 ) = (+ 3) · (+ __ 4 3 ) = (+ 4) . 3 a : a = a · 1 __

a = + 1 ; a : (− a)= a · (− 1 __ a ) = − 1 . 4 a : (+ 1) = a ; a : (− 1) = − a ; 0 : a = 0(a ≠ 0) ; a : 0 = ? .

PUNTO DI CONTROLLO 1 Esegui, se possibile, le seguenti divisioni.

a. (− 3 __ 4 ) : (− 4 __ 3 ) ; 0 : (− 2 __ 3 ) ; (+ 2 __ 3 ) : 0 . b. (− 8) : (− 4) : (− 2) ; [(− 8) : (− 4)] : (− 2) ; (− 8) : [(− 4) : (− 2)] .

c.

− 7 ___

12 ____

− 12 ___ 5 ; 107 ___ 5 _____

− 107 ___ 7 ; 15 ___ 7 ____

− 15 ___ 3 ; d. (ab + ac) : a ; (abc) : b ; (abcd) : (ad) . 2 Calcola.

a. (− 5 + 1 __ 3 ) : (− 2 + 1 __ 2 ) + ___ 15 − ( 2 __ 1 3 − 2) : (− 5) ;

b. {− 2 + 1 __

2 · [^{− 3 + 1 __} 2 · (− 3 __

4 · (− 6) − 1 __ 8 ) ] } · (− 2 + __ 1 3 ) − 7 __

6 .

I NUMERI RELATIVI Il termine positivo deriva dal tardo latino:

positivus = ritenuto certo, reale.

I numeri negativi sono stati uno scoglio nella storia della Matematica: ci sono voluti secoli per concepirli e secoli per accettarli.

Durante questo lungo cammino, le quantità negative furono interpretate come quantità

«mancanti», «minori di zero», «in meno», interpretazione che conferiva alle quantità reali di essere «maggiori di zero», «in più».

Il primo che ha dato un significato geometrico ai numeri negativi è stato A.

GIRARD: «La soluzione con il meno si spiega in Geometria retrocedendo, il meno torna indietro là dove il + avanza».

S. BARUK

LA REGOLA DEI SEGNI La regola dei segni, soprattutto il caso − per − fa + , potrebbe sorprenderci.

La sorpresa appare più che legittima se si pensa che, quando i numeri negativi comparvero in Europa durante il Rinascimento, essi furono accolti con molta diffidenza e l’ostilità durò fino a verso la fine del sec. XVIII, specialmente per lo scandalo suscitato dall’oscurità che è alla base di questa «regola dei segni». Gli stessi nomi che nel Cinquecento venivano attribuiti ai numeri negativi rivelano il sospetto con cui erano considerati: CARDANO li diceva «numeri finti» e lo STIEFEL «numeri assurdi», mentre un matematico sommo come F. VIÈTE (1540- 1603) pensava ancora di poterli escludere sistematicamente dalla scienza.

3 L’ascensore

5YEPIWMKRM½GEXSWMHIZIHEVIEMHMJJIVIRXMXEWXMHIPGSQERHSHMYREWGIRWSVI#(FIG. 2) (+ 2)WMKRM½GE  (− 2)WMKRM½GE

Altri problemi non completamente risolubili con i numeri assoluti 4 Per misurare l’altitudine di una località terrestre, è necessario considerare un punto di

riferimento, che in genere è il livello del mare e stabilire di quanto quella località si trova al di sopra o al di sotto del punto di riferimento.

Ad esempio:

la cima del monte Rosa è a 4633 m sopra il livello del mare;

 PEWYTIV½GMIHIP1EV'EWTMSrE26 m sotto il livello del mare.

Disegna una retta orientata nella quale allo zero corrisponde il livello del mare ed individua su XEPIVIXXEMTYRXMGLIVETTVIWIRXERSPEGMQEHIPQSRXI6SWEIPEWYTIV½GMIHIP1EV'EWTMS

5 Per misurare una temperaturarRIGIWWEVMS½WWEVIYRTYRXSHMVMJIVMQIRXSlo zero), WSPMXEQIRXIPEXIQTIVEXYVEHIPKLMEGGMSJSRHIRXIEPPETVIWWMSRIHMYR´EXQSWJIVEIWXEFMPMVI

quanto la temperatura in esame è al di sopra o al di sotto del punto di riferimento.

Ad esempio:

in una certa giornata invernale diremo che la temperatura massima è stata di 7° C sopra lo zero e la minima di 2° C sotto lo zero.

9XMPM^^ERHSPISTIVE^MSRMGSRMRYQIVMVIPEXMZMWGVMZMP´IWTVIWWMSRITIVGEPGSPEVIHMUYERXSr

variata la temperatura in tale giornata.

6 Un ciclista inizia il suo allenamento giornaliero partendo dalla sua casa in montagna, posta ad YR´EPXMXYHMRIHM1230 m. Salendo di 648 mVEKKMYRKIYRVMJYKMSH´EPXEQSRXEKRE

Dopo una pausa riparte verso un valico, la cui altitudine è di 897 m inferiore rispetto a quella del rifugio.

A quale altitudine si trova il valico?

FIGURA 2

In conclusione:

queste situazioni pratiche suggeriscono di costruire gli insiemi ℤ e ℚ nei quali sarà sempre possibile la sottrazione.

«Come riguardo alle cose terrene, possia- mo dire che i possedimenti sono beni po- sitivi e i debiti beni negativi, nello stesso modo i numeri possono essere positivi o negativi, cioè maggiori o minori di zero».

I. Newton

Q. Metsys, IL CAMBIAVALUTE E SUA MOGLIE (1514) (LOUVRE).

MODULO A IL LINGUAGGIO DELLA MATEMATICA 157

Prerequisiti e obiettivi

▶ Di che si tratta

▶ I punti d’appoggio

Nozioni essenziali

Ogni concetto viene presentato con la massima cura, in forma sintetica e semplifi cata, illustrato da opportuni e numerosi esempi , facendo ricor- so sovente anche a considerazioni intuitive inter- calando punti di controllo , fi nestre storiche e

richiami di concetti.

NGUAGGIO L

LLA MATEMATIC IO ATICA

▪DII CCHE SI TRATTA

— Saappere utilizzare coorreettamente il llinguaggio della mmattematica.

—CoCononnoscere le tecnichheno e e le ure di calcoloo ee saperle proocedure d

i probleemmi concreti.

appplicare nei pr

—Pennsare con chiaarearezzzaa e loogicamente.

▪I PUUNTI D’APPOOGGIOO

—Connoscenza della linggua itall

—Connoscenza della tavoola pitaagorica da 1 aa 12

—Sappere utilizzaree i le qquattro ope

1.1Il linnguaggio deglo deli insiemisiemisiem...444 1.2Elememmenti m di ragionamento looogggico...1000 attivitàà conclusive...2222

2.1Connfrontoe operaazioni in ℕ...

2.2Pottenza ddei numeeri naturali...

2.3Divisibillità. Numeitàt eri primi...

attivitàà conclusivnc e...

3.1FrazFzionin...

3.2Frazzioni ne numerii decimaa 3.3RapRpporti rte proporzion attivitàà conclusive

4.1Gli insie 4.2Pott attiv 222

E ER ER ER R ER E I I I UR R R UR R R R R R R RALI A ALI ALI ALI A LI

Uni Un Uni Uni Unità ità tà 3333

NU NU UME UMER UMER UMER UME N NU U NUM UM I I I RAZIO RAZIO RAZIO AZI AZIO O O RA RAZ O ON NALI NALI NALI NALI ALI

ASS ASS ASS ASS ASSOL OL OL O A A OL OLUTI U U UTI UTI T

Unità Unità Unità Unità Unità4444

NU NUMER UMER UME UME UMER R NU N NU UM N N I I I REL REL REL EL LAT LAT LAT LAT LAT REL RELA EL LAT L IVI IVI IVI IVI IVI

io

2

....76

...80

...114

...122

vo...132

...174

22 ...28

...35

...38

...64

...72 maalialli...

ioni...

e...

siemmi ℤe ℚ...

otenza di un numemero rellativoo tività connclusive...

▪ DI CHE SI TRATTA

— Sapere utilizzare correttamente il linguaggio della matematica.

— Conoscere le tecniche e le Cono ure di calcolo e saperle procedure d

i problemi concreti.

applicare nei pr

— Pensare con chiare arezza e logicamente.

▪ I PUNTI D’APPOGGIO

— Conoscenza della lingua italia liana.

— Conoscenza della tavola pitagorica da 1 a 12.

— Sapere utilizzare in casi facili le quattro operazioni.

nozioni essenziali punti di controllo

finestre storiche

richiami di teoria

8) : [(− 4) : (− 2)].

(abcdd):(ad).

((2+ 1__

2 )+ ____2 155 −(__1

3 −22): (− 5);

+11___

2 2·[^−−3++1__2· ((−3___

4 ·(−−6)−1__

8 )]}· (− 2 +__1 3)7

I NUUMMEERI RREELAATIVIIII Il terrmine positiivo deeriva ddal tarrdo lattino:

posittivus==ritennuto ccerto, reale.

I nummeri nnegativvi sonno statti uno scogliio nellaa storiiadellla Mattemattica: ci i sono volutti secooli per conceepirli ee secooli per r accetttarli.

Duraante quuesto lungoo cammmino, le quaantitàà negaative fuurono o interppretatte comme quaantità

«manncantii», «mminori di zeero», «iin menno», interrpretazzione che cconferriva allle quaantità realii di esssere «mmaggiiori ddi zero»», «in più»..

Il pririmo chhe ha dato un siggnificaato geommetricoo ai nuumerii negaativi è sstato AA.

GIRAARD G

G : «Laa soluuzionee con iil menno si sppiegaa in Geeomettria retroceddendoo, il meeno toorna indieetro làà dovee il +aavan

i vano attttribuiti tivi rivelanoo il sospetto ccon cui no consideerati: CARDANOOCC O li diceva «nnumeri fifinti» e lo STIEEFEL«Lnumeri aassurdi», meentre u

un matematicco sommo commeF. VIÈTEVVE (11540- 1

1603) pensavaa ancora di pooterli escldd ssistematicam

3)−7__

6.

LA REGOLA DEI SEEGNIGNI Laa regola dei segni, soprattutto il caso − per − fa +, potrebbe sorprenderci.

Laa sorpresa appare più che legittiima se si pensa chhe, quando i numeri negativi commparvero in Euuropa durante il Rinascimento, eessi furono acccolti con molta diffidenza e l’osstilità durò finno a verso la fine del sec. XVIII, specialmente peer lo scandalo suscitato dall’osccurità che è allla base di questa «regola dei seggni». Gli stessi noomi che nel Cinquecentovenivanno attrib ai numeri negativi rivelano erarano consid

I NUMERI RELATIVI

Il termine positivo deriva dal tardo latino:

positivus = ritenuto certo, reale.

I numeri negativi sono stati uno scoglio nella storia della Matematica: ci sono voluti secoli per concepirli e secoli per accettarli.

Durante questo lungo cammino, le quantità negative furono interpretate come quantità

«mancanti», «minori di zero», «in meno», interpretazione che conferiva alle quantità reali di essere «maggiori di zero», «in più».

Il primo che ha dato un significato geometrico ai numeri negativi è stato A.

G

IRARD

: «La soluzione con il meno si spiega in Geometria retrocedendo, il meno torna indietro là dove il + avanza».

S. B

ARUK

dicca

Non confondere e il quadra- to di unn numero con il suo doppio,, oppure il ccubo di un numerro con il suuo triplo.

Ad eseempio:

5 2 =225, mentre

5·2==10;

23=88;

2·3==6 ATTENZIONETTENZIONE

Non confondere il quadra- to di un numero con il suo doppio, oppure il cubo di un numero con il suo triplo.

Ad esempio:

5

²

= 25 , mentre 5 · 2 = 10 ; 2

³

= 8 ; mentre 2 · 3 = 6 .

ATTENZIONE

Didattica inclusiva

Intermezzo che ha lo scopo di permettere a tutti gli studenti di

raggiungere gli obiettivi minimi di apprendimento e realizzato in font ad alta leggibilità.

Contiene: un ripasso guidato , una mappa per visualizzare i concetti , l’ essenziale della teoria, cioè una breve e chiara esposizione che lo studente deve conoscere ( saperi minimi ) e infi ne un insieme di esercizi proposti molto facili ( prova subito ).

OGNI UNITÀ CONTIENE

12 INSIEMI E LOGICA

UNITÀ

1

IN T E R M E Z Z O

1 Insiemi e deduzione logica

La natura degli elementi di un insieme non ha alcuna importanza. Quello che conta è che, dato un insieme, si possa con dire se un dato elemento o no, all’insieme.

Indicheremo:

▶gli insiemi con lettere : ;

▶gli elementi con lettere : .

La scrittura:

▶a ∈ A significa che l’elemento a all’insieme A;

▶in caso contrario si scrive: a A.

Nella teoria degli insiemi sono usati tre tipi di rappresentazioni:

▶tabulare, cioè ,

▶grafica, cioè ,

▶caratteristica, cioè .

Completa

– La rappresentazione delle lettere della parola «maremma» è:

{m, , , } ^ma r

e {x | x è una lettera }.

– Un sottoinsieme A dell’insieme B = {2, 4, 6, 8} è A = { }.

Dati due insiemi A e B, se ogni elemento di B è anche elemento diB A, si dice che

B , o , in A od anche che è un di A. Si scrive: B A.

Alcune operazioni tra insiemi sono:

▶Intersezione: A ∩ B = {x |x x ∈ A x ∈ B}BB . Completa A = {1, 2, 3}; B = {3, 4, 5, 6}; A ∩ B = { }.

▶Unione: A ∪ B = {x |x x ∈ A x ∈ B}BB .

Completa A ∪ B = {1, , , 4, , }.

▶Differenza complementare: _ A

= E − A = {x |x x ∈ E e x A}, con A E.

Completa Se E = {a, b, c}c e A = {a}, allora E - A = {{ , }.

▶Prodotto cartesiano: A × B = {(x, y) | yy x ∈ e y ∈ }.

DEDUZIONE LOGICA:

è una proposizione in cui a una premessa p vera si associa sempre una conseguenza q vera.

Se p e q sono vere allora p ⇒ q è una deduzione logica.

DIMOSTRAZIONE:

è una successione di passaggi logici che ci permette di dedurre latesi a partire dall’ipotesi.

certezza appartiene

maiuscole A, B, C, ...

minuscole a, b, c, ...

appartiene

∉

elencando gli elementi mediante un diagramma

indicando la proprietà che accomuna tutti e soli gli elementi dell’insieme

a rr e della parola «maremma»

2, 4, 8

è contenuto incluso sottoinsieme ⊆

e 3

o

2 3 5 6

∉ ⊂

b c

A B

Ripasso guidato

ripasso più dettagliato

13

I N T E R M E Z Z O

IN T E R M E Z Z O

MODULO A IL LINGUAGGIO DELLA MATEMATICA

1

1.1

OPERAZIONI CON GLI INSIEMI LOGICA È LA PARTE DELLA MATEMATICA CHE OPERA CON LE PROPOSIZIONI p, q, r, ...

DEDUZIONE LOGICA SE ... ALLORA

p ⇒ q

OPERAZIONI LOGICHE (ONLINE)

1.2

NEGAZIONE ¬O − _p

V F

F V

CONGIUNZIONE p qp e q

V V V

V F F

F V F

F F F

p E q È VERA SE p È VERA Eq È VERA

DISGIUNZIONE p qp o q

V V V

V F V

F V V

F F F

p O q È VERA SE p È VERA Oq È VERA O TUTTE DUE SONO VERE DIFFERENZA COMPLEMENTARE

E − A: FORMATO DAGLI ELEMENTI DI E MA NON DI E A

PRODOTTO CARTESIANO

A B

a b

A × B: FORMATO DALLE COPPIE ORDINATE (a, b) CON a ∈ A E b ∈ B UNIONE

A B

A 艛 B A ∪ B: FORMATO DA ELEMENTI DI AOBO DI TUTTI E DUE

INTERSEZIONE

A B

A 傽傽 B A ∩ B: FORMATO DA ELEMENTI COMUNI AD AEA B

Visualizziamo i concetti dell’Unità 1

TEORIA DEGLI INSIEMI È LA PARTE DELLA MATEMATICA CHE OPERA CON GLI INSIEMI A, B, C, ...

SOTTOINSIEMI A ⊂ B: SE UN ELEMENTO APPARTIENE AD AALLORA APPARTIENE ANCHE A B

n l i n e

nn Formulario

14 INSIEMI E LOGICA UNITÀ

1

IN T E R M E Z Z O

INSIEMI

Il termine INSIEME è sinonimo di collezione, classe, raccolta, ...

Gli insiemi si indicano con lettere maiuscole: A, B, C, ...CC Gli oggetti che formano un insieme si dicono ELEMENTI e si indicano con lettere minuscole. La scrittura(FIG. 1a):

▶a ∈ A significa che l’elemento a APPARTIENE all’insieme A.

▶b ∉ A significa che l’elemento b NON APPARTIENE all’insieme A.

▶A ⊆ B significa che TUTTI gli elementi diB A appartengono anche a B(FIG. 1b).

Un insieme, ad esempio l’insieme dei numeri naturali 1, 2, 3, 4, si può rappresentare:

▶con L’ELENCO dei suoi elementi: {1, 2, 3, 4}.

▶Con una rappresentazione GRAFICA: ¹ 2

3 4

▶Con una rappresentazione CARATTERISTICA: {x |x x ∈ ℕ e 0 < x < 5}.

OPERAZIONI CON GLI INSIEMI

▶INTERSEZIONE: è l’insieme che si ottiene prendendo solo gli elementi comuni a due insiemi A e B. Per indicarla si usa il simbolo ∩ che si legge «intersezione» e si scrive: A ∩ B.

▶UNIONE: è l’insieme che si ottiene prendendo tutti gli elementi di due insiemi A e B senza ripetere quelli cheB sono comuni. Per indicarla si usa il simbolo ∪ che si legge «unione» e si scrive: A ∪ B.

▶COMPLEMENTARE: la differenza tra un insieme E = {a, b, c}c e un suo sottoinsieme A = {a} si ottiene prendendo tutti gli elementi di E che non sono inE A. Per indicarla si usa il simbolo − che si legge «meno» e si scrive E − A (oppure_

A ) tale differenza si chiamainsieme complementare di A rispetto all’insieme E.

DEDUZIONE LOGICA Alcuni simboli importanti e utili:

⇒: se ... allora; ∀: per ogni...;

∃: esiste...; ∃!: esiste uno e un solo...

FIGURA 1 b

a A

a) AB

b)

3 33 1

2 2

4 4 5 5 6 6

A A 艚 B B

3 1 1 2 2

4 5 65 6

A A 艛 B B

bc E

E – A Aa

L’essenziale

^{n l i n enn} L’essenziale

1 Insiemi e deduzione logica

15

I N T E R M E Z Z O

IN T E R M E Z Z O

MODULO A IL LINGUAGGIO DELLA MATEMATICA

1

PROVA SUBITO

1Scrivi la rappresentazione per elencazione e caratteristica dell’insieme A(FIG. 2).

2Disegna il diagramma diEULERO-VENN dell’insieme:

B = {x |x x è una cifra del numero 120 231}.

3I sottoinsiemi propri dell’insieme A = {1, 2, 3, 4} sono:

B = {2, 3}; D = {1, 2, 3, 5}; F = {∅}.

C = {1, 3, 4}; E = {1};

4Dati gli insiemi: A = {5, 10, 15, 20} e B = {2, 4, 6, 8, 10} determina:

A ∩ B e B A ∪ B.

5Dati gli insiemi:

A = {x |x x lettera della parola calcio} B = {x |x x lettera della parola molla}

a)completa la rappresentazione del diagramma diEULERO-VENN(FIG. 3);

b)colora l’insieme C = A ∩ B;

c)rappresenta per elencazione l’insieme C = A ∩ B.

6Colora(FIGG. 4; 5)

a)l’insieme A ∩ B; b)l’insieme A ∪ B.

A B FIGURA 4

A B

FIGURA 5 7Dopo avere rappresentato con un diagramma diEULERO-VENN

gli insiemi:

A = {x | x x lettera della parola gallo} B = {x | x x lettera della parola regalo}

individua gli insiemi C = A ∩ B e B D = A ∪ B.

8Scrivi in forma simbolica:

«Se x è maggiore dix 2, allora x² è maggiore di 4».

FIGURA 2 A

0

1 2

3

A B

c ... ...

...

a...

i l

o m

FIGURA 3

Ti consiglio di fare gli esercizi indicati dall’insegnante che trovi nelle pagine seguenti.

[A = {0, 1, 2, 3}; A = {x/x è un numero naturale minore di 4x }]

[A ∩ B = {10}; A ∪ B = {2, 4, 5, 6, 8, 10, 15, 20}]

[C = A ∩ B = {a, l, o}]

[C = A ∩ B = {g, a, l, o}; D = A ∪ B = {r, e, g, a, l, o}]

[x > 2 ⇒ x2> 4]

B0 1

2 3

r A

e g loa

ripasso guidato visualizziamo i concetti

l'essenziale

richiami di teoria l'essenziale

prova subito

Negli esercizi

Gli esercizi sono moltissimi e seguono per ogni argomento un percorso logico inerente la teoria.

Sono graduati per diffi coltà e sono fi nalizzati all’acquisizione dei contenuti e al raggiungimento delle abilità operative.

All’inizio di ogni gruppo di esercizi è proposta una scheda grafi camente evidente ( Ricorda ) dove vengono richiamati i concetti e le formule necessarie allo svolgimento degli esercizi.

Frequenti e numerosi sono gli esercizi svolti e gli esercizi e/o problemi applicativi, in particolare Matematica e realtà .

Ogni Unità prevede autoverifi che per controllare i livelli di apprendimento.

OGNI UNITÀ CONTIENE

16 INSIEMI E LOGICA UNITÀ

1

ES E R C IZ I

1

INSIEMI E LORO RAPPRESENTAZIONIS O O S O

1. Scrivi la rappresentazione tabulare dell’insieme:

a. delle consonanti che seguono la «a» e precedono la «b»;

b. dei mesi dell’anno che contengono la «r»;rr c. dei giorni della settimana che terminano con la vocale «e»;

d. dei numeri naturali minori di 6;

e. dei numeri naturali maggiori di 8 e minori di 10;

f. dei numeri naturali non minori di 5 e non maggiori di 7.

2. Fra i seguenti insiemi, quale è vuoto e quale è unitario?

a. I = {x | x ∈ ℕ, 3 < x < 4}. b.I = {x | x ∈ ℕ, 3 < x ≤ 4}.

Sostituisci ai puntini un simbolo appropriato da scegliere fra ∈ e ⊆.

3. x {x, y, z}z ; {x}x {x, y, z}z ; {2, 3} {8 : 2, 9 : 3, 10 : 5}; ∅{1, 2, 3}.

4. 1 {x | x ∈ ℕ; x ≤ 10}; {1} {x | x ∈ ℕ; x < 3}.

5. Dato l’insieme A= {1, 2, 3}, indica quali delle seguenti affermazioni sono vere, quali false e quali sono scritte in modo errato:

1 ∈ A; 2 ∈ A; 3 ⊂ A; {1, 2, 3} ⊂ A; {1} ∈ A; ∅ ⊂ A; ∅ ∈ A.

6. Siano dati gli insiemi: A= {a, b, c, d }; B = {a, b}; C = {c}c .

Dire quali delle seguenti affermazioni sonovere, quali false e quali sono scritte in modo errato:

B ∈ A; B ⊂ A; {a, b} ∈ A; a ⊂ A; {a} ⊆ A.

Teoria p. 4 e 5

INSIEMI E LORO RAPPRESENTAZIONI

ricorda

a ∈ A; b ∉ A B ⊆ A C = coppia D = singolo E = insieme vuoto

L’insieme formato dai numeri 1, 2, 3 ha le seguenti RAPPRESENTAZIONI:

{1, 2, 3} {x | x ∈ ℕ e 0 < x < 4}

A B

E

C D

a b

1 2

3

per elencazione grafica caratteristica

1.1 Il linguaggio degli insiemi

n l i n e nn Test interattivi

ricorda

241

E S E R C I Z I 5.3

MODULO B CALCOLO LETTERALE

..3 3

272.Due triangoli isosceli hanno la stessa base che misura 3x e giacciono dalla stessa parte rispetto alla x base.

Il primo triangolo ha l’altezza che misura i5_

3della base, mentre il secondo triangolo ha l’altezza tripla dell’altezza del primo. Calcola l’area della figura compresa tra i lati obliqui dei due triangoli.3

[15 x 2 ] 273.Un rettangolo ha base e altezza che misurano, rispettivamente, 3a e 5b.

a.Calcola perimetro e area del rettangolo.

b.Se la base aumenta di 2a e l’altezza diminuisce di 2b come risulta l’area del nuovo rettangolo rispet- to al primo?

c.Se la base aumenta di 3a e l’altezza diminuisce di 3b come risulta l’area del nuovo rettangolo rispet- to al primo? [a. 6a + 10b = 15ab; b. è la stessa; c. è più piccola: 12ab]

274. Le aree di tre rettangoli di ugual base sono, in m², 80, 50, 20. Sapendo che la somma delle altezze è 30 m, trova «rapidamente» la misura, in metri, della base comune. [5]

B

A C

x – x 3

x + x 3 x 275.Sapendo che x> 3, dimostra che il lato BC del triangolo C ABC(FIG. 5.2)è

sempre uguale a un terzo del perimetro.

FIGURA 5.2

2x x

2 2 2

FIGURA 5.3 276. a.Esprimi in funzione di x il perimetro dellax FIGURA 5.3.

b.Trova la x in modo che questo perimetro sia uguale ax 18 cm.

c.Esprimi in funzione di x l’area della figura.x d.Trova la x in modo che questa area sia uguale a x 20 cm².

[a. 6x + 12; b. x = 1; c. 10x; d. x = 2]

277. Due quadrati hanno aree espresse, rispettivamente, dai monomi 16 x⁸yyy e 64 x^{6 6}yyy (x > 0 e y > 0). Cal-⁴ cola il rapporto tra le loro aree e tra i loro perimetri. [ ^_14x ²y ²; ¹_

2 xy]

FIGURA 5.4 278.Nel triangolo della FIGURA 5.4 è inserito un quadrato. Sapendo che la base del trian- golo misura 6x, l’altezza misura 8x e la parte esterna al quadrato e interna al trianx - golo è di 20 x², calcola il perimetro del quadrato. [8x]

FIGURA 5.5 279.Nel rombo dellaFIGURA 5.5è inserito un rettangolo, somma di due quadrati.

Sapendo che le diagonali del rombo misurano, rispettivamente, 6x ex10x e la x parte esterna al rettangolo e interna al rombo è di 22 x², calcola il perimetro del

rettangolo. [12x]

matematica e geometria

227

E S E R C I Z I 5.3

MODULO B CALCOLO LETTERALE

..3 3

Prodotto di monomi ESERCIZI SVOLTI

e

^GUIDATI

Calcola i seguenti prodotti seguendo il percorso indicato.

1. − 2 a²· (− 5a b²) = (−) · (−) · 2 · 5 ·a²· a · b²= + 10 a³b².

= + 10 a³ b²

4.+10__

3b ·(^+_95a²b²) ^{= ( ) · (} ) · ___ · ___ · a²· · b²=

= + 6 a² b³

2.+1_

4a²·(^−4_5ab) = (+) · (−) ·1_ 4·4_

5· a²· a · b = −1_ 5a³b.

= - 1_

5 a³ b

3.−5_

6x²· y²(^+__10³x²y) = (−) · (+) ·5_ 6·__3

10· x²· x²· y²· y = −1_ 4x⁴y³.

=

5. (^−_23a²c)^{· (+ 9a b3)}(^−1_8b²cy) ⁼(^−2_3)^{(+ 9)}(^−1_8)^{· a2+1b3+2c1+1y = +_3}4a³b⁵c²y.

Calcola i prodotti indicati, poi riduci i termini simili.

6. − 3b(^+1_4b)^{+ a}(^−1_2a b²)^{− 10 a2b}(^−1_5b)^{= −3_}4−1_

2+ 2= ( )  − =−

7. x² (^+1_2y²

)^{(− 8z) +3_}5xy(10xy)(−yy z) − 3 x² (^−1_3yz

)^{(− y)yy =}

= − 4 − x²y²z − = (− 4 − ) = .

8. 2 a³b²(^−1_4c³)^{+ a3}(^5_2b²)(^−__10¹c³)^{+ 9 a3b3}(^−1_6c³)⁼

= −1_

2a³b²c³− − =(^−_12− ) ^{− = − .}

calcola il prodotto dei coefficienti somma gli

esponenti di ciascuna lettera

Calcola il prodotto dei seguenti monomi.

99. − 1 · (+ 2x); − 2x · (+ 2a). [− 2x; − 4ax ]

100.− 2a · (− 3 a²); + 3x · (− xy)yy . [+ 6 a ³; − 3 x ² y ] 101.3ax · (+ 5a x²); − 9 x²y z³· (− 6 y⁵). [+ 15 a ²x ³; + 54 x ²y ⁶z ³]

esercizi svolti

304 POLINOMI UNITÀ

6

ES E R C IZ I 6

1. Al reparto bibite di un supermercato c’è questa offerta: per ogni bottiglia di succo di frutta da un litro, di quasiasi marca, c’è lo sconto di € 0,20.

Se x è il prezzo (in euro) di una bottiglia scelta, qual è il prezzo scontato se compro cinque bottiglie x

dello stesso tipo. [5x − 1]

2. A un concorso partecipano x candidati. x Alla prima prova viene eliminato il 45% dei candidati.

Alla seconda prova viene eliminato il 20% dei rimanenti.

Esprimi con un polinomio il numero dei candidati che hanno superato il concorso.

Sapendo che i candidati all’inizio del concorso erano 300, quanti hanno vinto il concorso?

[^{x − 14 ___} 25 x; 132] 3. (x − 7) km/h. Esprimere in funzione di x lo spazio percorso dopo x

(2x − 18) ore. [(2 x ² − 32x + 126) km, con x > 9]

4. Un commerciante ha acquistato (x − 2) articoli al prezzo di (42x + 100) ciascuno, (x − 3) articoli al prezzo di (20x − 100) ciascuno e (x − 1) articoli al prezzo di (25x + 50) ciascuno.

Esprimere, in funzione di x, la somma totale pagata. [(87 x ² − 119x + 50), con x > 5]

5. In una gara di tiro a segno sono previsti 15 tiri. Si guadagnano 4 punti se si colpisce la zona rossa, 2 punti se si colpisce la zona verde, 0 punti per la zona gialla (FIG. 6.23).

a. Il giocatore A ha colpito x volte la zona rossa ex y volte la zona gialla e la zona verde per i rimanenti tiri.

b. Il giocatore B ha colpitoB x volte la zona verde,x y volte la zona gialla e la zona rossa per i rimanenti tiri.

Esprimi in funzione di x ex y il punteggio dei due giocatori.y [a. 2x − 2y + 30; b. 60 − 2x − 4y]

6. In un parcheggio ci sono 50 veicoli: moto, auto e camion a sei ruote.

Sapendo che le auto sono x, le moto y, esprimi in funzione di yy x ex y il numero totale delle ruote nely

parcheggio. [300 − 2x − 4y]

7. Rompicapo nel cosmo

«Noi sappiamo che la distanza AB è di B 200 000 km, ma il problema è di trovare l’area dell’anello» dice il capitano Quark (FIG. 6.24).

«Non è che ci sia bisogno per questo di conoscere i raggi delle circonferenze esterne e interne?» interroga il luogotenente Flarp. «Non è necessario», rispon- de il capitano.

Come procedere?

[Siano r ed R i raggi delle due circonferenze (r < R), O il centro delle circonferenze è I il punto medio di AB. Utilizzando il teorema di Pitagora, si ha _

IB 2 = R 2 − r 2 . Poiché l’area della corona circolare è  = ... e che _

IB = ..., risulta  = π ‾ _____ AB 2 4 .] FIGURA 6.23

FIGURA 6.24 A

B

MATEMATICA E REALTÀ

matematica e realtà

419

E S E R C I Z I 9

MODULO C ALGEBRA LINEARE. FUNZIONI E GRAFICI Equazioni equivalenti

Riconosci quali delle seguenti coppie di equazioni sono equivalenti.

15. a.x − 6 = 2, 4x − 24 = 8; b.5x − 3 = 18, 5x − 3 + 2 = 18.

16. a.− 6 = 7x + 8, − 6 + 2x = 7x + 8; b.3x + 3__

4=__3 4, − 3x + 6 = + 6.

17. Vero o falso a. − 3x +1__

4= − x è equivalente a 3x − 1__

4= x; VF

b. − 15x + 17 =1__

2x − 1 è equivalente a 15x − 17 = 1__

2x − 1; VF

c. 30x − 1__

4= 15x +1__

4 è equivalente a 30x + 1__

4= 15x −1__

4; VF

d. −24__

7x + 5__

14= −__1 14+__1

2x è equivalente a 24__

7x − 5__

14= −1__

2x + 1__

14. VF

Applicazione dei principi di equivalenza 18. I seguenti enunciati non sono corretti.

Individua gli errori (o i termini mancanti) e riscrivili in modo corretto:

a. se si moltiplicano o si dividono entrambi i membri di un’equazione per uno stesso numero, si ottiene un’equazione equivalente a quella data;

b. se ai due membri di un’equazione si addiziona o si sottrae un numero, o una stessa espressione, si ottiene un’equazione equivalente a quella data.

19. Se ai due membri dell’equazione:

5x + 3 = 2x − 5 addizioni il numero − 3, ottieni l’equazione:

5x = 2x − 8.

Le due equazioni sono equivalenti? Se sì, per quale principio?

Scrivi, in ogni caso, due equazioni equivalenti a ciascuna di quelle date, applicando il 1° principio di equivalenza.

20. a.10x − 6 = 4x; b.8x − 16 = 4x; c.15 + 7x = − 8x; d.10 − 5x = − x − 6.

Scrivi, in ogni caso, due equazioni equivalenti a ciascuna di quelle date, applicando il 2° principio di equivalenza.

Data l’equazione 3x + 1 = 5x − 5,

puoi addizionare ad entrambi i membri lo stesso numero, ad esempio + 3; si ha:

3x + 1 + 3 = 5x − 5 + 3, da cui: 3x + 4 = 5x − 2.

◀ Esempio

Data l’equazione 6x − 18 = 12x − 30, puoi dividere entrambi i membri per 6; si ha:

6x − 18 _____

6 =12x − 30______

6 , da cui: x − 3 = 2x − 5.

◀ Esempio

esercizi proposti

524

AU TO VE R IF IC A 12 .1

APPUNTI DI GEOMETRIA

12

UNITÀ

12

esercizio 1 2 3 4 5 6

punteggio

SUFFICIENZA: 7 punti VALUTAZIONE

VALUTAZIONE TROVI I TROVI I RISULTATIRISULTATIA PAGINAA PAGINA559559 TOTALE: / 12 PUNTI 1. NellaFIGURA 1individua quante sono le rette, le se-

mirette, i segmenti, i punti.

2. Siano dati i segmenti AB≃ CD, e PM. Completa le seguenti affermazioni.MM

a. AB + PM ≃ CD + ; c.AB − PM ≃ ;

b. 2AB ≃ CD; d.1__

3AB + 2PM ≃ 1__

3CD + .

3. Siano dati i segmenti AB< CD eD PM < AB. Completa le seguenti affermazioni, inserendo i simboli<, >.

a. AB + PM CD + PM;MM c.AB − PM CD − PM;MM b. 2__

3CD2__

3AB; d.AB − PM___

2 CD + PM.MM 4. Completa le seguenti frasi in modo che divengano proposizioni vere.

a. Si dice angolo ciascuna delle due parti in cui un piano è diviso da due . b. L’angolo convesso il prolungamento dei lati.

c. Un angolo che ha per lati due semirette opposte si dice .

d. Un angolo si dice acuto se è e ottuso se è .

e. Due angoli la cui somma è un angolo retto si dicono . f. Due angoli si dicono adiacenti se sono consecutivi e . 5. NellaFIGURA 2individua quanti e quali sono gli angoli di vertice A

che sono piatti, acuti, ottusi, congruenti, supplementari e opposti al vertice.

6. Rispondi alle domande relative alla FIGURA 3.

a. Come si definiscono i segmenti AE eE EH?HH b. Come si definiscono gli angoli BˆEEFEE eF FˆFFEG?E c. Come si definiscono gli angoli DˆDDFAFFF e GˆGGFEFFF ?EE d. Come si definiscono gli angoli BˆEEHEE eH HˆHHEIEEE ? e. Come si definiscono gli angoli FˆFFEHEEE eH HˆHHEIEEE ? f. Come si definiscono gli angoli AˆCCBCC eB GˆGEBEEE ?

FIGURA 1

AB

a b 1PUNTO

2PUNTI 0,5PUNTI PER OGNI RISPOSTAESATTA

2PUNTI 0,5_{PUNTI PER} OGNI RISPOSTAESATTA

3PUNTI 0,5PUNTI PER OGNI RISPOSTAESATTA

FIGURA 2 B

A E D C

1PUNTO

FIGURA 3 A

F G

H

D C

B C E I

3PUNTI 0,5PUNTI PER OGNI RISPOSTAESATTA

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