University of Pisa
Introduction to the Summary
Pattern Formation & Retaining in
Networks of Kuramoto Oscillators: A
Geometric Approach for Analysis and
Control
Author:
Lorenzo Tiberi
Advisors:
Prof. Mario Innocenti
Prof. Fabio Pasqualetti
Supervisor:
Prof. Lucia Pallottino
1
Introduzione
Questo documento ´e da considerarsi come una introduzione al riassunto che viene fornito in forma di paper di ricerca allegato. Dal mio lavoro di tesi ´e stato scritto un articolo accademico sottomesso alla 56th Conference of Decision and Control (CDC). Tale articolo presenta, in maniera molto compatta, buona parte dei risul-tati derivati in questa tesi di laurea magistrale; di conseguenza, esso costituisce un ottimo riassunto per introdurre il problema affrontato e risolto. Di seguito, nel presente documento, vengono riportati l’abstract tradotto in lingua italiana, alcuni punti chiave della ricerca svolta e le conclusioni.
Nota: Questo progetto di laurea magistrale ´e stato svolto in collaborazione con l’Universit´a della California in Riverside (UCR), dove mi sono recato per un periodo di 6 mesi. Durante questo periodo (Settembre 2016, Marzo 2017) sono stato seguito dal Professor Fabio Pasqualetti presso UCR e dal Professor Mario Innocenti presso l’Universit´a di Pisa. Il tirocino formativo ´e stato finanziato in parte tramite una borsa di studio interna all’Universit´a di Pisa (Bando di 40 contributi per tesi di laurea all’estero).
1.1
Sommario
Il fenomeno della sincronizzazione ´e cruciale per la il corretto funzionamento di molti sistemi naturali ed artificiali. In questo lavoro verr´a caratterizzata la for-mazione di specifici pattern di sincronizzazione in reti di oscillatori di Kuramoto. Nel dettaglio, verranno fornite condizioni sulla struttura delle connessioni tra no-di e sulle frequenze naturali degli oscillatori per garantire una evoluzione coesa delle fasi di gruppi di oscillatori. I risultati proposti sono applicabili a reti mo-dellate tramite grafi diretti e pesati che evidenziano una dinamica nonlineare con accoppiamento diffusivo. Nonostante gli oscillatori siano caratterizzati da dinami-ca nonlineare l’approccio proposto sfrutta tecniche di algebra lineare e teoria dei grafi. Oltre all’analisi, presentiamo un nuovo meccanismo di controllo per determi-nare la pi´u piccola perturbazione strutturale (misurata dalla norma di Frobenius)
rispettare vincoli strutturali del sistema studiato: alcune delle connessioni possono essere controllabili con un costo elevato; ´e quindi preferibile agire utilizzando una misura di fitness data dalla modificabilit´a parziale della rete. I risultati analitici sono validati e presentati tramite una serie di esempi. Tali risultati sono forte-mente operativi e sono forniti in forma chiusa, rendendo possibile l’applicabilit´a scalabile.
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Schematico dei risultati
Di seguito viene riportato uno schematico dei risultati analitici ottenuti. Si consi-deri il riassunto in forma di paper ”Pattern Formation in Networks of Kuramoto Oscillators: A Geometric Approach” per una versione compatta degli enunciati e delle dimostrazioni dei teoremi sviluppati.
Theorem 2.1 (Sincronizzazione a cluster) Per la rete di oscillatori G = (V, E ), la partizione P = {P1, . . . , Pm} ´e sincronizzabile in fase se e solo se le
sequenti condizioni sono simultaneamente soddisfatte: (i) i pesi della rete soddisfano P
k∈P`aik− ajk = 0 per ogni i, j ∈ Pz e z, ` ∈
{1, . . . , m}, con z 6= `;
(ii) le frequenze naturali soddisfano ωi = ωj per ogni k ∈ {1, . . . , m} e i, j ∈ Pk.
Corollary 2.2 (Condizione matriciale per la sincronizzazione) La con-dizione (i) del Teorema 2.1 ´e equivalente a ¯VT
PAV¯ P = 0, dove ¯VP ∈ Rn×(n−m)
soddisfa Im( ¯VP) = Im(VP)⊥, e
¯
A = A − A VPVPT. (1)
Proposition 2.3 (Invarianza lineare ¯A) La condizione ¯VT
PAV¯ P = 0, fornita
nel Corollario 2.6, ´e equivalente alla ¯A-invarianza di Im(VP) per il sistema lineare
Theorem 2.4 (Sincronizzazione via perturbazione strutturata) Sia T = [VP V¯P], e sia " ˜A11 A˜12 ˜ A21 A˜22 # = T−1AT.¯
Il problema di minimizzazione proposto (ref. paper) ha una unica soluzione se e solo se esiste una matrice di moltiplicatori di Lagrange Λ che soddisfa
X = ( ¯VPΛVPT) H, e ˜A21 = ¯VPTXVP.
Inoltre, se esiste, la soluzione ∆∗ ´e
∆∗ = T " ˜∆∗ 11 ∆˜ ∗ 12 ˜ ∆∗21 ∆˜∗22 # T−1, dove ˜∆∗11= −VPTXVP, ˜∆∗12= −VPTX ¯VP, ˜∆∗21 = − ˜A21, e ˜∆22∗ = − ¯VPTX ¯VP.
Corollary 2.5 (Problema di minimizzazione non vincolato) Sia H = {M : mij 6= 0 per ogni i e j}. Il problema di minimizzazione proposto ´e sempre
risolubile, e la soluzione ´e
∆∗ = − ¯VPV¯PTAV¯ PVPT.
Proposition 2.6 (Invarianza lineare su ¯A+∆∗) Il vincolo ¯VPT[ ¯A+∆∗]VP = 0
del problema di minimizzazione proposto ´e equivalente alla ( ¯A, B) - invarianza controllata di Im(VP) per il sistema lineare non autonomo ”friend” ˙x = ¯Ax + Bu
della dinamica nonlineare di Kuramoto.
Si consideri il paper allegato per una simulazione dimostrativa dei risultati sopra enunciati. Si consideri la tesi di laurea per una serie di esempi applicati.
rete e sulle frequenze naturali degli oscillatori per garantire che le fasi di gruppi di oscillatori evolvano in coesione l’una con le altre, indipendentemente dalle fasi di oscillatori in altre partizioni. Inoltre, viene fornito un meccanismo di controllo per modificare gli archi di una rete in modo da forzare un determinato pattern di sincronizzazione. Tale metodo ´e ottimo, nel senso che determina la pi´u piccola perturbazione (misurata dalla norma di Frobenius) che conduce ad un desiderato pattern, e modifica solo un subset degli archi.
