Programma di

Programma di GEOMETRIA III A.A. 2017-2018 Corso di Laurea in Matematica

A. Miranda

FARE UNA GEOMETRIA

Le geometrie secondo Klein Che cos’`e una geometria? Il programma di Erlangen di Klein. Spazi di struttura. Gruppo strutturale. Invarianti. Confronto fra geometrie.

L’algebra lineare Struttura vettoriale naturale di Rn_{. Basi e orientamenti. I}

sot-tospazi vettoriali di Rn e la loro rappresentazione analitica. Gli isomorfismi diRn_{. L’algebra lineare come geometria nel senso di Klein.}

La geometria affine Struttura affine naturale diRn_{. I sottospazi affini e loro}

rappre-sentazione analitica. Spazi direttori. Parallelismo. Traslazioni, isomorfismi, e affinit`a. Il gruppo delle affinit`a reali diRn. La geometria affine. Esempi di invarianti affini. Esempi di invarianti lineari che non sono invarianti affini. La geometria Euclidea Il gruppo delle isometrie Euclidee e la geometria Euclidea.

Le isometrie del piano: traslazioni, rotazioni, ribaltamenti, glissoriflessioni. Esempi di invarianti euclidei che non sono invarianti affini.

La geometria affine conforme L Le similitudini. Il gruppo delle omotetie. La ge-ometria affine conforme. Esempi di invarianti affini, conformi e metrici. LA GEOMETRIA PROIETTIVA

Il piano proiettivo reale Il piano proiettivo reale P2(R). Relazione di parallelismo tra rette del piano affine reale. Punti impropri o direzioni. Rette ampliate e retta impropria. Propriet`a grafiche di P2<sub>(</sub>R). Coordinate proiettive omo-genee. Luoghi geometrici ed omogeneit`a nella rappresentazione analitica. Rappresentazione cartesiana e parametrica delle rette proiettive. Il modello di Grassman del piano proiettivo reale. Legami tra P2₍R) e la struttura vettoriale di R3. Il piano proiettivo reale come quoziente della sfera, della semisfera, del disco e del quadrato. Le proiettivit`a reali. Le proiettivit`a reali e le classi di matrici associate. La geometria proiettiva reale. Affinit`a reali e matrici associate.

Le coniche proiettive reali Ellissi, iperboli, parabole come luoghi geometrici. I loro caratteri: simmetrie, assi, vertici, centro, asintoti, fuochi, direttrici,... Le coniche reali di P2₍R). Matrice associata ad una conica. Rappresentazione matriciale di una conica proiettiva reale. Forma bilineare simmetrica e forma quadratica associata. Posizione reciproca di rette e coniche (” esplorando una conica con le rette ”). Rette tangenti, seganti, esterne ad una conica. Punti

semplici e punti doppi (”esplorando una conica con le rette in un fascio”). Coniche degeneri e non. Coniche reali prive di punti reali. Degenerazione doppia e semplice. Condizioni di degenerazione. Tipo affine di una conica. Determinazione analitica del tipo affine. Traccia affine di una conica proiet-tiva. Polarit`a generata da una conica non degenere. Polarit`a ed ortogonalit`a. Teorema di reciprocit`a delle polari. Rette e punti autopolari. Coniche a cen-tro. Coniche prive di cencen-tro. Condizioni analitiche per l’esistenza del centro e sua determinazione. Diametri. Diametri coniugati. Diametri autoconiugati o asintoti. Propriet`a di simmetria dei diametri. Il centro come centro di sim-metria. Gli assi come diametri coniugati alla direzione ortogonale. I vertici. I fuochi. Le direttrici.

Teoremi di classificazione e caratteri di una conica Classificazione proiettiva delle co-niche proiettive reali. Tipi proiettivi reali. Classificazione affine delle coco-niche affini reali. Tipi affini reali. Classificazione metrica delle coniche reali. Tipi metrici. Esempi di caratteri proiettivi: le nozioni di retta, conica, segmento, retta tangente, retta segante, retta esterna ad una conica, polarit`a, polo e polare, autopolarit`a , conica degenere, conica semplicemente degenere, con-ica doppiamente degenere, concon-ica non degenere, concon-ica priva di punti reali. Esempi di caratteri affini: le nozioni di parallelismo tra rette, conica a centro, conica priva di centro, centro, diametro, diametri coniugati, ellisse, iperbole, parabola, asintoto. Esempi di caratteri invarianti per similitudini: le nozioni di angolo tra rette, ortogonalit`a, assi, vertici, circonferenza, iperbole equilat-era. Esempi di caratteri metrici: le nozioni di fuoco e direttrice.

Lo spazio proiettivo reale e le quadriche Lo spazio proiettivo reale P3₍R). Paral-lelismo tra rette dello spazio affine reale. Punti impropri. Piani ampliati e piano improprio. Rette proiettive. Propriet`a grafiche di P3<sub>(R). Coordinate</sub> proiettive omogenee. Luoghi geometrici ed omogeneit`a nella rappresentazione analitica. Rappresentazione cartesiana e parametrica dei piani proiettivi e delle rette proiettive. Il modello di Grassman dello spazio proiettivo reale. Legami tra P3₍R) e la struttura vettoriale di R3_{. Matrice associata ad una} quadrica. Rappresentazione matriciale di una quadrica proiettiva reale. Punti ellittici, iperbolici, parabolici. Punti semplici. Punti doppi. Degenerazione. Polarit`a. Coni, ellissoidi, iperboloidi, paraboloidi come superfici di rotazione. Punti ellittici, Classificazione proiettiva delle quadriche proiettive reali. Tipi proiettivi reali.

LA TOPOLOGIA

Spazi topologici Topologia su un insieme. Aperti. Topologia naturale. Topologia di Sorgenfrey. Topologie delle semirette. Topologia cofinita. Confronto tra topologie. Basi. Chiusi. Chiusura e propriet`a. Interno e propriet`a. Intorni

e propriet`a. Aderenza. Spazi metrici. Topologia indotta da una metrica. Topologia indotta dalla metrica euclidea. Topologia indotta dalla metrica euclidea. Topologie metrizzabili. Metriche equivalenti. La metrica euclidea, la metrica del taxi, la metrica del massimo. Basi locali. Continuit`a puntuale. Continuit`a globale e caratterizzazioni. Continuit`a della composizione di ap-plicazioni. Applicazioni aperte. Applicazioni chiuse. Esempi. Omeomorfismi e caratterizzazioni. La topologia come geometria nel senso di Klein. Classi di omeomorfismo degli intervalli di R. Omeomorfismo fra sfere e cubi euclidei. Omeomorfismo tra uno spazio euclideo ed un suo disco aperto. La proiezione stereografica.

Sottospazi Topologia relativa. Continuit`a dell’inclusione. Topologia naturale in-dotta.

Prodotti Topologia prodotto. Continuit`a delle proiezioni. Continuit`a di una fun-zione a valori in un prodotto.

Quozienti Topologia quoziente. Aperti saturi. Applicazioni quoziente. Teorema di rappresentazione. Esempi di applicazioni quoziente. La rappresentazione parametrica standard della circonferenza. La circonferenza `e il quoziente che si ottiene dal segmento [0, 1] identificando gli estremi. La rappresentazione parametrica standard del cilindro. Esempi di quozienti del quadrato chiuso: il cilindro, il toro, il nastro di Moebius, il piano proiettivo reale. Riduzione di un chiuso ad un punto. Riduzione della circonferenza di bordo di un disco ad un punto. La sfera `e il quoziente che si ottiene dal disco chiuso mediante la riduzione ad un punto della circonferenza di bordo. Altri modelli topologici del piano proiettivo reale: modello di Klein, modello di Grassman, quoziente della sfera, quoziente della semisfera, quoziente del cerchio chiuso.

TESTI CONSIGLIATI

• D. Hilbert- S. Cohn-Vossen, Geometria Intuitiva, Boringhieri, 1974. • E. Sernesi, Geometria 1, Bollati Boringhieri, 2000

• E. Sernesi, Geometria 2, Bollati Boringhieri, 2001

• V. Checcucci, A. Tognoli, E. Vesentini, Lezioni di Topologia Generale, Ed. Zanichelli

1976.

• M.Manetti, Topololgia, Ed. Springer-Verlag. • G. Tallini, Strutture Geometriche, Ed. Liguori. • S. Willard, General Topology , Ed. Dover 2004.