LA NOZIONE DI DERIVATA

(1)

LA NOZIONE DI DERIVATA

Definizione 1

Sia f(x) una funzione definita in un intervallo I e x0 I. Il rapporto: 0 0 ( ) ( ) f x f x x x   con x  I-{x0} si chiama rapporto incrementale di f relativo al punto x0.

Si dice che la funzione f è derivabile in x0 se il rapporto incrementale di f relativo ad 0

x _{è convergente in}x0 e, in tale ipotesi, il limite

0 0 0 ( ) ( ) lim x x f x f x x x    si chiama la derivata

di f in x0 e si denota con uno dei seguenti simboli: 0 '( ) f x _{; D} f x( )0 ; df dx (x0). In conclusione 0 '( ) f x _è_ 0 0 0 ( ) ( ) lim x x f x f x x x   

purché il limite del secondo membro esista e sia finito. Definizione 2

Sia f(x) una funzione definita in un intervallo I e x0I . I limiti: 0 0 0 ( ) ( ) lim x x f x f x x x     ; 0 0 0 ( ) ( ) lim x x f x f x x x   

 se esistono finiti si chiamano

rispettivamente la derivata sinistra e la derivata destra di f in x0 e si denotano con uno dei simboli: f_₍x₀_{) ;}D_ f x( )₀ _; f_₍x₀_{) ;}D_ f x( )₀ _. In conclusione : f_₍x0) 0 0 0 ( ) ( ) lim x x f x f x x x     ; f(x0) 0 0 0 ( ) ( ) lim x x f x f x x x     . Osservazione

E’ evidente che vale la seguente equivalenza

(2)

Conseguentemente:

( f_₍x0) f(x0))(f non è derivabile in x0) Definizione 3

Si dice che la funzione f è derivabile nell’intervallo I se f è derivabile in ogni punto di I. In tal caso la funzione xIf’(x) si chiama la derivata della funzione f nell’intervallo I e si denota con uno dei simboli f’, Df, df

dx oppure anche f’(x), Df(x), df

dx(x).

La nozione di derivata si generalizza mediante la seguente definizione: Definizione 3 (generalizzata)

Sia f(x) una funzione definita in un intervallo I e x0 I. Se accade che

0 0 0 ( ) ( ) lim x x f x f x x x    = 

si dice che la funzione f ha in x0 derivata infinita. Osservazione 1

Una volta data questa definizione se f è derivabile in x0 e

0 0 0 ( ) ( ) lim x x f x f x x x    R si dice

anche che f ha derivata finita. Osservazione 2

Se nel rapporto incrementale di una funzione f : 0 0 ( ) ( ) f x f x x x   poniamo h=x-x0, risulta: 0 0 ( ) ( ) f x f x x x   = 0 0 ( ) ( ) f x h f x h   e quindi f x'( )0 = 0 0 0 ( ) ( ) lim h f x h f x h    . Analogamente, postox  x x0, si ha f x'( )0 = ₀ 0 0 ( ) ( ) lim x f x x f x x       .

Tali notazioni sono utili quando si voglia calcolare la derivata di f in un punto di I che non si voglia precisare. Infatti f x'( )0 = ₀

( ) ( ) lim h f x h f x h    .  x I .

(3)

La differenza  f f x h(  ) f x( )_{si chiama incremento della funzione f.}

Ciò è il motivo per cui la funzione 0 0

( ) ( ) f x f x

x x 

 si chiama rapporto incrementale.

Proposizione

Sia f(x) una funzione definita in un intervallo I e x0 I. V.s.i.

(f derivabile in

x0

)



(f continua in

x0

)

Dim 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x ( ) ( ) f x f x f x f x x x f x x x        

Conseguentemente (aggiungo e sottraggo f(x0))

0 0 0

0

0 0 0 0 0

0

( )

lim ( ) lim

(

) lim ( )

'( ) 0

( )

x x x x x x

f x

x x

f x

x x

  











 





. ESEMPI

1) se c è una costante reale risulta Dc=0

infatti se f(x)=c  x I , si ha: f x h( ) f x( ) c c 0 h h   _  _ e quindi ( ) lim₀ ( ) ( ) 0 h f x h f x Dc f x h        2) risulta Dx=1  x R. posto f(x)0x si ha: f x h( ) f x( ) h   =x h x h   =h h=1  x R e quindi Dx=lim₀ ( ) ( ) h f x h f x h    =lim1h0 =1. 3) Risulta 3 0

[D x]x  e cioè la funzione f(x)=3 x ha in 0 derivata infinita infatti: lim₀ ( ) (0) lim₀ 3 lim₀ ₃1

0 x x x f x f x x x x          .

4) La funzione f x( ) | | x _{non è derivabile nel punto 0.}

infatti ( ) - (0) | | 1 se x>0_{-1se x <0} - 0 f x f x x x   _{ } 

(4)

OPERAZIONI CON LE DERIVATE

Teorema(sulle operazioni con le derivate)

Siano f x( )_eg x( )_{due funzioni definite nell’intervallo I e}x0 I. valgono le seguenti implicazioni

1) (f e g derivabili in x0) 0 0 0 0 derivabili in e ( ) ( ) ( ) ( ) f g x f g x f x g x     _ _ _ _ _ _    SOMMA 2) (f e g derivabili in x0) 0 0 0 0 0 0 derivabili in e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f g x f g x f x g x f x g x     _ _ _ _ _ _    PRODOTTO 3) 0 0 f e g derivabili in e g( ) 0 x x    _     0 0 0 0 0 0 2 0 derivabile in e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g f x g x f x g x f x g g x       _{ }_ _ _ _  _{ } _  _{ }    RAPPORTO

La prima di queste tre implicazioni è di facile verifica e non ce ne occuperemo. Dim. 2)

Sottraendo e aggiungendo f(x0) g(x) risulta

0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x f x g x x x    = 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x f x g x f x g x f x g x x x     = = 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x ( )g x g x g x f x x x x x  _   

Ponendo il limite perxx0si ha la tesi, tenendo conto che g(x) è continua in x0perché ivi derivabile ed inoltre il teorema sulle operazioni con i limiti.

Dim. 3)

Osserviamo innanzitutto che essendo g x( ) 00  , per il teorema della permanenza del segno, esiste un intorno di x0 in cui risulta ancora g x( ) 0 . In tale intorno si ha, sottraendo e aggiungendo f x g x( ) ( )_;

(5)

0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x g x g x f x g x f x g x x x g x g x x x       0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) f x g x f x g x f x g x f x g x g x g x x x    _  = 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) g x g x f x f x f x g x g x g x x x x x   _    _ _   

Passando al limite perxx0tenuto conto che le funzioni f e g sono continue inx0 perché derivabili e il teorema sulle operazioni con i limiti(limite della somma e limite del prodotto), si ha la tesi.

3)DERIVATE DI ALCUNE FUNZIONI ELEMENTARI

Ci proponiamo di calcolare le derivate di alcune funzioni elementari sfruttando i limiti fondamentali ed il teorema sulle operazioni con le derivate. A tale scopo è bene osservare che, per le regole di derivazione del prodotto, tenuto conto che la derivata di una costante è nulla, si ha:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Dc f x  Dc  f x cDf x  D f x  c f x cf x

Infatti : ' '

( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( )

Dc f x  c f x  c f x   f x  c f x cf x

Conseguentemente è lecito portare le costanti fuori dal campo di derivata. 1- _Dax __axlog_a _{ }_{x R}

Dimostrazione

0 0 0

1

lim lim lim log

x h x x h x h x x x h h h a a a a a a Da a a a h h h             Osservazione

si noti che, in particolare _Dex __ex_{. Infatti:} x x _log x

De  e e e 2- log 1 log a D x x a    x 0 Dimostrazione

(6)

log log ( ) log

log lim a a lim a

a _{h o} _{h o} x h x h x _x D x h h         0 log 1 log (1 ) 1 1 1 lim lim log a a h o y h y x h x h x a x x    _    _  _{ } _{ }  Osservazione

si noti che, in particolare, Dlogx 1 x  _.

3- Dsinxcosx  x R

Dimostrazione

0 0

sin( ) sin sin cosh cos sinh sin

sin lim lim

h h x h x x x x D x h h          0 cosh 1 sinh

lim sin cos

h x h x h   _ _     2 0 0 cosh 1 sinh 1

sin lim cos lim sin 0 cos 1 cos

2 h h x h x x x x h h            _ _     4- Dcosx=-sinx  x R

Dimostrazione analoga al numero3

5- 2 1 cos Dtgx x  2 x  k    Dimostrazione 2 2 2 2 2

sin ( sin ) cos sin cos cos sin 1

cos cos cos cos

x D x x x D x x x Dtgx D x x x x        Osservazione

Si noti che risulta anche 2

1 Dtgx tg x 6- 2 1 cotg sin D x x   x k

Dimostrazione analoga al numero 5

TEOREMA DI DERIVAZIONE DELLE FUNZIONI COMPOSTE

Consideriamo la funzione g(f(x)) con x I composta mediante le funzioni f(x) (componente interna) e g(y) (componente esterna);Vale la seguente implicazione

(7)





₀ 0 0 0 0 0 0 ( ( )) derivabile in e ( ) derivabile in ( ) derivabile in y ( ) Dg(f(x)) _{x x} ( ( )) ( ) g f x x f x x I g y f x _ g f x f x      _ _   _  _ _ _ _ _ _   _ _ Dim.

Supporremo, per semplificare la dimostrazione, che esista un intorno di x0 nel quale risulti f x( ) f x( )0 .Inoltre utilizzeremo il teorema sul limite delle funzioni composte effettuando la sostituzione y=f(x);

Ciò premesso si ha:

0 0 0 0 0 0 ( ( )) ( ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) g f x g f x g f x g f x f x f x x x f x f x x x  _  _    

e ponendo l limite per xx0:





0 ₀ ₀ 0 0 0 0 ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) lim lim ( ) ( ) x x _x _x _x _x g f x g f x g f x g f x Dg f x x x f x f x  _ _        0 0 0 ( ) ( ) lim x x f x f x x x     = = 0 0 ( ) ' 0 ' 0 0 0 0 0 ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) ( ) o y f x x x y y g f x g f x g y g y f x f x f x f x y y        



 =





' ' ' 0 0 0 0

( ) ( )

( )

( ).

f x g y

g f x

f x









Osservazione

si noti che la regola di derivazione Dg fx( ))g f x( ( )) f x( )0

significa che la derivata della funzione composta g(f(x)) calcolata nel punto x è uguale al prodotto della derivata della componente esterna g(y) calcolata nel punto y=f(x) per la derivata della componente interna f(x) calcolata nel punto x.

Ne consegue che, se la funzione composta g(f(x)) è derivabile in un intervallo, allora la derivata della funzione composta è uguale al prodotto della derivata di g rispetto ad f(x) (pensata come una variabile indipendente) per la derivata di rispetto ad x.

Corollario(derivata della potenza)x (  0) è derivabile e si ha _Dx ___x1 Dimostrazione

Essendo_x __elog x_{, per la regola di derivazione delle funzioni composte risulta:}

logx logx _log 1 1

Dx De e D x x x

x

(8)

Osservazione

si noti che, in particolare, per 1



n N

 

1



n     _{si ha:} 1 1 1 ₁ 1 n 1 1 1 n n n n _n _n n D x Dx x n n _{n x} x   _     

5)DERIVATE DELLE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE INVERSE

Vogliamo ora calcolare la derivata della funzione arcsin. Ricordiamo che si tratta dell’inverso della funzione seno rispetto all’intervallo ,

2 2   _ 

 

  per cui risulta

sin arcsin

y x x y_con , 2 2 x _  _

  e y 



1,1



.

Vogliamo provare che:

1) 2 1 arcsin ] 1,1[ 1 D y y y     

Sia y0 ] 1,1[ e tale chey0 sinx0 si ha:





₀





0

0 0

arcsin arcsin

arcsin _{y y} lim posto sin

y y y y D y y x y y  _  _ _ _  





0 0 0 0 2 0 0 0 ₀ 0 1 1 1 1 lim

sin cos _{1 sin}

lim x x x x x x x x senx senx senx senx D x x _x x x             _  2 2 0 0 1 1 1 sin (arcsiny ) 1 y     Osservazioni

Si noti che il procedimento è lecito perché:

1- La funzione seno è continua e strettamente crescente in , 2 2   _ 

 

 

2- La funzione seno(di cui arcoseno è l’inversa) è derivabile con derivata maggiore di zero in , 2 2   _      Perchè x 2 2, 0 sinx 1    _{ } _{ } _   _ _   .

Si noti anche che dal calcolo effettuato risulta (*)





0

_

_

0 1 arcsin sin y y x x D y D x   

Essendo y0 sinx0 possiamo affermare che la derivata della funzione

arcoseno(inversa della funzione seno) in un puntoy0 è uguale alla reciproca della derivata della funzione seno calcolata nel puntox0, corrispondente di y0 mediante il seno, e cioè nel puntox0 tale che sin x0 y0.

(9)

Teorema di derivazione delle funzioni inverse

Sia f(x) una funzione continua e strettamente monotona in un intervallo I. V.s.i. 1 1 derivabile in ( ) e derivabile in e 1 ( ) ( ) 0 ( ) f y f x f x I Df y f x f x         _ _    _ _   _     _ _ _

In maniera analoga, oppure anche utilizzando il teorema di derivazione delle funzioni inverse si dimostra la D arcos y e la D arctg y (vedi fotocopie pag12)

SIGNIFICATO GEOMETRICO DELLA DERIVATA(grafico pag 13)P0 Sia f(x) una funzione definita in un intervallo I. Considerato il diagramma di tale funzione, fissiamo su di esso il punto P0 ( , f( )),x0 x0 e indichiamo con s la retta

secante passante per P0 ed un qualsiasi punto P( , ( ))x f x P0del diagramma. Indicata con y=mx+n l’equazione di una generica retta(non verticale), imponendo le

condizioni di passaggio di tale retta per i punti P e P0, si ha:

0 0 ( ) ( ) f x mx n f x mx n     _ _ 

da cui sottraendo membro a membro ed utilizzando poi la seconda di queste uguaglianze 0 0 ( ) ( ) f x f x m x x    ; 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) f x f x . n f x x x x     

Sostituendo in y=mx+n si ha infine 0





0 0 0 ( ) ( ) ( ) f x f x y f x x x x x     

e cioè la secante s è la retta per P0 ( , f( ))x0 x0 avente per coefficiente angolare 0 0 ( ) ( ) f x f x x x 

 che è il rapporto incrementale di f relativo ad x0 Ciò posto si ha la seguente

Definizione

Si dice che il diagramma di f ha in P0 ( , f( ))x0 x0 retta tangente quando il coefficiente angolare della secante s è convergente in x0 e cioè quando la funzione f è derivabile inx _{.In tale ipotesi la retta} _ _  _ _{e cioè la retta passante per}P_ed

(10)

avente per coefficiente angolare la derivata f x( )0 di f in x0 si chiama retta tangente al diagramma di f nel punto P0.

Osservazione 1

Da questa definizione si deduce il significato geometrico della derivata. La derivata 0

( )

f x di una funzione f nel punto x0 rappresenta il coefficiente angolare della tangente al diagramma nel punto P0 ( , f( ))x0 x0 .

Osservazione 2(grafico pag. 14)

Se dichiariamo con la misura in radianti formato dalla secante s con l’asse x risulta 0 0 ( ) ( ) f x f x tg x x  

 e cioè che il coefficiente angolare della secante s è uguale alla

tangente trigonometrica dell’angolo.

E’ evidente allora che





0 0 0 ( ) ( ) lim 2 x x f x f x tg x x       _{  } _{  } _{ }   _        .

Queste condizioni giustificano la seguente Definizione

Si dice che il diagramma di f ha nel puntoP0 ( , f( ))x0 x0 tangente verticale quando f ha in x0 derivata infinita. In tale ipotesi la retta verticale di espressione x=x0 si chiama la tangente del diagramma di f nel punto P0.

(da pagina 15 a pagina 18 si possono trovare esempi, esercizi ed un elenco di derivate notevoli)