CAPITOLO 7
MODELLAZIONE NUMERICA ED ANALISI
STRUTTURALE
7.1 FORMULAZIONE DEL MODELLO AGLI ELEMENTI FINITI
Le indagini sperimentali condotte sul campanile della chiesa di San Nicola in Pisa hanno evidenziato le prime frequenze proprie dei modi di vibrare della struttura. Al fine di confermare i risultati ottenuti e per descrivere il comportamento statico e dinamico del campanile è stato elaborato un dettagliato modello numerico facendo ricorso al programma agli elementi finiti COSMOS/M 2.9 (VERSIONE 256k) [1]. Il modello riproduce nel dettaglio il campanile prendendo in considerazione tutti i particolari della struttura ritenuti rilevanti ai fini della descrizione del comportamento reale (figure 6.1-6.4).
fig. 7.1: Modello FEM fig. 7.2:Modello FEM
I problemi connessi con lo sviluppo di tale modello hanno riguardato la ricerca di una mesh di elementi finiti sufficientemente fitta che garantisse un buon compromesso tra la risoluzione geometrica e la richiesta di tempo macchina per l’esecuzione dell’analisi.
Data la complessa geometria della struttura, per poter realizzare un valido modello tridimensionale, sono state necessarie alcune approssimazioni: vi sono infatti sezioni
orizzontali della struttura richiamanti forme circolari, esagonali, ettagonali, ottagonali e poligonali a sedici lati irregolari, per cui il primo sforzo è consistito nel regolarizzare, senza stravolgere, la geometria della struttura.
Cella campanaria
colonnato
colonna orizzontamento
Scala elicoidale
fig. 7.3:Modello FEM
orizzontamento Scala elicoidale
finestra
finestra lesena
fig. 7.4:Modello FEM
Le scale interne, poggianti su una serie di archi rampanti e costituite da quattro rampe di lunghezza variabile intervallate da pianerottoli anch’essi di lunghezza variabile, sono state approssimate come una sola rampa di scale poggianti su di un’elica continua sorretta da otto pilastri anziché sette: non potendo usare una mesh più fitta per problemi di capacità di memoria del software, si è deciso di adattare il numero delle colonne alla griglia a disposizione ritenendo che tale modifica producesse una variazione della soluzione del tutto trascurabile.
Il breve tratto di scale in corrispondenza del colonnato sotto la cella campanaria è stato omesso dal modello, ritenendone trascurabile l’incidenza sul comportamento dinamico.
Le losanghe gradonate, sottostanti al loggetto a colonne e soprastanti una serie di archi strambati, sono state approssimate con una fascia ottagonale che le interpola.
Sono state riprodotte, in modo schematico, tutte le aperture, quali le finestre prismatiche a base trapezia, quelle cieche sottostanti gli archi che sorreggono il loggetto a colonne e le aperture presenti negli orizzontamenti.
La muratura del campanile è a sacco ed è stata riprodotta suddividendo in tre parti uguali, i due paramenti e il riempimento, lo spessore totale del muro, ad eccezione di quella che si trova all’altezza del colonnato e della cella campanaria che, al contrario, è monolitica.
Il modello, oltre a riprodurre il campanile, comprende alcune delle pareti murarie circostanti, cioè quelle che si sviluppano parallelamente alla strada e che costituiscono le facciate degli edifici; si è deciso di non includere nel modello gli altri elementi delle costruzioni che inglobano il campanile che, sia per la massa e le rigidezze ridotte sia per il fatto di essere semplicemente a contatto, possono ritenersi ininfluenti. L’interazione delle pareti di facciata, che presentano spessori variabili tra 50cm e 100cm, è stata considerata introducendo delle molle con rigidezza assiale pari ad 1/10 della rigidezza delle pareti murarie nel loro piano per considerare la caratteristica di vincolo monolaterale fra pareti e torre.
Per quanto riguarda la fondazione, questa è stata modellata in maniera analoga a quanto fatto nei recenti studi sulla Torre Pendente: è stato considerato un blocco a forma di corona circolare dello spessore di 223cm, concentrico con la sezione di base del campanile e debordante per 75cm dalla parte esterna e 100cm da quella interna; internamente rimane quindi un vuoto di raggio 140cm.
Per considerare l’interazione tra il terreno e la struttura, nel modello è stato inclusa anche una parte del sottosuolo; utilizzando le carte di influenza di Westergaard si è deciso di prendere in considerazione una porzione di terreno tale da far estinguere fino al 7% l’influenza del carico: quindi tale spazio è delimitato, in profondità, da un piano posto ad una distanza pari al doppio del diametro della base e, perimetralmente, da un anello di diametro pari a tre volte quello della base del campanile [2].
Per quanto riguarda le proprietà dei materiali, non essendo stato possibile eseguire prove dirette in sito, sono stati assunti dei valori ritenuti caratteristici, tenendo in considerazione il periodo di costruzione del campanile. I valori riguardanti il terreno sono stati assunti uguali a quelli ottenuti dallo studio effettuato sul suolo sottostante la Torre Pendente, ritenuti sufficientemente rappresentativi data la poco distanza che intercorre tra le due torri.
I tipi di materiale immessi nel modello sono sei e le relative caratteristiche sono riassunte nella tabella seguente (figura 7.5):
materiale Ex (daN/cm2)
peso specifico
(daN/m2) utilizzo
CLS di fondazione 250000 2400 Fondazione
CLS 300000 2400 Orizzontamento al livello del colonnato
Pietra 500000 2700 Paramenti della muratura a sacco, cella
campanaria e scale
Riempimento 50000 1400 Riempimento della muratura a sacco
Muratura 100000 1800 Tetto piramidale
Molle 10000 / Interazione con le murature di facciata degli edifici circostanti
fig. 7.5: Riepilogo dei materiali usati Il reticolo del modello è formato complessivamente da:
- 180212 elementi di tipo 3D solid ad otto nodi mutuamente connessi, 128372 dei quali per modellare la torre campanaria;
- 28 elementi di tipo 2D beam per modellare le colonne;
- 154 elementi spring a due nodi per modellare l’interazione con le murature.
Alcuni degli elementi di tipo 3D solid ad otto nodi (figura 7.6) sono stati degenerati a elementi 3D solid prismatici (figura 7.7) per riprodurre le zone centrali del corpo del terreno ed il tetto piramidale del campanile.
7.2 ANALISI STATICA
Al fine di valutare lo stato tensionale indotto dai carichi statici (pesi propri) è stata condotta l’analisi statica prevalentemente al fine di valutare l’entità e la distribuzione delle tensioni indotte sulla struttura e sul terreno dal peso proprio, assumendo, per i materiali, le caratteristiche sopra riportate.
Riportiamo di seguito delle figure nelle quali vengono illustrati i principali risultati dell’analisi statica; i valori riportati a fianco delle immagini indicano i valori delle tensioni calcolate secondo il criterio di Von Mises corrispondenti ai colori degli elementi; l’unità di misura delle tensioni è Kg/cm2 (figure 7.8-7.15).
fig. 7.8:Andamento delle tensioni di Von Mises
fig. 7.10:Andamento delle tensioni di Von Mises sezione terra-tetto (unità di misura: Kg/cm2)
fig. 7.11: Andamento delle tensioni di Von Mises spaccato assonometrico (unità di misura: Kg/cm2)
fig. 7.12: Andamento delle tensioni di Von Mises particolare della porta d’ingresso (unità di misura: Kg/cm2)
fig. 7.13: Andamento delle tensioni di Von Mises particolare della corona del colonnato(unità di misura: Kg/cm2)
fig. 7.14: Andamento delle tensioni di Von Mises particolare della sezione di base (unità di misura: Kg/cm2)
fig. 7.15: Andamento delle tensioni di Von Mises nel terreno (unità di misura: Kg/cm2)
Il campanile in esame presenta diverse variazioni della sezione resistente che determinano una non omogenea distribuzione delle tensioni e, in alcuni casi, una loro concentrazione: come si vede dalle figure sopra riportate, nelle zone dove sono presenti delle aperture ci sono delle concentrazioni delle tensioni ai lati di queste discontinuità; tali concentrazioni si ritrovano anche alla base delle colonne delle scale che risultano essere gli elementi più caricati.
Il peso complessivo stimato del campanile è di 1957 tonnellate e, ripartito sull’area del coronamento di base, da una pressione media sul terreno pari a 3.29Kg/cm2. Le tensioni normali massime di compressione si trovano nelle colonne delle scale: quella più caricata, che risulta essere quella posta al livello più basso, raggiunge un valore di 41.63Kg/cm2; tale valore diminuisce via via che si sale di quota con le altre colonne fino al valore di 9.98Kg/cm2; per la sezione di base del campanile si raggiungono valori di compressione di 13.24Kg/cm2 nei punti di maggior concentrazione, mentre quelle di trazione sono quasi nulle; la gran parte del carico viene portata dai paramenti della muratura a sacco.
Tale risultato ha convalidato la scelta del legame costitutivo: per stati tensionali di compressione non molto elevati e per bassissime trazioni come quelle che risultano
dall’analisi condotta la muratura può ancora essere modellata approssimativamente come un materiale a comportamento elastico lineare.
7.3 ANALISI DINAMICA
Le caratteristiche dinamiche della torre, frequenze e modi di vibrare, sono state valutate effettuando un’analisi modale della struttura.
I risultati dell’analisi di maggiore interesse riguardano i primi modi di vibrare, pertanto ci limitiamo ad analizzare le prime sette frequenze ottenute dal calcolo che sono pari a:
- f1=0.579Hz => puramente flessionale di primo grado in direzione ortogonale
alla strada;
- f2=2.052Hz => verticale;
- f3=2.071Hz => flessionale di primo grado in direzione parallela alla strada
con una piccola componente torsionale;
- f4=3.067Hz => puramente flessionale di secondo grado in direzione
ortogonale alla strada;
- f5=3.187Hz => flessionale di secondo grado in direzione parallela alla strada
con una piccola componente torsionale;
- f6=4.095Hz => flessionale di terzo grado in direzione parallela alla strada
con una piccola componente torsionale;
- f7=4.179Hz => puramente flessionale di terzo grado in direzione ortogonale
alla strada.
Come si può notare tutti i modi flessionali paralleli alla direzione della strada hanno una componente torsionale che è dovuta al leggero disassamento fra le murature esterne degli edifici che inglobano il campanile e fra le murature stesse e il centro del campanile.
I risultati mostrano che vi è una differenza in frequenza marcata tra i primi due modi flessionali di primo grado che è dovuta all’interazione delle murature degli edifici circostanti con la struttura della torre; alle frequenze più alte questa interazione viene meno e f4≈ f5 e f6≈ f7 in piani ortogonali fra loro data la prossimità della forma del
Riportiamo di seguito la schematizzazione dei modi di vibrare puramente flessionali di primo, secondo e terzo grado(figura 7.16).
deformata di
primo grado secondo gradodeformata di deformata diterzo grado fig. 7.16: Tipi di deformate
I modi di vibrare sono riportati nelle figure 7.17-7.23 dove è anche indicata in rosso la direzione prevalente del moto ed in verde quella della strada.
fig. 7.19: Secondo modo di vibrare f2=2.052Hz
fig. 7.22: Sesto modo di vibrare f4=4.095Hz fig. 7.23: Settimo modo di vibrare f5=4.179Hz Si riporta di seguito una tabella nella quale si evidenzia l’influenza delle murature longitudinali sulle frequenze dei modi vibrare: al variare del modulo di rigidezza assiale delle molle che schematizzano l’interazione tra il campanile e la muratura, variano anche le frequenze di vibrazione (figura 7.24).
0 5000 10000 20000 fless. 1° gr. ortog. strada 0,418 0,506 0,579 0,692 fless. 1° gr. parall. strada 0,418 1,683 2,071 2,503 fless. 2° gr. ortog. strada 2,922 3,068 3,067 3,078 fless. 2° gr. parall. strada 3,066 3,096 3,187 3,385 fless. 3° gr. parall. strada 3,071 3,956 4,095 4,152 fless. 3° gr. ortog. strada 4,183 4,181 4,179 4,183 verticale 2,047 2,046 2,052 2,045 FREQUENZE (Hz) RIGIDEZZA ASSIALE
Dalla tabella si vede che all’aumentare della rigidezza delle molle aumentano anche i valori delle frequenze; introducendo le molle, la frequenza che viene maggiormente alterata è quella relativa al modo flessionale di primo grado in direzione parallela alla strada che passa da un valore di 0.418Hz ad una di 1.683Hz; le frequenze che subiscono una maggiore influenza della presenza delle molle sono quelle relative alle forme dei modi di vibrare nella direzione parallela alla strada; il valore della frequenza relativa al modo di vibrare verticale resta quasi inalterato al variare della rigidezza delle molle.
Successivamente, per verificare l’influenza del terreno sul comportamento dinamico del campanile, è stato elaborato un modello privo dell’interazione con gli edifici circostanti dove sono stati attribuiti diversi valori di rigidezza al terreno compresi nell’intervallo tra 350Kg/cm2 e infinito (ottenuto schematizzando il terreno con vincoli di incastro perfetto). Da questa analisi è risultato che l’influenza del terrreno sui valori delle prime due frequenze è limitata, mentre influisce molto su quelle successive; i modi di vibrare avvengono in direzioni fra loro ortogonali ed inclinate di circa 45° rispetto alla direzione della strada e compaiono dei modi puramente torsionali che prima non c’erano, se non in piccola parte e congiuntamente a quelli flessionali in direzione parallela alla strada.
350 infinito fless. 1° gr. 45° strada 0,418 0,430 fless. 1° gr. 135° strada 0,418 0,444 fless. 2° gr. 135° strada 3,066 2,071 fless. 2° gr. 45° strada 3,071 2,082 fless. 3° gr. 135° strada 4,183 4,291 fless. 3° gr. 45° strada 4,196 4,439 verticale 2,047 3,009 torsionale 2,922 1,903 RIGIDEZZA TERRENO F R EQUE NZE (H z)
Riferimenti Bibliografici
[1] Geostar tutorial, guida in linea del software, 2004/2005.
[2] B. Furiozzi, C. Messina, L. Paolini, Prontuario con software didattico per il
