La sua chiusura `e l’insieme A = {(x, y) 2 R2| x y  2x}

Risoluzione

1. L’insieme A ={(x, y) 2 R²| x 2 [0, 1], 0  y < 2x}, rappresentato in figura

non risulta n´e aperto, n´e chiuso. Ha interno A ={(x, y) 2 R² | x 2 (0, 1), 0 < y < 2x}, frontiera @A costituita dall’unione dei tre segmenti S1 = {(x, y) 2 R² | y = 0, x 2 [0, 1]}, S² = {(x, y) 2 R² | x = 1, y2 [0, 2]} e S³={(x, y) 2 R²| x 2 [0, 1], y = 2x}. La sua chiusura `e l’insieme A = {(x, y) 2 R²| x 2 [0, 1], 0 y  2x}.

2. L’insieme B ={(x, y) 2 R²| 0 < x²+ 4y²< 4, x 1} in figura

non risulta n´e aperto, n´e chiuso. Ha interno B = {(x, y) 2 R² | 0 < x²+ 4y² < 4, x < 1}, frontiera

@B = {(0, 0)} [ {(x, y) 2 R² | x²+ 4y² = 4, x2 [ 2, 1]} [ {(x, y) 2 R² | y 2 [ ^p2³,^p₂³], x = 1}, dato che i punti di intersezione tra l’ellisse x²+ 4y² = 4 e la retta x = 1 sono P_± = (1,±^p2³), e chiusura B ={(x, y) 2 R²| x²+ 4y² 4, x  1}.

3. L’insieme C ={(x, y) 2 R²| x²+ y²< 4, |y| < |x|} in figura

`e aperto, dunque coincide con il suo interno, C = C , non risulta quindi chiuso. Ha frontiera @C = {(x, y) 2 R² | x²+ y² = 4,|x| 2 [p

2, 2]} [ {(x, y) 2 R² | |y| = |x|, x 2 [ p 2,p

2]} e chiusura B = {(x, y) 2 R²| x²+ y² 4, |y|  |x|}.

4. L’insieme D ={(x, y) 2 R²| x² y  x + 2} in figura

`e chiuso, quindi coincide con la sua chiusura, D = D, non risulta quindi aperto. Ha frontiera @D = {(x, y) 2 R²| y = x², x2 [ 1, 2]} [ {(x, y) 2 R² | y = x + 2, x 2 [ 1, 2]} e interno D = {(x, y) 2 R² | x²< y < x + 2}.

5. La funzione f (x, y) = log(x²+ y² 1) `e definita in D ={(x, y) 2 R² | x²+ y² > 1}. Per ogni ↵ 2 R l’insieme di livello

Z^↵(f ) ={(x, y) 2 D | log(x²+ y² 1) = ↵} = {(x, y) 2 D | x²+ y²= 1 + e^↵}

`e la circonferenza di centro l’origine e raggiop

1 + e^↵> 1.

6. La funzione f (x, y) = e^x2y `e definita in R<sup>2</sup> e assume solo valori positivi. L’insieme di livello Z<sup>↵</sup>(f ) = {(x, y) 2 R<sup>2</sup>| e<sup>x2y</sup> = ↵} sar`a quindi vuoto se ↵  0, mentre per ↵ > 0 abbiamo che

Z^↵(f ) ={(x, y) 2 R²| e^x2y = ↵} = {(x, y) 2 R²| x^y2 = log ↵}

`e la parabola y = x<sup>2</sup>log ↵ di vertice l’origine e concavit`a verso l’alto se ↵ > 1, verso il basso se 0 < ↵ < 1,

`e l’asse y = 0 se ↵ = 1.

7. La funzione f (x, y) = pxy `e definita in D ={(x, y) 2 R² | xy 0} e assume solo valori non negativi.

L’insieme di livello Z^↵(f ) ={(x, y) 2 D |pxy = ↵} `e quindi vuoto se ↵ < 0, per ↵ = 0 abbiamo invece che risulta costituito dall’unione dei due assi x = 0 e y = 0 mentre per ↵ > 0 abbiamo che

Z^↵(f ) ={(x, y) 2 D | xy = ↵²}

`e costituito dall’iperbole equilatera y = ^↵_x².

8. La funzione f (x, y) = _x2^2x+y² `e definita in D =R²\ {(0, 0)}. Per ogni ↵ 6= 0 abbiamo che Z^↵(f ) ={(x, y) 2 D | x^22x+y² = ↵} = {(x, y) 2 D | x²+ y²=_↵²x}

={(x, y) 2 D | (x ↵¹)²+ y²=_↵¹2}

`e la circonferenza di centro (_↵¹, 0) di raggio _↵¹ privata dell’origine (osserviamo che la circonferenza passa per l’origine per ogni ↵6= 0). Per ↵ = 0 abbiamo invece che Z^↵(f ) ={(x, y) 2 D | x = 0} coincide con l’asse delle ordinate privato dell’origine.

9. La funzione f (x, y) =p

x²+ 2x + 1 + y²=p

(x + 1)²+ y²ha per dominioR². Dato che f (x, y) 0 per ogni (x, y)2 R², se ↵ < 0 l’insieme di livello Z^↵(f ) ={(x, y) 2 R²| f(x, y) = ↵} `e vuoto, se ↵ = 0 allora Z^↵(f ) ={( 1, 0)} mentre per ↵ > 0 abbiamo che

Z^↵(f ) ={(x, y) 2 R²| (x + 1)²+ y²= ↵²}

`e la circonferenza di centro C = ( 1, 0) e raggio ↵. Il grafico della funzione `e il cono ad una falda z =p

(x + 1)²+ y² di vertice ( 1, 0, 0) e asse la retta parallela all’asse z per ( 1, 0, 0)

x

y z

↵

1

↵ 1

10. La funzione f (x, y) = x²+^y₄² y + 1 = x²+^{(y 2)}₄ ² `e definita inR<sup>2</sup>. Dato che x<sup>2</sup>+<sup>(y 2)</sup><sub>4</sub> <sup>2</sup> 0 per ogni (x, y)2 R<sup>2</sup>, per ↵ < 0 l’insieme di livelloZ<sup>↵</sup>(f ) ={(x, y) 2 R<sup>2</sup>| f(x, y) = ↵} `e vuoto, per ↵ = 0 abbiamo cheZ⁰(f ) ={(0, 2)} mentre per ↵ > 0 abbiamo

Z^↵(f ) ={(x, y) 2 R²| f(x, y) = ↵} = {(x, y) 2 R²| x²+^{(y 2)}₄ ² = ↵}

e l’insieme di livello `e l’ellisse di centro C = (0, 2) e semiassi p↵, 2p↵. Il grafico della funzione `e il paraboloide ellittico z = x²+^{(y 2)}₄ ²

x

z

y

↵

2

11. La funzione f (x, y) = 1 y² x² 2x = 2 ((x + 1)²+ y²) `e definita inR<sup>2</sup>. Poich´e 2 ((x + 1)<sup>2</sup>+ y<sup>2</sup>) 2 per ogni (x, y)2 R<sup>2</sup>, per ↵ > 2 l’insieme di livelloZ<sup>↵</sup>(f ) ={(x, y) 2 R<sup>2</sup>| f(x, y) = ↵} `e vuoto, per ↵ = 2 abbiamo cheZ^↵(f ) ={( 1, 0)} mentre per ↵ < 2 l’insieme

Z^↵(f ) ={(x, y) 2 R²| (x + 1)²+ y²= 2 ↵}

`e la circonferenza di centro C = ( 1, 0) e raggiop

2 ↵. Il grafico della funzione `e il paraboloide circolare z = 2 ((x + 1)²+ y²)

x

z

y

↵ 2

1

12. La funzione f (x, y) = y² 2y x²= (y 1)² x²+ 1 `e definita in R². Per ↵6= 1 l’insieme Z^↵(f ) ={(x, y) 2 R²| f(x, y) = ↵} = {(x, y) 2 R²| (y 1)² x²= ↵ 1}

`e un iperbole con asse focale verticale x = 0 se ↵ > 1, orizzontale y = 1 se ↵ < 1 mentre per ↵ = 1 abbiamo che

Z¹(f ) ={(x, y) 2 R²| (y 1)²= x²} = {(x, y) 2 R²| |y 1| = |x|}

`e l’unione delle rette y =±x + 1.

Il grafico della funzione `e il paraboloide iperbolico z = (y 1)² x²+ 1

x

y z

↵ 1 1

13. Il limite lim

(x,y)!(0,0) sin(xy)

x²+y² non esiste, infatti, posto f (x, y) = ^sin(xy)_x2+y², lungo le rette y = mx abbiamo che

xlim!0f (x, mx) = lim

x!0

sin(mx²) 2x² = lim

x!0

mx² 2x² = m

2 e dunque che il limite non `e indipendente da m.

14. Il limite lim

(x,y)!(0,0) x²+y²

y non esiste, infatti, posto f (x, y) = ^x2+y_y ² abbiamo che

xlim!0f (x, x) = lim

x!0

2x² x = 0 mentre

x!0limf (x, x²) = lim

x!0

x²+ x⁴ x² = 1.

Osserviamo che per ogni m2 R, risulta lim

(x,y)!(0,0)f (x, mx) = 0.

15. Abbiamo che lim

(x,y)!(0,0) x²y

x²+y² = 0 infatti, posto f (x, y) = _x2^x+y^2y2 si ha che

xlim!0f (x, mx) = mx³

x²+ (mx)² = 0 8m 2 R e che per ogni " >, scelto 0 < < ", sep

x²+ y²< allora

|f(x, y)| = x²y

x²+ y²  |y| p

x²+ y²< < "

quindi la condizione di limite `e verificata.

16. Per calcolare lim

(x,y)!(0,0)

xy² x²y

x²+y² , posto f (x, y) = ^xy_x²2+y^x22y passando alle coordinate polari, calcoliamo

⇢lim!0⁺f (⇢ cos ✓, ⇢ sin ✓). Abbiamo

⇢lim!0⁺f (⇢ cos ✓, ⇢ sin ✓) = lim

⇢!0⁺⇢(cos ✓ sin²✓ cos²✓ sin ✓) = 0, 8✓ 2 [0, 2⇡].

Il limite risulta uniforme rispetto a ✓2 [0, 2⇡] essendo

|⇢(cos ✓ sin²✓ cos²✓ sin ✓)|  2⇢, 8✓ 2 [0, 2⇡], e 2⇢! 0 per ⇢ ! 0⁺. Possiamo quindi concludere che lim

(x,y)!(0,0)f (x, y) = 0.

17. Per calcolare lim

(x,y)!(0,1)

p xy x

x²+(y 1)², posto f (x, y) = p ^{xy x}

x²+(y 1)², utilizzando le coordinate polari centrate in (0, 1), calcoliamo innazitutto il limite lim

⇢!0⁺f (⇢ cos ✓, 1 + ⇢ sin ✓). Si ha

⇢lim!0⁺f (⇢ cos ✓, 1 + ⇢ sin ✓) = lim

⇢!0⁺

⇢²cos ✓ sin ✓

⇢ = 0 8✓ 2 [0, 2⇡]

e il limite risulta uniforme rispetto a ✓ dato che per ogni ✓2 [0, 2⇡] si ha

|f(⇢ cos ✓, 1 + ⇢ sin ✓)| = |⇢ cos ✓ sin ✓|  ⇢.

Ne segue allora che lim

(x,y)!(0,1)f (x, y) = lim

(x,y)!(0,1)

p xy x

x²+(y 1)² = 0.

18. Per calcolare lim

(x,y)!(0,0)

(x²+y²)y²(x+2)

x⁴+y⁴ , utilizziamo le coordinate polari. Posto f (x, y) = ^(x2+y_x4²+y^)(x+2)4 , abbiamo

⇢lim!0⁺f (⇢ cos ✓, ⇢ sin ✓) = lim

⇢!0⁺

⇢²(⇢ cos ✓ + 2)

⇢⁴(cos⁴✓ + sin⁴✓) = +1 8✓ 2 [0, 2⇡]

uniformemente rispetto a ✓, infatti per ogni 0 < ⇢ < 1 e ✓2 [0, 2⇡] risulta

f (⇢ cos ✓, ⇢ sin ✓) = ⇢²(⇢ cos ✓ + 2)

⇢⁴(cos⁴✓ + sin⁴✓) 1

⇢² ! +1, per ⇢ ! 0⁺. Possiamo allora concludere che lim

(x,y)!(0,0)f (x, y) = lim

(x,y)!(0,0)

(x²+y²)y²(x+2)

x⁴+y⁴ = +1.