10. ESERCIZI su INTEGRALI DOPPI
Stabilire se i seguenti insiemi risultano domini normali e nel caso esprimerli come tali 1. D ={(x, y) 2 R2| x2+ y2 4, x y + 2}
2. D ={(x, y) 2 R2| x2+ y2 2, y x2} 3. D ={(x, y) 2 R2| x2 y 1 |x|}
4. D ={(x, y) 2 R2| 2x2+ y2 2, 0 y 1}
5. D ={(x, y) 2 R2| x2+ y2 1, x2+ y2 2x, y 0} 6. D ={(x, y) 2 R2| 1 x2+ y2 4, y |x|}
Calcolare i seguenti integrali doppi nel dominio indicato 7.
ZZ
D
x2y + 2yx dx dy essendo D il triangolo di vertici (1, 1), (1, 2) e (2, 2).
8.
ZZ
D
cos x cos ydx dy dove D ={(x, y) 2 R2| sin x y x, x 2 [0,⇡2]} 9.
ZZ
D
xy dx dy dove D ={(x, y) 2 R2| x2+ y2 2, x y2, y 0};
10.
ZZ
D|x 1| dx dy dove D = {(x, y) 2 R2|p
2y y2 x 2 y, y 0};
11.
ZZ
D x
(x2+y2)2dx dy dove D ={(x, y) 2 R2| 1 x2+ y2 4x, 0 y p 3x};
12.
ZZ
D
x dx dy dove D ={(x, y) 2 R2| |2y x| 2, |2y + x| 2};
13.
ZZ
D
log x dx dy dove D `e la regione del primo quadrante compresa tra la retta 2x + 2y = 5 e l’iperbole xy = 1.
Calcolare l’area delle seguenti regioni 14. D ={(x, y) 2 R2| x2+ y2 1, y x2 1};
15. D ={(x, y) 2 R2| x2+ y2 4, x 1};
16. D `e il settore ellittico individuato dall’ellisse x32 + y2= 1, la bisettrice y = x e l’asse delle ascisse;
17. D `e la regione del piano delimitata dalla curva di equazione polare ⇢(✓) = sin(2✓), ✓ 2 [0, 2⇡] (un petalo della rodonea a 4 petali).
Determinare le coordinate del baricentro dei seguenti corpi piani della densit`a di massa indicata.
18. D ={(x, y) 2 R2| 4x2+ y2 4, 0 y 2x}, di densit`a di massa costante;
19. D ={(x, y) 2 R2| x2+ y2 1, y p
3x,} di densit`a di massa (x, y) = |y|
20. D ={(x, y) 2 R2| 1 x42 + y2 4, x 0}, di densit`a di massa (x, y) = x;
21. D ={(x, y) 2 R2| 1 x2+ y2 2y, x 0}, di densit`a di massa costante;
22. D `e un settore circolare di apertura 2↵ e raggio r, di densit`a di massa costante.
Calcolare il volume dei seguenti solidi 23. S ={(x, y, z) 2 R3| x2+ y2+ z2 4, z 1} 24. C ={(x, y, z) 2 R3| 0 z 2 p
x2+ y2 1}
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