C ={(x, y) 2 R2| x2+ y2&lt

ESERCIZI sulle FUNZIONI di DUE VARIABILI REALI, parte 1

Dopo averli rappresentati nel piano cartesiano, stabilire se i seguenti insiemi risultano aperti o chiusi, determinarne l’interno, la frontiera e la chiusura.

1. A ={(x, y) 2 R²| x 2 [0, 1], 0  y < 2x}

2. B ={(x, y) 2 R²| 0 < x²+ 4y²< 4, x 1}

3. C ={(x, y) 2 R²| x²+ y²< 4, |y| < |x|}

4. D ={(x, y) 2 R²| x² y  x + 2}

Determinare il dominio e gli insiemi di livello delle seguenti funzioni 5. f (x, y) = log(x²+ y² 1)

6. f (x, y) = e^x2y 7. f (x, y) = pxy 8. f (x, y) = _x2^2x+y²

Dopo averne determinato il dominio e gli insiemi di livello, disegnare il grafico delle seguenti funzioni:

9. f (x, y) =p

x²+ 2x + 1 + y² 10. f (x, y) = x²+^y₄² y + 1 11. f (x, y) = 1 y² x² 2x 12. f (x, y) = y² x² 2y

Stabilire se esistono e nel caso calcolare i seguenti limiti 13. lim

(x,y)!(0,0) sin(xy) x²+y²

14. lim

(x,y)!(0,0) x²+y²

y

15. lim

(x,y)!(0,0) x²y x²+y²

16. lim

(x,y)!(0,0)

xy² x²y x²+y²

17. lim

(x,y)!(0,1)

p xy x x²+(y 1)²

18. lim

(x,y)!(0,0)

(x²+y²)x+2 x⁴+y⁴

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