FACOLTA' DIINGEGNERIA
PROGRAMMADIANALISI MATEMATICA I I { A.A. 1997/1998
CORSI DILAUREA IN
INGEGNERIAPER L'AMBIENTE ED IL TERRITORIO
INGEGNERIA CIVILE
INGEGNERIA GESTIONALE
Dott. D.Averna
SPAZI VETTORIALI REALI
Spazi vettoriali. Spazi con prodotto interno. Spazi normati. Norma indotta da un prodotto interno. Disuguaglianza di Schwarz e disuguaglianza triangolare.
Proprieta delle norme indotte da un prodotto interno: legge del parallelogramma e teorema di Pitagora. Spazi metrici. Distanza indotta da una norma. Proprieta delle distanze indotte da una norma.
SPAZI EUCLIDEI
Lo spazio vettoriale di dimensione nita con prodotto interno IR
k. Norma e distanza euclidea.
Intorni. Insiemi aperti. Insiemi chiusi. Insiemi limitati e insiemi totalmente limitati. Equivalenza tra i concetti di limitatezza e totale limitatezza negli spazi euclidei (enunciato). Successioni. Limiti di successioni. Successioni di Cauchy.
Completezza (metrica) degli spazi euclidei. Insiemi completi. Equivalenza tra i concetti di completezza e chiusura negli spazi euclidei (enunciato).
Insiemi compatti. Caratterizzazioni della compattezza negli spazi euclidei (enun- ciati). Caratterizzazioni della compattezza negli spazi metrici (enunciati).
Insiemi connessi.
Funzioni tra spazi euclidei. Campi scalari e campi vettoriali. Limiti. Conti- nuita. Continuita e compattezza. Teorema di Weierstrass. Continuita e connessione (enunciato).
Continuita uniforme. Teorema di Heine.
Connessi per archi, connessi per poligonali, convessi. Confronto tra i vari tipi di connessione e la convessita. Aperti connessi.
FUNZIONI REALI DI DUE E PIU' VARIABILI REALI Derivate delle funzioni vettoriali di una variabile reale.
Derivate parziali e direzionali per le funzioni reali di due variabili reali. Dif- ferenziabilita delle funzioni reali di due variabili reali. Di erenziale. Signicato geometrico della di erenziabilita: piano tangente. Gradiente. Esistenza e rap- presentazione delle derivate direzionali delle funzioni di erenziabili. Signicato del gradiente di una funzione di erenziabile. Condizione su ciente per la di erenziabi- lita. Derivabilita delle funzioni composte. Conseguenze del Teorema di derivabilita della funzioni composte: Di erenziale delle funzioni composte. Teorema di Lagran- ge per campi (piani) scalari, Funzioni a gradiente nullo in aperti connessi del piano.
Derivate parziali di ordine superiore per le funzioni di due variabili. Teorema di
Schwarz (enunciato). Derivate successive delle funzioni composte
f(
x0+
thy0+
tk).
Formula di Taylor per le funzioni di due variabili.
Estensione del calcolo di erenziale alle funzioni reali di piu variabili reali. Esten- sione del calcolo di erenziale alle funzioni vettoriali di piu variabili reali. Matrice Jacobiana e di erenziabilita.
Coni in IR
k. Funzioni positivamente omogenee. Teorema di Eulero.
Funzioni implicite. Caso dell'equazione
f(
xy) = 0: Teorema di Dini, deri- vabilita della funzione implicita. Estensione al caso
f(
~x y) = 0. Determinante Jacobiano. Estensione ai sistemi di equazioni
f~(
~x~y) =
~0 (enunciato). Teorema di inversione locale.
Forme quadratiche. Massimi e minimi liberi delle funzioni reali di piu variabili reali. Forma quadratica associata ad una funzione reale di piu variabili reali, de- terminante Hessiano. Massimi e minimi vincolati (vincoli d'uguaglianza): metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
Derivabilita delle funzioni complesse. Equazioni di Cauchy-Riemann. Funzioni olomorfe. Derivata di un polinomio.
SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI
Successioni di funzioni. Convergenza uniforme. Criterio di convergenza uni- forme di Cauchy. Convergenza uniforme e continuita. Convergenza uniforme e integrazione (enunciato). Convergenza uniforme e derivabilita (enunciato).
Serie di funzioni. Convergenza puntuale, convergenza assoluta. Convergen- za uniforme. Convergenza totale. Convergenza assoluta uniforme. Teorema di integrazione per serie. Teorema di derivazione per serie.
Serie di numeri complessi.
Serie di potenze in campo complesso. Massimo limite e minimo limite di una successione di numeri reali. Teorema di Cauchy-Hadamard. Cerchio di convergenza.
Esame della convergenza di una serie di potenze. Teorema di Abel (enunciato).
Comportamento di una serie di potenze sulla frontiera del cerchio di convergenza:
teorema di Picard (enunciato).
Serie di potenze notevoli.
EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE
Equazioni di erenziali ordinarie. Soluzione di un'equazione di erenziale. Equa- zioni di erenziali in forma normale.
Problema di Cauchy per l'equazione
y0=
f(
xy). Equazione integrale di Volter- ra. Teorema di esistenza di Peano (enunciato). Teorema di esistenza ed unicita in piccolo e suoi corollari. Teorema di esistenza ed unicita in grande in
IIR.
Cenni sulla classicazione delle soluzioni di un'equazione di erenziale in forma normale (integrali particolari e integrali di frontiera) e nel caso generale (integrali singolari).
Sistemi di equazioni di erenziali del 1
0ordine e relativa notazione vettoriale
~
f
(
x~y ~y0) =
~0 o
~y0=
f~(
x~y). Riduzione di una equazione di erenziale d'ordine
n
ad un sistema di
nequazioni di erenziali del 1
0ordine. Estensione ai sistemi
~ y
0
=
f~(
x~y) del problema di Cauchy e dei risultati di esistenza e di esistenza ed unicita (enunciati).
Risoluzione di tipi particolari di equazioni di erenziali del 1
0ordine: equazioni a variabili separabili, equazioni di tipo omogeneo e omogeneo generalizzato. Equa- zioni lineari del 1
0ordine. Equazioni di Bernoulli. Equazioni di Clairaut.
Risoluzione di tipi particolari di equazioni di erenziali del 2
0ordine: equazioni
del tipo
f(
xy0y00) = 0, equazioni del tipo
f(
y y0y00) = 0.
Sistemi di equazioni di erenziali lineari del 1
0ordine. Lo spazio vettoriale del- le soluzioni di un sistema di equazioni di erenziali lineari omogenee del 1
0ordine.
Wronskiano. Rappresentazione dell'insieme delle soluzioni di un sistema di equazio- ni di erenziali lineari del 1
0ordine. Metodo di variazione delle costanti arbitrarie.
Cenni sulla risoluzione dei sistemi di equazioni di erenziali lineari del 1
0ordine a coe cienti costanti.
Equazioni di erenziali lineari. Lo spazio vettoriale delle soluzioni di una equa- zione di erenziale lineare omogenea. Wronskiano. Rappresentazione dell'insieme delle soluzioni di una equazione di erenziale lineare. Metodo di variazione delle costanti arbitrarie. Abbassamento dell'ordine di una equazione di erenziale lineare della quale si conosca un integrale particolare non nullo.
Equazioni di erenziali lineari a coe cienti costanti. Determinazione dell'inte- grale generale di una equazione di erenziale lineare omogenea. Determinazione di un integrale particolare di una equazione di erenziale lineare a coe cienti costanti completa il cui termine noto sia soluzione di una equazione di erenziale lineare a coe cienti costanti omogenea.
INTEGRALI MULTIPLI
Partizioni di un intervallo pluridimensionale. Norma di una partizione. Integrali inferiore e superiore di una funzione limitata in un intervallo pluridimensionale.
Integrale secondo Riemann in un intervallo pluridimensionale e sue proprieta di linearita, monotonia, additivita (enunciati). Primo criterio di integrabilita. Inte- grabilita delle funzioni continue. Integrabilita delle funzioni composte (enunciato).
Relazione tra integrabilita di
fed integrabilita di
jfj, integrabilita del prodot- to. L'integrale come limite di somme di Mengoli-Cauchy. Insiemi di misura nulla secondo Lebesgue e criterio di integrabilita di Lebesgue (enunciato).
Formule di riduzione per gli integrali multipli.
Misura interna e misura esterna secondo Peano-Jordan di un sottoinsieme limi- tato di IR
k. Insiemi limitati misurabili secondo Peano-Jordan e misura di Peano- Jordan. Caratterizzazione degli insiemi limitati misurabili secondo Peano-Jordan (enunciati).
Integrale secondo Riemann in insiemi pluridimensionali limitati e misurabili se- condo Peano-Jordan e sue proprieta. Rappresentazione integrale della misura di un insieme limitato misurabile secondo Peano-Jordan. Insiemi normali e formule di ri- duzione per gli integrali multipli in insiemi normali. Cambiamento di variabili negli integrali multipli (enunciati). Uso delle coordinate polari nel calcolo degli integrali doppi. Uso delle coordinate cilindriche e delle coordinate sferiche nel calcolo degli integrali tripli.
Volume di un solido di rotazione. Teorema di Guldino per i volumi.
INTEGRALI DIPENDENTI DA UN PARAMETRO
Continuita e derivabilita (enunciati) di una funzione denita da un integrale (di Riemann) dipendente da un parametro.
ARCHI REGOLARI
Curve (archi) in IR
k. Rappresentazioni parametriche di una curva. Curve e curve
chiuse. Curve semplici e loro rappresentazioni parametriche semplici. Curve chiuse
semplici e loro rappresentazioni parametriche chiuse semplici. Curve orientate.
Lunghezza di una curva e curve retticabili. Curve regolari e rappresentazioni regolari. Rappresentazione integrale della lunghezza di una curva regolare data in rappresentazione parametrica (enunciato), polare o ordinaria.
Curve regolari orientate. Ascissa curvilinea. Rappresentazione parametrica di una curva regolare orientata in funzione dell'ascissa curvilinea. Domini regolari del piano. Convenzione sull'orientamento di una curva chiusa regolare.
Curve regolari a tratti.
INTEGRALI CURVILINEI. FORME DIFFERENZIALI LINEARI
Integrali curvilinei estesi ad una curva. Integrali curvilinei al di erenziale delle coordinate.
Forme di erenziali lineari in IR
k. Forme di erenziali lineari esatte. Forme dif- ferenziali lineari esatte in aperti connessi (enunciati). Forme di erenziali lineari chiuse. Forme di erenziali lineari chiuse omogenee (enunciato).
Dominii piani regolari rispetto ad un asse e dominii piani regolari. Formule di Green nel piano (enunciati). Applicazioni delle formule di Green nel piano: area di un dominio piano regolare integrazione per parti per gli integrali doppi. Regioni piane semplicemente connesse. Forme di erenziali lineari chiuse in regioni piane semplicemente connesse (enunciato).
Testiconsigliati:
