)( ⇒ RVRVRVRVRE =−+− RVRVVRVEIII V C =+ ⇒ =−+− K RVVRVIRVEI A B V ; −==−= RVrVIrV = ⇒ = RVIIRV = ⇒ = V C A B V

ESERCIZIO 1: Il circuito di figura 1 opera in regime stazionario. Mediante l’applicazione della analisi nodale si desidera determinare: a) l’espressione analitica dei due potenziali VA=ƒƒƒƒ(E_S) e V_B=ƒƒƒƒ(E_S) dei nodi A e B, avendo come riferimento il nodo C assunto a potenziale V_C =0V; b) l’espressione analitica della resistenza equivalente “sentita” dal generatore indipendente di tensione ES. Successivamente nell’ipotesi che siano noti: ES =14V; R₁ =1ΩΩΩΩ; R2 =2ΩΩ; RΩΩ 3 =5 ΩΩΩΩ;

rm =3 ΩΩΩΩ con gm =(1/2)ΩΩΩΩ⁻⁻⁻⁻¹; si desidera, altresì: c) verificare la validità del teorema di Tellegen per le potenze elettriche del circuito di figura 1.

La rete lineare si caratterizza per la presenza di due generatori dipendenti e precisamente, il generatore di corrente gmV_O pilotato dalla tensione V_O (VCCS) e il generatore di tensione rmI_B pilotato dalla corrente IB (CCVS). Inoltre, per ispezione diretta, si deduce la presenza del supernodo di tensione rappresentato, per l’appunto, dal generatore dipendente rmI_B;per tanto si dovrà applicare l’analisi nodale modificata.

Poiché non viene esplicitamente richiesta dal testo la relativa matrice, si può procedere come di seguito si riporta. Nella figura 1a vengono riportati i versi delle correnti nei lati di interesse. La legge Ohm applicata alla resistenza R3 consente la seguente scrittura:

3

3

R

I V I

R

V

_B

=

_B

⇒

_B

=

^B

Mentre per ispezione diretta si evincono le relazioni:

R

3

V V r

I r

V

_A

=

_{m B}

⇒

_A

=

^{m B}

Per le altre due correnti di interesse sono immediate le seguenti posizioni:

2 2

2 1

1

R

V V R I V R

V

I E

^{S B O A}

−

^B

=

− =

= ;

L’applicazionedellaleggediKirchhoffdellecorrenti al nodo B,unico nodo possibile,consente di scrivere:

3 2

1 2

1

R

V R

V V R

V I E

I

I

_B ^{S B A}

−

^B

=

^B

− +

= ⇒ +

Sviluppando i dovuti passaggi algebrici si ottengono le seguenti scritture:

3 2 2 1

1

R

V R V R V R V R

E

_{S B A B B}

=

− +

−

; ovvero:

1 0 1 0 1

1 1 1

3 2 3

2 1 1

2 3

2 1 1

=

⋅ +

 ⋅





 

 + +

⇒ −

= +

 ⋅





 

 + +

− R

V R V r R R R R

E R

V V R R R R

E

_{m B}

B S

A B S

B m

S B

m

S

V

R R

r R

R R R

V E R R

r R

R R R

E  ⋅





 

 + + −

⇒ =

=

 ⋅





 

 + + −

−

3 2 3 2 1 1

3 2 3 2 1 1

1 1 0 1

1 1 1

0

3 2 1

1 2

1 3 1 3 2 1

=

 ⋅





 

 + + −

=

^m _B

S

V

R R R

R r R R R R R R R

E

⇒

1 2

1 3 1 3 2

3 2

R r R R R R R R

E R V R

m S

B

= + + −

S m

B

E

r R R R R R

R

V R ⋅

− +

= +

) (

_{2 3}

1 3 2

3 2

+ ++ +

−−−

− ES

gmVO

R₂ R₁

R₃ VO

IB

(figura – 1) + ++ +

−−−

− rmIB

A B

V

A

V

B

C

+ ++ +

−

−−

− ES

gmVO

R₂ R₁

R₃ VO

IB

(figura – 1a) + ++ +

−−−

− rmIB

A B

V

A

V

B

C

I2

IS

I1

K

I_R

VG

Ricordando quanto già dedotto per ispezione diretta si conclude, con immediatezza, quanto segue:

R

3

V

V

_A

= r

^{m B}

⇒

) (

_{2 3}

1 3 2

3 2

3 m

S m

A

R R R R R r

E R R R

V r

− +

⋅ +

=

⇒

) (

_{2 3}

1 3 2

2

m S

m

A

R R R R R r

E r V R

− +

= +

Consegue, inoltre, logicamente che:

) (

)

(

_{2 3 1 2 3}

3 2 3

2 1 3 2

2

m S

m S

m B

A

O

R R R R R r

E R R r

R R R R R

E R V r

V

V − + + −

− +

= +

−

=

; da cui si ottiene:

S m m

O

E

r R R R R R

R r

V R ⋅

− + +

−

= ⋅

) (

) (

3 2 1 3 2

3 2

Per quanto attiene al calcolo della resistenza “sentita” dal generatore indipendente di tensione E_S, si deve osservare che essa è definita come il rapporto fra la tensione E_S del generatore stesso e la corrente IS dal medesimo erogata. A tale riguardo se si applica della legge di Kirchhoff delle correnti al nodo K si perviene alla scrittura seguente:

1 3

2 1 3 2

3

1 2

( )

) (

R V E r

R R R R R

E R r R I g

I V g

I

^{S B}

m S m

m S

O m S

+ −

− + +

= − + ⇒

=

, ovvero:

) (

1 )

(

) (

3 2 1 3 2

3 2 1

1 3

2 1 3 2

3 2

m S

S m

S m

m

S

R R R R R r

E R R R

R E r

R R R R R

E R r R I g

− +

⋅ +

−

− + + +

= −

, da cui consegue:

S m

m m

m

S

E

r R R R R R R

R R r

R R R R R R r R R

I g ⋅

− + +

⋅

−

− + +

+

= −

)]

( [

] )

( )

( [

3 2 1 3 2 1

3 2 3

2 1 3 2 3 2

1 , semplificando si ha:

S m

m m

m

S

E

r R R R R R R

r R R R R r R R

I g ⋅

− + +

⋅

− + +

= −

)]

( [

)]

( ) (

[

3 2 1 3 2 1

3 2 1 3 2

1 , raccogliendo R1 si ottiene

S m

m m

m

S

E

r R R R R R R

r R R R

r R g

I R ⋅

− + +

⋅

− + +

−

= ⋅

)]

( [

)]

( ) (

[

3 2 1 3 2 1

3 2 3

2

1 , da cui semplificando si perviene a:

S m

m m

m S

m m m

m

S

E

r R R R R R

r R R g r R E R

r R R R R R

r R R R

r R

I g ⋅

− + +

−

−

−

= +

− ⋅ + +

− + +

= −

)]

( [

) (

) (

)]

( [

) (

) (

3 2 1 3 2

3 2 3

2 3

2 1 3 2

3 2 3

2

S m

m m

S

E

r R R R R R

R g r

R

I R ⋅

− + +

−

⋅

−

= +

)]

( [

) 1

( ) (

3 2 1 3 2

2 3

2

In conclusione, in ossequio alla definizione di resistenza equivalente si ottiene la relazione:

) 1

( ) (

) (

2 3

2

3 2 1 3 2

R g r

R R

r R R R R R I

R E

m m

m S

S

eq

+ − ⋅ −

− +

= +

=

Il procedimento relativo alla verifica del teorema di Tellegen si semplifica attuando dapprima il calcolo delle grandezze elettriche ai morsetti di ciascun bipolocostituentela retelineare in analisi.

Pertanto, sono ovvie le seguenti scritture:

V r E

R R R R R

R

V R

_S

m

B

10

14 14 10 4 10

14 10 ) 3 5 2 ( ) 5 2 (

14 5 2 )

(

_{2 3}

1 3 2

3

2

⋅ =

+ =

= ⋅

− + +

⋅

⋅

= ⋅

− ⋅ +

= +

V V

V V R V

V

V

_A

r

^{m B}

6

_{O A B}

6 10 4

5 10 3

3

−

=

−

=

−

⇒ =

⋅ =

⋅ =

=

R A I V R A

I V V V

E

V

_{G S A B} ^{B O}

2

2

; 4 5 2

; 10 8 6 14

2 2 3

−

=

−

=

=

=

=

=

=

−

=

−

=

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti al nodo A consente di relazionare come segue

I

2

I V

g

_{m O}

=

_R

+

⇒

_I

_R

_{= g}

_m

_V

_O

_{− I}

₂

⇒

I

_R

g

_m

V

_O

I ( 2 ) 2 2 0 A 2

4 1

2

= − ⋅ − − = − + =

−

=

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti al nodo K consente di relazionare come segue

R A V V E

V g I V g

I

_{S m O m A B} ^{S B}

2 4 2

1 10 ) 14

10 6 2 ( ) 1

(

1

1

− = − + =

+

−

⋅

− = +

−

= +

=

L’applicazione della convenzione degli utilizzatori (passive sign convention) consente di validare le seguenti relazioni:

Generatore dipendente gmV_O:

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ P

_gm

V

_KA

g

_m

V

_O

V

_G

g

_m

V

_O

( 4 ) 16 W 2

8 ⋅ 1 ⋅ − = −

=

=

=

Generatore dipendente rmIB:

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ P

_r

r

_m

I

_B

I

_R

V

_A

I

_R

W

m

= = = 6 ⋅ 0 = 0

Bipolo Resistenza R1:

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ W

R V I E

V

P

_{R KB} ^{S B}

4 16

1 ) 10 14 ( )

(

² ₂

1 2

1 1

− = =

− =

=

=

Bipolo Resistenza R2:

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ P

_R

( V

_A

V

_B

) I

₂

V

_O

I

₂

( 4 ) ( 2 ) 8 W

2

= − = = − ⋅ − =

Bipolo Resistenza R3:

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ P

_R

V

_B²

R

₃

10

²

5 100 5 20 W

3

= = = =

L’applicazione della convenzione dei generatori (active sign convention) consente di relazionare come di seguito riportato:

Generatore indipendente ES:

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ P

_ES

= E

_S

I

_S

= 14 ⋅ 2 = 28 W

Il teorema di Tellegen afferma che la somma algebrica delle potenze elettriche in un circuito è nulla, ovvero: la somma aritmetica delle potenze elettriche erogate uguaglia la somma aritmetica delle potenze elettriche assorbite; in termini analitici si ha:

∑

∑

∑

_{j j}

= ⇒

_{i i}

=

_{k k}

gen

ass

P

P P 0

Nello specifico si ottiene:

W P

P P P P

P

_{g r R R R}

i iass

=

m₊ m

+

₁

+

₂

+

₃

= − 16 + 0 + 16 + 8 + 20 = 28

∑

W P

P

gen ES

k k

= = 28

∑

Osservando che una potenza elettrica assorbita negativa altro non è che una potenza elettrica generata positiva, il teorema di Tellegen ammette anche l’equivalente forma analitica seguente:

W P

P P P

P

_{r R R R}

i i_ass

=

_m

+

₁

+

₂

+

₃

= 0 + 16 + 8 + 20 = 44

∑

W P

P

P

gen ES gm

k k

= + = 28 + 16 = 44

∑

ESERCIZIO 2 L’interruttore S è APERTO da lungo tempo e all’istante tO =0s si CHIUDE.

Si desidera determinare: a) l’espressione analitica delle correnti i_L(t), i_X(t) e della tensione v_L(t), per −−−300− ms<t<∞∞, indi tracciare i relativi grafici fra loro strettamente correlati; b) l’istante t* ∞∞ in cui si azzera la corrente i_L(t) ai morsetti dell’induttore L; c) l’energia accumulata nello induttore agli istanti tO=0s e t→→→→∞. Sono noti: E∞∞∞ S =30V; I_S =6A; r_m =3ΩΩ;ΩΩ R₁ =5Ω; RΩΩΩ 2 =6ΩΩΩΩ;

R₃ =2ΩΩΩΩ; L=240mH.

Si desidera determinare, dapprima in forma analitica e successivamente in formagrafica la forma d’onda caratteristica della tensione e della corrente di un induttore durante la fase del transitorio dovuto alle variazioni strutturali della rete di figura 2 in relazione alla commutazione da STATO APERTO a STATO CHIUSO dell’interruttore S.

La relazione costitutiva caratteristica della evoluzione temporale della corrente iL(t) ai morsetti di una induttanza, corrente che si ricorda essere una funzione temporalmente continua, atteso che trattasi di una variabile di stato, è espressa dalla seguente scrittura:

)τ

)]

(

( ) ( [ ) ( )

(

_{L L L O} ^{t tO}

L

t i i i t e

i = ∞ − ∞ − ⋅

^{− −}

e nel caso in cui l’istante tO di inizio transitorio corrisponda con l’istante tO =0 s si ottiene:

τ t L

L L

L

t i i i e

i ( ) = ( ∞ ) − [ ( ∞ ) − ( 0 )] ⋅

⁻

Pertanto, il transitorio è completamente determinato allorché sono conosciuti i tre parametri il cui significato fisico di interesse è di seguito esplicitato:

iL(∞∞∞∞): è la corrente ai morsetti dell’induttanza al termine del transitorio ottenuta considerando la induttanza stessa modellata dal bipolo corto circuito;

i_L(t_O): è il valore della corrente ai morsetti dell’induttanza all’inizio del transitorio e definisce la cosiddetta condizione iniziale o corrente di precarica;

R_TH: definisce la resistenza equivalente di Thevenin sentita dalla induttanza durante l’evoluzione caratteristica del transitorio;

ττττ = L/RTH: definisce la costante di tempo caratteristica della dinamica del transitorio relativo alla rete elettrica a cui l’induttanza è connessa.

Resta da precisare che la tensione v_L(t) ai morsetti dell’induttanza L e la corrente i_X(t) circolante nella resistenza R1 NON sono variabili di stato, cioè all’istante di commutazione dell’interruttore S manifesteranno una discontinuità di seconda specie, caratterizzata dalle relazioni vL(t_O⁻⁻⁻⁻) ≠≠≠≠ vL(t_O⁺) e i_X(t_O⁻⁻⁻⁻) ≠≠≠≠ iX(t_O⁺).

a₁) Sia –300ms<t<0s. L’interruttore S è nello STATO di APERTO da lungo tempo, di certo vi è posto da un tempo maggiore del tempo di assestamento TA; pertanto, l’induttanza L si trova a regime e quindi è modellata dal bipolo equivalente corto circuito come si mostra in figura 2a. La legge di Kirchhoff delle correnti applicata al nodo αααα consente di relazionare nella forma seguente:

) 0 ( )

0

(

⁻

+

_S

=

_X ⁻

L

I i

i

Pure il ricorso alla legge di Kirchhoff delle tensioni applicata alla maglia centrale, nel verso indicato in figura 2a, permette di concludere quanto segue:

) 0 ( )

0 ( ) (

) 0 ( )

0 ( )

0

(

⁻

=

_{1 X} ⁻

+

_{3 L} ⁻

⇒

_m

−

₁

⋅

_X ⁻

=

_{3 L} ⁻

X

m

i R i R i r R i R i

r

, ovvero:

r_mi_X(t) iL(t) R1

L

i_X(t)

I

S

(figura–2)

S

E

S ++++

−

−

−

−

ı + + + +

R₂ v_L(t)

R3

rmiX(0^-) iL(0^-) R₁

iX(0^-)

I

S

(figura2a – rete valida a t = 0^-)

S

E

S ++++

−

−

−

−

ı + + + +

R₂ v_L(0^-)

R₃

+ + + + α α

α α

S m L

m L

S L

m

R i I R i r R R i R r I

r − ) ⋅ [ ( 0

⁻

) + ] = ( 0

⁻

) ^⇒ ( − − ) ⋅ ( 0

⁻

) = ( − ) ⋅

(

_{1 3 1 3 1}

Pertanto, si perviene alla determinazione della corrente iL(0^-) caratterizzata dalla relazione:

S m

m

L

I

R R r

r

i R ⋅

−

−

= −

−

) (

) ) (

0 (

3 1

1

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

i

_L

3 A

4 6 2 ) 2 5 3 (

6 ) 3 5 ) ( 0

( = −

−

= ⋅

−

−

⋅

= −

−

Ricordando quanto già sancito dall’applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti al nodo αααα, si determina la relazione che definisce la corrente i_X(0^-); si ottiene, infatti, quanto segue:

S m

S m X

S L

X

I

R R r

I r i R

I i

i +

−

−

⋅

= − + ⇒

=

^{− −}

−

) (

) ) (

0 ( )

0 ( ) 0 (

3 1 1

Svolgendo i dovuti passaggi algebrici e le necessarie semplificazioni si ottiene:

S m

m m m

S m

S m

X

I

R R r

R R r r R R

R r

I R R r I r

i R ⋅

−

−

−

− +

= −

−

−

⋅

−

− +

⋅

= −

−

) (

) (

) (

) (

) ) (

0 (

3 1

3 1 1

3 1

3 1

1 , da cui si ha:

) ) (

0 (

3 1

3

m S

X

R R r

I i R

− +

= ⋅

−

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

i

_X

3 A

4 12 ) 3 2 5 (

6 ) 2

0

( = =

− +

= ⋅

−

a2) Sia 0<t<∞∞∞∞.L’interruttoreScommuta,all’istantet=0s,dallaposizioneapertoalla posizione chiuso e ivi permane per una durata infinita. Il transitorio caratterizzante l’evoluzione temporale

delle grandezze elettriche di interesse può studiarsi con riferimento alla rete riportata in figura 2b. Per ispezione diretta si evince la validità delle seguenti scritture:

2 2

2

) 0 (

)

( R

E R

v I E

V

v

_L ^S

−

^L

∞ =

^S

=

=

∞

L’applicazione della legge di Kirchhoff al nodo ααα porge la relazione, come di seguito α riportata:

)

3

( I I

i

_X

∞ =

_S

+

⇒⇒⇒⇒

I

₃

= i

_X

( ∞ ) − I

_S

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia indicata, percorsa in senso orario consente di relazionare nella seguente forma:

) ( ]

) ( [ )

( )

( )

( ∞ =

_{1 X}

∞ +

_{3 3}

^⇒

_{1 X}

∞ +

₃

⋅

_X

∞ −

_S

=

_{m X}

∞

X

m

i R i R I R i R i I r i

r

, da cui si ottiene:

S X

m S

X m X

X

R i r i R I R R r i R I

i

R

₁

( ∞ ) +

₃

( ∞ ) − ( ∞ ) =

₃

^⇒ (

₁

+

₃

− ) ⋅ ( ∞ ) =

₃

Si perviene, pertanto, alla relazione finale che determina la corrente i_X(∞∞∞); si ha infatti: ∞

) ) (

(

3 1

3 m S

X

R R r

I i R

−

= +

∞

⇒

i

_X

3 A

4 12 ) 3 2 5 (

6 ) 2

( = =

− +

= ⋅

∞

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti al supernodo di corrente ΣΣΣΣ consente poi di relazionarecome di seguito indicato:

S X

L L

S

X

I I i i i I I

i ( ∞ ) +

₂

= + ( ∞ ) ^⇒ ( ∞ ) = ( ∞ ) +

₂

−

Sostituendo l’espressione di i_X(∞∞∞), in precedenza calcolata, si perviene alla relazione che definisce ∞ la corrente i_L(∞∞∞∞); si ottiene, infatti:

S S m S

L

I

R E r R R

I

i R + −

−

= +

∞

2 3

1

)

3

(

, ovvero:

m

S S

m S

S

L

R R r

I R I r R I

R R i E

− +

−

− + −

=

∞

3 1

3 1

3 2

) ) (

(

⇒

m S m

S

L

R R r

I R r R i E

− +

⋅ + −

=

∞

3 1

1 2

) ) (

(

OSSERVAZIONE. Assai appropriato risulta il ricorso al Principio di Sovrapposizione degli Effetti rmiX(∞∞∞∞) iL(∞∞∞∞)

R1

iX(∞∞∞∞)

I

S

(figura2b – rete valida per t = →→→→∞∞∞∞)

S

E

S ++++

−

−

−

−

ı + + + +

R₂

vL(∞∞∞∞)

R

₃

+ + + + α

α α α

I

2

I

3

Σ Σ Σ

Σ

per il calco del valore della corrente i_L(∞∞∞∞), ricorso, appunto, completamente giustificato proprio in ossequio alla relazione che esprime la suddetta corrente appena trovata. Infatti, si ha:

a₂₁) Agisce I_S con E_S=0V. La rete lineare da studiare è mostrata in figura 2c. Per ispezione diretta si evince quanto segue:

) 0 0 (

) (

2

2 ¹

1

∞ =

−

⇒ =

=

∞ R

I v

v

_L ^L

La legge di Kirchhoff delle correnti applicata alnodoααααconsentedirelazionarecomesegue:

) ( )

(

1

1

∞ =

_S

+

_L

∞

X

I i

i

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia evidenziata in figura 2c, percorsa in senso orario porge la scrittura:

) ( )

( )

(

1 1

1

∞ =

3 _L

∞ +

1 _X

∞

X

m

i R i R i

r

, ovvero:

) ( ]

) ( [ ) (

) ( )

( )

( r

_m

− R

1

⋅ i

_X1

∞ = R

3

i

_L1

∞ ⇒ r

_m

− R

1

⋅ i

_L1

∞ + I

_S

= R

3

i

_L1

∞

Svolgendo i necessari passaggi algebrici e le conseguenti semplificazioni si ottengono le scritture:

) ( )

( ) ( )

( r

_m

− R

1

⋅ i

_L1

∞ + r

_m

− R

1

⋅ I

_S

= R

3

i

_L1

∞

⇒

( r

_m

R

₁

R

₃

) i

_L

( ) ( r

_m

R

₁

) I

_S

1

∞ = − −

⋅

−

−

Si conclude esplicitando la seguente relazione:

) (

) ) (

(

3 1

1

1

m S m

L

R R r

I R i r

− +

⋅

= −

∞

a₂₁) Agisce E_S con I_S=0V. Laretelineareda studiare è mostratain figura 2d.Laleggedi Kirchhoff delle tensioni applicata alla maglia indicata in figura 2d, percorsa in senso orario,valida quantodi seguito riportato:

) ( )

( )

(

2 2

2

∞ =

3 _X

∞ +

1 _X

∞

X

m

i R i R i

r

, cioè:

0 ) ( )

( R

3

+ R

1

− r

_m

⋅ i

_X2

∞ =

, da cui si ha:

0 )

2

( ∞ =

i

X

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti al nodo βββ produce la relazione: β

) ( )

(

2

2

∞ +

2

=

_L

∞

X

I i

i

⇒

( )

2

= i

_L2

∞ I

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia di destra, considerato inoltre che per ispezione diretta si deduce che v_L2(∞∞∞∞)=0V, consente di relazionare nella seguente forma:

) ( 0

)

(

2

2

∞ =

2 2

⇒ − =

2

∞

−

_{L S L}

S

v R I E R i

E

Pertanto, si conclude con la seguente relazione:

( )

₂

2

E R

i

_L

∞ =

_S

Il Principio di Sovrapposizione degli Effetti, attesa la linearità della rete, assicura quanto riportato:

2 3

1 1

) (

) ) (

( ) ( )

(

1 2

R

E r

R R

I R i r

i

i

^S

m S m

L L

L

+

− +

⋅

= −

∞ +

∞

=

∞

Resta così confermato quanto ricavato per altra via al punto a2). La sostituzione dei dati forniti dalla traccia consente di determinare il valore di iL(∞∞∞); si ottiene infatti: ∞

A

i

_L

5 3 5 2

4 12 6

30 ) 3 2 5 (

6 ) 5 3 ) (

( + = − + = − + =

− +

⋅

= −

∞

a₃) Calcolo della resistenza equivalente di Thevenin R_TH. Larete da analizzare viene mostrata in figura 2e in cui è evidenziato il generatore sonda VTX e il contestuale spegnimento delle sorgenti indipendenti esterne. Per ispezione diretta si evince con immediatezza che I2 = VTX/R2.

rmiX1(∞∞∞) ∞ i_L1(∞∞∞)∞ R₁

iX1(∞∞∞∞)

I

S

(figura2c–rete valida per t=→→∞→→∞∞ con E∞ _S=0)

ı + + + + S

R₂

vL1(∞∞∞∞)

R

3

+ + + + α

α α α

I

2

rmiX2(∞∞∞∞) iL2(∞∞∞∞) R₁

iX2(∞∞∞∞)

(figura2d–rete valida per t=→→→→∞∞∞ con I∞ S=0)

ı + + + + S

R₂

v_L2(∞∞∞) ∞

R

3

+ + + +

β β β β

I

2

+ + + +

−

−

−

E_S

−

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia di sinistra di figura 2e, percorsa in senso antiorario, convalida la relazione che di seguito si riporta:

X X

X m

TX

r i R i R i

V − = −

₃

−

₁ , ovvero:

X m

TX

r R R i

V = ( −

₁

−

₃

) ⋅

, da cui:

) ( r R

₁

R

₃

i V

m TX

X

= − −

La legge di Kirchhoff delle correnti applicata al nodo βββ definisce la seguente scrittura: β

X TX

TX

X

I I I I i

i + =

₂

⇒ =

₂

−

Attivando le dovute sostituzioni, si ottiene il legame cercato fra la tensione VTX e la corrente ITX

specifiche del generatore sonda; infatti si relaziona come segue:

 



 



− + +

⋅

− =

− −

=

−

= ( )

1 1

)

(

_{1 3 2 1 3}

2 2

m TX

m TX TX

X

TX

V R R R r

R R r

V R

i V I I

Ricordando la relazione costitutiva della resistenza equivalente RTH di Thevenin si ottiene:

 



 



− + +

=

 



 



− + +

⋅

=

=

=

=

) (

1 1

1

) (

1 1

3 1 2

3 1 2

0 0

m m

TX

TX

E TX I TX TH

r R R R

r R R V R

V I

R V

S S

, ovvero:

)]

(

[ _{2 1 3 m}

TH R R R r

R = + − ⇒

) (

) (

3 2 1

3 1 2

m m

TH R R R r

r R R R R

− + +

− +

= ⋅

La sostituzione dei valori forniti dalla traccia consente di concludere come segue:

Ω

=

⋅ =

− = + +

− +

= ⋅

− + +

− +

= ⋅ 2,4

10 24 10

4 6 ) 3 2 6 5 (

) 3 2 5 ( 6 ) (

) (

3 2 1

3 1 2

m m

TH R R R r

r R R R R

Il transitorio, quindi, sarà determinato dalle prestazioni dinamiche dovute alla costante di tempo ττττ che nello specifico è definita dalla relazione costitutiva:

R s L

TH

1 , 4 0

, 2

10 4 , 2 4

, 2

10

240

^{3 1}

⋅ =

⋅ =

=

=

−

−

τ

La relazione costitutiva caratteristica della evoluzione temporale della corrente iL(t) ai morsetti dell’induttanza L per la rete in analisi, in cui si ricorda che l’istante iniziale è tO =0s, è data da:

] [ )

3 2 ( 2 )]

3 ( 2 [ 2 )]

0 ( ) ( [ ) ( )

( t i i i e e

^0,1

e

¹⁰

A

i

_L

=

_L

∞ −

_L

∞ −

_L

⋅

^−tτ

= − − − ⋅

^−t

= − + ⋅

^{− t}

]

[ 5

2 )

( t e

¹⁰

A i

_L

= − ⋅

^{− t}

L’evoluzione temporale della tensione vL(t) ai morsetti dell’induttanza L viene determinata dalla seguente relazione:

] [ )

3 2 ( 4 , 2 )]

3 ( 2 [ 4 , 2 )]

0 ( ) ( [ )

( t R i i e e

^0,1

e

¹⁰

V

v

_L

=

_TH

⋅

_L

∞ −

_L

⋅

^−tτ

= ⋅ − − ⋅

^−t

= ⋅ + ⋅

^{− t}

]

[ 12

5 4 , 2 )

( t e

¹⁰

e

¹⁰

V

v

_L

= ⋅ ⋅

^{− t}

= ⋅

^{− t} ⇒

v

_L

( 0

⁺

) = 12 ⋅ e

⁰

= 12 V

Si conferma così la discontinuità della tensione ai morsetti dell’induttanza L all’istante t=0s.

a₄) Determinazione della corrente i_X(t) per 0<t<∞∞∞∞. La rete valida per l’analisi del transitorio ai fini del calcolo dell’evoluzione temporale della corrente iX(t) circolante nella resistenza R1 viene mostrata in figura2f. La legge di Kirchhoff delle correnti applicata al supernodo ΣΣΣ consente così di Σ relazionare come segue:

) ( ) ( )

( )

( t i t I

₂

I

₂

I i t i t i

I

_S

+

_L

=

_X

+ ⇒ =

_S

+

_L

+

_X rmiX ITX

R₁

iX

(figura2e–rete valida per il calcolo di RTH)

ı ^{+ + + +} S

R₂

VTX

R

3

+ + + +

β β β β

I

2

+ + + +

−

− −

−