• integrali primi e separazione delle variabili: hamiltoniane della forma

Esonero di Meccanica Razionale e di Meccanica Classica e Ana- litica (Modulo III) del 07-06-2021.

1. Discutere il seguente argomento:

• integrali primi e separazione delle variabili: hamiltoniane della forma

H(q ₁ , p ₁ , .. q _l , p _l , g(q _l+1 , p _l+1 , .. , q _n , p _n ), t) (si discuta soltanto di questo prob- lema senza arrivare alla completa separabilit` a). [10 pt]

2. Risolvere i seguenti esercizi:

• Si consideri la trasformazione indipendente dal tempo Q = ln(q), P = qp.

Usando le parentesi di Poisson si mostri che ` e completamente canonica. Si trovi la funzione generatrice di seconda specie. Si scrivano q e p in funzione di Q e P e si scriva la nuova hamiltoniana H ⁰ espressa nelle variabili Q, P (la vecchia hamiltoniana sia H = ^p

₂ ^q

). Si scrivano le equazioni di Hamilton per le nuove variabili e si risolvano. Si usi questo risultato per dare la soluzione del problema hamiltoniano nelle vecchie variabili; [10 pt]

• si consideri la hamiltoniana H = ^p ₂

+ _q

^q

1

+p

. Si trovino le due variabili azione A ₁ e A ₂ in funzione delle due costanti del moto α ₁ = ^q

^+p ₂

e α ₂ = E = ^p ₂

+ _2α ^q

1

. Si esprima l’energia in funzione delle variabili azione e si trovino le due frequenze Ω ₁ e Ω ₂ . [10 pt]

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