1 I polinomi
1.1 Terminologia sui polinomi
Un polinomio `e un’ espressione algebrica data dalla somma di pi`u monomi.
• I termini di un polinomio sono i monomi che compaiono come addendi nel polinomio.
• Il termine noto `e l’eventuale termine di grado zero.
• Il grado di un polinomio `e il massimo dei gradi dei suoi termini.
Esempio 1 Consideriamo il polinomio 3xy4− 2x3y2z + x3y3z + 3.
I termini del polinomio sono: 3xy4, −2x3y2z, x3y3z, +3;
Il polinomio ha termine noto uguale a +3;
Il polinomio ha grado 7;
Definizione 1 Un polinomio si dice omogeneo quando tutti i suoi termini hanno lo stesso grado.
5ab2+ 3a2b + 3a3+ b3 `e un polinomio omogeneo perch`e tutti i termini hanno grado 3;
2ab2+ 4a2b + 5a3+ b3+ 2 non `e omogeneo perch`e il termine noto ha grado 0, mentre tutti gli altri termini hanno grado 3.
Definizione 2 Un polinomio si dice ordinato rispetto ad una lettera se i suoi termini sono disposti con esponenti di quella lettera in ordine de- crescente o crescente.
2x3y − 12x2+ 3xy2 `e ordinato rispetto ad x ma non rispetto ad y.
Definizione 3 Un polinomio si dice completo rispetto ad una lettera quando compaiono tutte le potenze di quella lettera, da quella di grado massimo a quella di grado zero.
−2x2y2+ 3x + 1 `e completo rispetto alla lettera x, ma non rispetto alla lettera y in quanto manca il termine di primo grado in y.
1.2 Operazione fra polinomi
1.2.1 Somma e differenza
Per eseguire la somma o la differenza di due o pi`u polinomi si procede come segue:
- si tolgono le parentesi ricordando che si lasciano inalterati i segni dei termini all’interno di una parentesi preceduta dal segno pi`u, mentre si cambiano i segni dei termini all’interno di una parentesi preceduta dal segno meno;
- si riducono gli eventuali termini simili.
Esempio 2 Semplificare l’espressione: (−2x+5y −1)−(x+y −2)+(x−2y) (−2x + 5y − 1) − (x + y − 2) + (x − 2y) =
= −2x + 5y − 1 − x − y + 2 + x − 2y =
= −2x + 2y + 1 1.2.2 Moltiplicazione
Per eseguire la moltiplicazione tra due polinomi:
- si moltiplica ciascun termine dell’uno per tutti i termini dell’altro;
- si riducono gli eventuali termini simili.
Esempio 3 a)
2x2(x3− 3x2 + 1) =
= 2x2· x3 + 2x2(−3x2) + 2x2· 1 =
= 2x5− 6x4+ 2x2 b)
(2x + 3)(x − 3) = 2x · x + 2x · (−3) + 3 · x + 3 · (−3) =
= 2x2− 6x + 3x − 9
= 2x2− 3x − 9 c)
(x2 + 2x − 2)(x − 3) = x2 · x + x2(−3) + 2x · x + 2x(−3) − 2 · x − 2(−3) =
= x3− 3x2 + 2x2− 6x − 2x + 6 =
= x3− x2− 8x + 6
1.2.3 Prodotti notevoli
- Somma di due monomi per la loro differenza (A + B)(A − B) = A2− B2 a) (x + 3y)(x − 3y) = (x)2− (3y)2 = x2− 9y2
b) (4y − 2x)(−4y − 2x) = (−2x)2 − (4y)2 = 4x2− 16y2
- Quadrato di un binomio
(A + B)2 = A2+ 2 · A · B + B2
a) (2x + y)2 = (2x)2+ 2 · (2x) · (y) + (y)2 = 4x2+ 4xy + y2
b) (x−3y)2 = [x+(−3y)]2 = x2+2·x·(−3y)+(−3y)2 = x2−6xy+9y2
- Cubo di un binomio
(A + B)3 = A3+ 3A2B + 3AB2+ B3
a) (−2x + 3)3 = (−2x)3+ 3 · (−2x)2· 3 + 3 · (−2x) · 32+ 33 =
= 8x3+ 36x2− 54x + 27
b) (x−3)3 = [x+(−3)]3 = (x)3+3·x2·(−3)+3·(x)·(−3)2+(−3)3 =
= x3 − 9x2+ 27x − 27
- Potenza n-esima di un binomio
Lo sviluppo della potenza n-esima di (A + B) `e un polinomio omo- geneo di grado n, ordinato secondo le potenze decrescenti di A (a partire da quella di grado n) e crescenti di B (a partire da quella di grado 0), i cui coefficienti sono quelli della n-esima riga del triangolo di Tartaglia. Il triangolo di Tartaglia `e il seguente:
1 ←−riga 0
1 1 ←−riga 1
1 2 1 ←−riga 2
1 3 3 1 ←−riga 3
1 4 6 4 1 ←−riga 4
1 5 10 10 5 1 ←−riga 5
1 6 15 20 15 6 1 ←−riga 6
Il procedimento per costruirlo `e molto semplice. Ogni riga inizia e ter- mina con 1. Se indichiamo con x e y due numeri successivi posti su di una stessa riga, l’elemento posto tra di essi, nella riga immediatamente successiva, `e la loro somma. Per esempio, la riga 5 pu`o essere dedotta dalla riga 4 come segue:
1 4 6 4 1 riga 4
∧ ∧ ∧ ∧ ∧
. 1 + 4 4 + 6 6 + 4 4 + 1 &
↓ ↓ ↓ ↓
1 5 10 10 5 1 riga 5
Continuando con questo procedimento si possono costruire tante righe quante si vogliono del triangolo di Tartaglia. Confrontiamo i coefficienti delle potenze di A + B con esponente uno, due e tre, con i numeri che compaiono nelle corrispondenti tre righe del triangolo:
Come possiamo notare:
(A + B)1 = 1 · A + 1 · B
(A + B)2 = 1 · A2+ 2 · AB + 1 · B2
(A + B)3 = 1 · A3+ 3 · A2B + 3 · AB2+ 1 · B3
– i coefficienti di (A + B)1 coincidono con i numeri della riga 1 del triangolo di Tartaglia;
– i coefficienti di (A + B)2 coincidono con i numeri della riga 2 del triangolo di Tartaglia;
– i coefficienti di (A + B)3 coincidono con i numeri della riga 3 del triangolo di Tartaglia. In generale, i numeri della n-esima riga del triangolo di Tartaglia coincidono con i coefficienti dello sviluppo di (A + B)n.
Esempio 4 a) Calcolare (a + b)4.
Lo sviluppo della potenza sar`a un polinomio omogeneo, ordinato secondo le potenze decrescenti di a(iniziando da quella di grado 4) e crescenti di b(a partire da quella di grado 0); si tratter`a quindi di un polinomio del tipo:
· · · a4b0 + · · · a3b1+ · · · a2b2+ · · · a1b3+ · · · a0b4
Restano da determinare i coefficienti. In base alle osservazioni precedenti, essi coincidono con i numeri della quarta riga del tri- angolo di Tartaglia:
1 4 6 4 1
Possiamo dunque completare il polinomio scrivendo anche i coef- ficienti:
1 · a4b0+ 4 · a3b1+ 6 · a2b2+ 4 · a1b3 + 1 · a0b4
In definitiva:
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2+ 4ab3+ b4 b) Calcolare (x2+ 3)4.
Utilizziamo lo sviluppo che abbiamo ricavato nell’esempio prece- dente:
(a + b)4 = a4+ 4a3b + 6a2b2+ 4ab3+ b4.
Sostituendo x2 al posto di a e 3 al posto di b otteniamo che:
(x2+3)4 = (x2)4+4(x2)3·3+6(x2)2·32+4(x2)·33+34 = x8+12x6+54x4+108x2+81
1.2.4 Divisione
Teorema 1 (Teorema della divisione)
Dati due polinomi nella variabile x, A(x) di grado n e B(x) di grado m(m 6=
0) con n ≥ m, esistono sempre e sono unici due polinomi Q(x) ed R(x) tali che
A(x) = B(x) · Q(x) + R(x)
dove il grado di Q(x) `e n − m e il grado di R(x) `e minore del grado di B(x).
Q(x)`e detto polinomio quoziente R(x)`e detto polinomio resto
Teorema 2 (Algoritmo della divisione)
1. Si ordinano i due polinomi secondo le potenze decrescenti delle variabili e, se il dividendo non `e completo, lo si riscrive completando i termini mancanti con termini aventi coefficienti nulli;
2. si divide il termine di grado massimo del dividendo per il termine di grado massimo del divisore: il risultato ottenuto `e il primo termine del quoziente;
3. si moltiplica il primo termine del quoziente per tutti i termini del di- visore e si cambia il segno ad ogni termine. Si somma il polinomio ottenuto con il dividendo ed il risultato `e il primo resto parziale;
4. se il resto parziale ha grado minore di quello del divisore, la divisione
`e terminata, altrimenti si ripetono i passi 2 e 3, assumendo come dividendo il primo resto parziale. Si continua il procedimento finch´e non si trova un resto parziale con grado minore di quello del divisore:
quest’ultimo resto parziale `e il resto della divisione.
Esempio 5 Eseguire la divisione: (2x2+ 4x3 − 2x − 1) : (2x2+ 1).
Si osservi che il polinomio dividendo `e completo, ma non `e ordinato secondo le potenze decrescenti di x. Perci`o va prima ordinato per poi costruire lo schema della divisione.
4x3 +2x2 −2x −1 2x2 +1
−4x3 −2x 2x +1
+2x2 −4x −1
−2x2 −1
−4x −2
Si conclude che:
- il quoziente `e Q(x) = 2x + 1 - il resto `e R(x) = −4x − 2
Esempio 6 Eseguire la divisione: (x3− 12x2+ 3x + 1) : (2x − 1).
Secondo lo schema della divisione, si ha:
x3 −12x2 +3x +1 2x −1
−x3 +12x2 12x2 +32
3x +1
−3x +32 +52
- il quoziente `e Q(x) = 12x2+32 - il resto `e R = 52
Dato un polinomio P (x) di grado n `e possibile stabilire, senza eseguire la divisione, se `e divisibile per un binomio del tipo (x − c), con c numero qual- siasi.
Si osservi infatti che se P (x) si divide per il binomio (x − c) di grado 1, si ottiene un quoziente di grado n − 1 ed un resto di grado zero (una costante)
P (x) = Q(x)(x − c) + R.
Sostituendo c al posto di x si ha
P (c) = Q(c)(c − c) + R ossia
P (c) = R.
Si ha il seguente importante risultato.
Teorema 3 (Teorema del resto)
Se un polinomio P (x), di grado maggiore o uguale a 1, viene diviso per (x−c), il resto della divisione `e costante ed `e uguale a P (c).
Esempio 7 Utilizzando il Teorema del Resto, calcolare il resto R della divi- sione (2x3+ x2− 5) : (x + 2).
R= P (−2) = 2 · (−2)3+ (−2)2− 5 = −17
Esempio 8 Determinare il valore di r per cui la divisione (x2 − 2x − 1) : (x − r), abbia resto 2.
Dal Teorema del resto, il valore di r cercato `e quel valore per cui P (r) = 2.
P (r) = r2− 2r − 1 = 2 ⇒ r2− 2r − 3 = 0, da cui
r1,2 = 2 ±√ 4 + 12
2 ⇒ r1 = 3, r2 = 1.
Abbiamo trovato due valori di r che soddisfano la condizione richiesta.
Esempio 9 1. Verificare che (x − 2) `e un fattore di x8− 256.
E sufficiente verificare che x` 8− 256 `e divisibile per (x − 2), cio`e che il resto nella divisione di P (x) = x8− 256 per (x − 2) `e zero. Applicando il Teorema del Resto, ci`o equivale a dimostrare che P (2) = 0.
Risulta infatti P (2) = 28− 256 = 0.
2. Scrivere x8− 256 come prodotto di due polinomi.
Dal punto precedente si ha che x8− 256 si pu`o scrivere come prodotto fra x − 2 e un polinomio di grado 7. Per determinare tale polinomio `e possibile applicare il
Principio di identit`a dei polinomi
Due polinomi P1(x) e P2(x) nella stessa variabile x si dicono identici se e solo se assumono valori uguali per ogni valore attribuito ad x.
Corollario 1 Condizione necessaria e sufficiente affinch`e due poli- nomi siano identici `e che siano uguali i coefficienti delle potenze delle variabili aventi lo stesso esponente.
Risulta dunque
x8− 256 = (x − 2)(x7+ ax6+ bx5+ cx4+ dx3+ ex2+ f x + g)
da cui svolgendo il prodotto al secondo membro e ordinando secondo le potenze decrescenti di x si ha
x8−256 = x8+(a−2)x7+(b−2a)x6+(c−2b)x5+(d−2c)x4+(e−2d)x3+ +(f − 2e)x2+ (g − 2f )x − 2g.
Per il principio di identit`a dei polinomi deve essere a − 2 = 0 ⇒ a = 2 b − 2a = 0 ⇒ b = 4 c − 2b = 0 ⇒ c = 8 d − 2c = 0 ⇒ d = 16 e − 2d = 0 ⇒ e = 32 f − 2e = 0 ⇒ f = 64
−2g = −256 ⇒ g = 128 Possiamo allora concludere che
x8− 256 = (x − 2)(x7+ 2x6+ 4x5+ 8x4+ 16x3 + 32x2+ 64x + 128)
Teorema 4 (Teorema di Ruffini)
Condizione necessaria e sufficiente affinch´e un polinomio P (x) sia divisibile per il binomio (x − c) `e che P (c) = 0.
Esempio 10 (Applicazione del Teorema di Ruffini) La somma di due potenze di uguale grado non `e mai divisibile per la differenza delle basi ed `e divisibile per la somma delle basi soltanto se l’esponente `e dispari.
(xn+ an)
`
e divisibile per (x + a) se n `e dispari.
Inf atti P (−a) = (−a)n+ an= 0 solo se n `e dispari.
non `e mai divisibile per (x − a).
Inf atti P (a) = (a)n+ an= 2an qualunque sia n.
1. (x2+a2) non `e divisibile per (x−a). Infatti, P (a) = (a)2+a2 = 2a2 6= 0.
2. (x3+a3) non `e divisibile per (x−a). Infatti, P (a) = (a)3+a3 = 2a3 6= 0.
3. (x2 + a2) non `e divisibile per (x + a). Infatti, P (−a) = (−a)2+ a2 = 2a2 6= 0.
4. (x3 + a3) `e divisibile per (x + a). Infatti, P (−a) = (−a)3 + a3 =
−a3+ a3 = 0.
Esempio 11 La differenza di due potenze di uguale grado `e sempre divisibile per la differenza delle basi ed `e divisibile per la somma delle basi soltanto se l’esponente `e pari.
(xn− an)
`
e divisibile per (x + a) se n `e pari.
Inf atti P (−a) = (−a)n− an = an− an = 0 solo se n `e pari.
`e sempre divisibile per (x − a).
Inf atti P (a) = (a)n− an = 0 qualunque sia n.
1. (x2− a2) `e divisibile per (x − a). Infatti, P (a) = (a)2− a2 = 0.
2. (x3− a3) `e divisibile per (x − a). Infatti, P (a) = (a)3− a3 = 0.
3. (x2− a2) `e divisibile per (x + a). Infatti, P (−a) = (−a)2− a2 = 0.
4. (x3− a3) non `e divisibile per (x + a). Infatti, P (−a) = (−a)3− a3 =
−a3− a3 = −2a3 6= 0.
Teorema 5 (Regola di Ruffini)
Si pu`o applicare quando il divisore `e un binomio del tipo (x−c). Il dividendo, se non lo `e gi`a, va ordinato secondo le potenze decrescenti di x e completato.
I passaggi da eseguire, nel caso della divisione del polinomio a3x3+ a2x2+ a1x + a0 per (x − c), sono:
a3 a2 a1 a0 c
a3 a2 a1 a0
c a3c · · · a3 a2+ a3c · · ·
a3 a2 · · · · c a3c · · · · a3 a2+ a3c · · · R
Esempio 12 Fattorizzare (x3− a3).
Dal Teorema di Ruffini si ha che (x3 − a3) `e divisibile per (x − a). Infatti risulta P (a) = (a)3− a3 = 0. Calcoliamo il quoziente con la regola di Ruffini
+1 0 0 −a3
+a +a +a2 +a3
+1 +a +a2 0
x3− a3 = (x − a)(x2+ ax + a2) Esempio 13 Fattorizzare (x3+ a3).
Poich`e abbiamo la somma di due potenze di ugual grado, e poich`e l’esponente
`e dispari, per quanto osservato in precedenza si ha che (x3 + a3) `e divisibile per (x + a). Calcoliamo il quoziente con la regola di Ruffini
+1 0 0 +a3
−a −a +a2 −a3
+1 −a +a2 0
x3+ a3 = (x + a)(x2− ax + a2)
Osservazione 1 Poich`e capita frequentemente di dover scomporre somme o differenze di cubi, `e bene ricordare queste scomposizioni:
x3+ a3 = (x + a)(x2− ax + a2) x3− a3 = (x − a)(x2+ ax + a2)
Dovendo dividere il polinomio P (x) per un binomio del tipo ax−b oppure ax + b si opera nel seguente modo:
- si divide P (x) ed il binomio ax − b (oppure ax + b) per il coefficiente a;
- si trovano i coefficienti del quoziente applicando la Regola di Ruffini;
- il resto trovato si moltiplica per a(da una nota propriet`a della divisione risulta infatti che dividendo o moltiplicando il dividendo ed il divisore per uno stesso numero il quoziente non cambia, il resto per`o rimane moltiplicato o diviso per quel numero).
Esempio 14 Eseguire la divisione (4x3− 7x2+ 5x − 2) : (2x − 1).
Dividendo per 2 il dividendo ed il divisore si ottiene:
(2x3− 7
2x2+5
2x − 1) : (x −1 2) da cui applicando la Regola di Ruffini si ha:
2 −72 52 −1
1
2 1 −54 58
2 −52 54 −38
Q(x) = 2x2− 52x + 54 R(x) = −38 · 2 = −34.
Nel caso in cui occorre soltanto verificare che un certo polinomio intero in x, P (x), `e divisibile, oppure no, per il binomio ax − b (oppure ax + b), basta calcolare il resto che `e dato da
P
Ãb a
! Ã
oppure P
Ã
−b a
!!
.
Esempio 15 Stabilire se il polinomio 2x3 + 3x2 − 8x + 3 `e divisibile per (2x − 1).
E sufficiente calcolare il resto della divisione:` R = P³1
2
´= 2³1 2
´3
+ 3³1 2
´2
− 8³1 2
´+ 3 = 1 4+ 3
4− 4 + 3 = 0.
1.3 Scomposizione di un polinomio in fattori
Definizione 4 Si definisce irriducibile qualsiasi polinomio che non pu`o essere scomposto come prodotto di polinomi di grado minore.
Scomporre un polinomio vuol dire ridurlo a prodotti di polinomi che sono irriducibili.
Per scomporre un polinomio non esiste una regola generale da seguire. Ver- ranno indicati di seguito alcuni metodi da utilizzare nei diversi casi di scom- posizione.
1.4 Raccoglimento a fattore comune
Se i termini di un polinomio hanno tutti in comune uno o pi`u fattori, questi possono, per la propriet`a distributiva del prodotto rispetto alla somma, essere raccolti(o messi in evidenza). Il polinomio risulter`a allora scomposto nel prodotto tra il monomio formato da tutti i fattori comuni(cio`e il monomio M.C.D. dei termini del polinomio) ed il polinomio quoziente tra il polinomio dato ed il monomio raccolto. In altri casi si pu`o mettere in evidenza un polinomio.
Esempio 16 Scomporre in fattori i seguenti polinomi:
1. 15x6− 25x4+ 5x3
Essendo il M.C.D.{15x6, −25x4, 5x3} = 5x3, risulta:
15x6− 25x4+ 5x3 = 5x3· (3x3− 5x + 1) 2. 6a4b − 8a2b3+ 2a3b2
Essendo il M.C.D.{6a4b, −8a2b3, 2a3b2} = 2a2b, risulta:
6a4b − 8a2b3+ 2a3b2 = 2a2b · (3a2− 4b2+ ab) 3. 5a(a + b) + 3b(a + b) − a2(a + b)
Mettendo in evidenza il fattore polinomiale (a + b),comune a tutti i termini del polinomio,si ha:
5a(a + b) + 3b(a + b) − a2(a + b) = (a + b)(5a + 3b − a2)
1.5 Raccoglimento a fattore parziale
Se il polinomio `e del tipo:
ax + bx + ay + by
`e possibile mettere in evidenza, nei primi due termini, il fattore comune x e, negli ultimi due, il fattore comune y:
ax + bx + ay + by = x · (a + b) + y · (a + b) mettendo poi in evidenza il fattore (a + b) si ha:
ax + bx + ay + by = x · (a + b) + y · (a + b) = (a + b) · (x + y) Esempio 17 Scomporre in fattori i seguenti polinomi:
1. 3x + 6y − 2x2− 4xy
3x + 6y − 2x2− 4xy = 3 · (x + 2y) − 2x · (x + 2y) = (x + 2y) · (3 − 2x) 2. 13x2− 2xy + 13xy2− 2y3
1
3x2− 2xy + 1
3xy2 − 2y3 = 1
3x2+1
3xy2− 2xy − 2y3 =
= 1
3x · (x + y2) − 2y · (x + y2) = (x + y2) ·
µ1
3x − 2y
¶
1.6 Scomposizione mediante prodotti notevoli
Dato un polinomio da scomporre:
- qualunque sia il numero di termini si verifica la possibilit`a di effettuare il raccoglimento totale;
- si conta il numero di termini del polinomio e, se possibile, si segue la seguente tabella:
Se il polinomio ha: Pu`o essere riconducibile a:
¦ differenza o somma 2 termini di potenze di uguale grado 3 termini ¦ quadrato di un binomio
¦ trinomio del tipo x2+ (x1+ x2)x + x1· x2
¦ cubo del binomio
4 termini ¦ raccoglimento parziale a fattore comune
¦ differenza tra quadrato del binomio e quadrato di monomio e viceversa
Esempio 18 (Differenza di quadrati) Scomporre in fattori i seguenti bi- nomi:
• 4a2− 25b2 = (2a)2− (5b)2 = (2a + 5b)(2a − 5b)
• 16x4− 1 = (4x2)2− (1)2 = (4x2+ 1)(4x2− 1) = (4x2+ 1)[(2x)2− (1)2] = (4x2+ 1)(2x − 1)(2x + 1)
Esempio 19 (Somma e differenza di cubi) Scomporre in fattori i seguenti binomi:
• 125x3+ 1 = (5x)3+ (1)3 = (5x + 1)(25x2− 5x + 1)
• 8a3− 27b3 = (2a)3− (3b)3 = (2a − 3b)(4a2+ 6ab + 9b2)
Esempio 20 (Quadrato di binomio) Scomporre in fattori il seguente tri- nomio:
4x2+ 20x + 25 = (+2x)2+ 2(+2x)(+5) + (+5)2 = (2x + 5)2
Esempio 21 (Fattorizzazione di un trinomio del tipo x2+ sx + p ) Si supponga di dover fattorizzare un trinomio di secondo grado del tipo
x2+ sx + p con s e p numeri razionali.
E semplice vedere che se esistono due numeri x` 1 e x2 tali che x1+ x2 = s
x1· x2 = p
il trinomio si pu`o scomporre nel prodotto di due binomi, ossia x2 + sx + p = (x + x1)(x + x2).
Consideriamo ad esempio il trinomio x2− 17x + 30. Si cercano x1 e x2 tali
che x1+ x2 = −17
x1· x2 = 30
Si osserva che poich`e il prodotto fra x1 e x2 `e positivo, i due numeri cercati saranno concordi e poich`e la somma fra x1 e x2 `e negativa, `e facile vedere che i due numeri cercati sono: x1 = −15 e x2 = −2. Per cui risulta
x2− 17x + 30 = (x − 15)(x − 2)
Esempio 22 (Cubo di binomio) Scomporre in fattori i seguenti quadri- nomi:
• a3+ 6a2b + 12ab2+ 8b3 = (a)3+ 3(a)2(2b) + 3(a)(2b)2+ (2b)3 = (a + 2b)3
• 1 − 9x + 27x2 − 27x3 = (1)3 + 3(1)2(−3x) + 3(1)(−3x)2 + (−3x)3 = (1 − 3x)3
Esempio 23 (Raccoglimento parziale a fattore comune) Scomporre in fattori il seguente quadrinomio:
2x2+ 4x + 3xy + 6y = 2x(x + 2) + 3y(x + 2) = (x + 2)(2x + 3y)
Esempio 24 (Differenza tra quadrato del binomio e quadrato di monomio) Se il polinomio si presenta nella forma
a2+ 2ab + b2− c2 si pu`o vedere come
(a + b)2− c2 = [(a + b) + c][(a + b) − c].
Scomponiamo il seguente quadrinomio:
4x2+ 4x + 1 − 25y4 = (2x + 1)2− (5y)2 = (2x + 1 + 5y2)(2x + 1 − 5y2)
1.7 Fattorizzazione mediante la Regola di Ruffini
Per determinare una fattorizzazione di un dato polinomio Pn(x) di grado n, si ricorre, quanto possibile, alla Regola di Ruffini illustrata in precedenza.
Per determinare un fattore del tipo (x − a) della scomposizione di Pn(x), pu`o essere utilizzato il seguente risultato:
Teorema 6 Le radici razionali di un polinomio Pn(x), ossia i valori che sos- tituiti alla variabile x annullano il polinomio, sono da ricercare fra i rapporti dei divisori del termine noto e quelli del coefficiente del termine di grado massimo, presi sia con il segno positivo che con il segno negativo.
Esempio 25 Fattorizzare il polinomio P4(x) = x4+ 3x3− 11x2− 3x + 10.
I divisori del termine noto di P4(x) sono: ±1, ±2, ±5, ±10.
Si trova che P4(1) = 0 P4(−1) = 0 P4(2) = 0 P4(−5) = 0. Il polinomio P4(x) `e divisibile dunque per (x−1), (x+1), (x−2), (x+5). La fattorizzazione cercata `e data da:
P4(x) = (x − 1)(x + 1)(x − 2)(x + 5) .
Esempio 26 Fattorizzare il polinomio P3(x) = 3x3+ 2x2 − 3x − 2.
I divisori di 2 sono: ±1, ±2;
I divisori di 3 sono: ±1, ±3;
Quindi i possibili valori razionali che annullano P3(x) sono da ricercare tra:
±1, ±2, ±13, ±23.
P (1) = 3 + 2 − 3 − 2 = 0
P3(x) `e quindi divisibile per (x − 1). Calcoliamo il quoziente della divisione fra P3(x) e (x − 1) utilizzando la Regola di Ruffini
3 2 −3 −2
1 3 +5 +2
3 5 2 0
3x3+ 2x2− 3x − 2 = (3x2+ 5x + 2)(x − 1).
Consideriamo ora il polinomio P2(x) = 3x2+ 5x + 2 e fattorizziamolo utiliz- zando lo stesso metodo.
P (1) = 3 + 5 + 2 6= 0 P (−1) = 3 − 5 + 2 = 0 P2(x) `e quindi divisibile per (x + 1).
3 5 2
−1 −3 −2
3 +2 0
Da cui 3x2+ 5x + 2 = (x + 1)(3x + 2).
Il polinomio iniziale P3(x) pu`o quindi essere scomposto come 3x3+ 2x2− 3x − 3x − 2 = (x − 1)(x + 1)(3x + 2)
