INTRODUZIONE
MO M OD D EL E LL LO O M MA A T T E E M M A A T T I I CO C O P P ER E R L LA A P P RO R OG G E E T T T T A A ZI Z IO ON N E E D DI I U U N N I I ND N D UT U TT TO OR R E E
In questo capitolo viene presentato il modello matematico, sviluppato dal professor Luca d’Agostino [1], per il calcolo delle geometrie e delle prestazioni di un induttore per uso spaziale.
3.1 Calcolo della geometria di un induttore
I principali parametri geometrici che interessano la progettazione di un induttore rastremato sono riportati in figura 3.1.
Figura 3.1- Schema di riferimento iniziale
Si assumano come ipotesi principali le seguenti:
• Induttore elicoidale;
• Velocità angolare Ω;
• rT: raggio all’estremità (tip), costante;
• rH: raggio del mozzo (hub); variabile;
• P z( ): passo della palettatura;
• γ : angolo di pala;
• Flusso incomprimibile non viscoso ed adiabatico;
• Coefficiente di flusso pari a:
T T
Φ m
ρΩr πr 2
= &
;
• w z( ): velocità assiale;
• Flusso tridimensionale dato dalla sovrapposizione di
uˆ: flusso simmetrico completamente guidato (fully guided), con componente assiale (wˆ) radicalmente uniforme(ipotesi giustificabile dato l’alto valore della solidità delle pale degli induttori) ;
u%: correzione di vorticità bidimensionale.
u= +u uˆ % u u u v v v
w w
ˆ ˆ ˆ
= +
= +
=
%
%
3.2 Campo completamente guidato (Fully-guided flow field)
Con le ipotesi introdotte, le equazioni che governano il flusso sono:
(3.1)
Facendo riferimento alla figura 3.2 e ricordando la definizione di passo della palettatura si può scrivere:
1(3.2)
dove:
B z 0< ( ) 1≤ 2
Figura 3.2- Triangoli delle velocità all’entrata ed all’uscita della palettatura
Dall'equazione di continuità:
(3.3)
sostituendo la condizione (2.2), si ottiene:
(3.4)
u u
0 0
∇ ⋅ =
∇× =
γ z πr
P z tan ( ) 2
= ( )⇒
T T
T H T H
v r z Ωr w γ Ωr πrw P ΦΩr r w m
ρπ r r B r r B
2
2 2 2 2
ˆ( , ) tan 2 ˆ
ˆ ( ) ( )
= − = −
= =
− −
&
ru v rw ru w
u r r θ z r r z
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
1 ( ) ( ) 1 ( )
ˆ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 0
∇⋅ = ∂ +∂ + ∂ = ∂ + ∂ =
ru w
r r z
ˆ ˆ
∂( )= − ∂
∂ ∂
u ψ r θ v ψ
r 1∂
= ∂
∂
= − ∂
%
% Ed integrando con la condizione:
si può scrivere:
(3.5)
e quindi:
(3.6)
3.2.1 Introduzione della correzione di vorticità
Dato che il flusso è bidimensionale e la vorticità possiede una sola componente normale al piano del moto, ricordando le regole del potenziale vettoriale, è possibile porre questa componente della vorticità (ω3) uguale al laplaciano di una certa funzione scalare, che viene detta ψ:
Indicando quindi le componenti secondo gli assi, si può scrivere:
(2.7)
con ψ r θ( , ) “funzione di corrente”. La funzione di corrente è definita per soddisfare la condizione di continuità automaticamente. Per capire meglio, in figura 3.3 è riportato la rappresentazione grafica del problema.
Figura 3.3 - Rappresentazione grafica del problema
u rˆ( ) 0T = u r z dw
dz 1 ˆ ˆ( , )
=2
rT
u r z dw r
dz r ˆ 2
ˆ( , ) 1 2
= −
ω3 = −∇2ψ
ru v rw ψ ψ
u r r θ z r r θ θ r
2 2
1 ( ) ( ) 1
0
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∇⋅ = ∂ +∂ + ∂ = ∂ ∂ −∂ ∂ =
d w
dz P
ˆ 0
=
Sostituendo nella (3.1), la (3.2) , la (3.6) e la (3.7):
(3.8)
(3.9)
Scomponendo la (3.9) lungo gli assi (r θ z, , ):
(3.10) (3.11)
(3.12)
Partendo dalla (3.11) ed integrando con e seguenti condizioni:
(3.13)
si ottiene:
(3.14)
dove ca: corda assiale.
Usando la relazione (3.14) e l'equazione (3.2), si ha:
(3.15)
Quindi alle condizioni di progetto3(Φ=ΦD) si può scrivere l'andamento del profilo del mozzo dell'induttore come:
r z
θ
T z
r θ
e w rv u w e rv u
u e
r θ z z r r r θ
r e
d w w w ψ ψ
e πr e r Ω πr r
dz P z r r P r r r θ
2
2 2
2 2
( ) ( )
ˆ 1 ˆ ˆ 1
2 2 4 0
2
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∇× = ∂ − ∂ + ∂ − ∂ + ∂ −∂ =
∂ ∂ ∂ ∂
= + ∂ − + − −∂ ∂ − ∂ =
d w dz
2 2
ˆ =0
ψ ψ w w
r Ω π Ω π
r r r r θ P P
2
2 2
ˆ ˆ
1 1
2 4 2 2
∂ ∂ ∂
+ = − = −
∂ ∂ ∂
le
a te
w w
w c w
ˆ(0) ˆ ˆ( ) ˆ
=
=
te le le
a
w z w w z w
ˆ( )=(ˆ − ˆ )c + ˆ
T H T Hte te T Hle le a T Hle le
z
r 2 r 2 B r 2 r 2 B r 2 r 2 B c r 2 r 2 B
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
= − +
− − − −
D Tle
leD
P P w w
ˆ
= ˆ
Tle teD Tle T Hle leD
a leD a T Hte teD
P w P r r B
P c w c r r B
2 2
2 2
ˆ ( )
' 1 1
ˆ ( )
−
= − = −
−
D D
w
d w d Φ
dz P dz P Φ
ˆ
ˆ 0
= =
γ r z πr
P z
1 2
( , ) tan
( )
−
=
(3.16)
Assumendo una variazione lineare di B zD( ):
(3.17)
E' importante notare che: se i cambiamenti di B con Φ sono trascurabili, allora la condizione (3.11) è verificata per tutti i coefficienti e la geometria del mozzo è indipendente da Φ. Passando all’integrazione della (3.10):
alle condizioni di disegno:
(3.18)
ed usando la (3.14), si ottiene:
(3.19)
dove:
(3.20)
Se i cambiamenti di B con Φ sono trascurabili, la condizione diventa:
(3.21)
Infine l'angolo di pala è pari a:
(3.22)
H T
D T Hte teD T Hle leD a T Hle leD
r z r z
B z r r B r r B c r r B
2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
= − − +
− − −
D leD teD leD
a
B z B B B z
( )= +( − )c
d w
dz P
ˆ 0
=
teD
Tle Tle
leD a
w z
P z P P P z
w c
( ) 1 ˆ '
ˆ
= + = +
T T
γ r z πr
P z
1 2
( , ) tan
( )
−
=
te le le
T T T
a Tle
w w w
r r r
u u dw r r P r
dz r c r P r
2 ˆ ˆ 2 ˆ 2
1 ˆ 1
ˆ' ˆ '
2 2 2
−
= = − = − = −
le Tle
w
v v Ωr πrw πr
P P
ˆ ˆ' |= −ˆ | 2= ˆ =2
le
te le le Tle
a Tle
w
w w w w z w P P z
c P
ˆ'= =ˆ (ˆ − ˆ ) + ˆ = ˆ ( + ' )
dr rdθ dz
u v w
' ˆ' = ˆ' = ˆ'
T Tle
dr dθ dz
P r r π P P z
2
2 2
'
'( ) = 2 = '
− +
T
le T
r r
r r r
ζ
2 2
2 ( )
( )= − −
le le
θ r ζ θ π ζ
P '( , ) ' 2 ln
= + '
Tle
Tle le
P P z
ζ P P z
' '
= + +
Tle le
dζ P dz
P P z
'
= ' + ed in particolare:
(3.23)
3.2.2 Corda e solidità della palettatura
Si introduce la corda e la solidità, visto che serviranno per il calcolo del campo totale di velocità. Dalle relazioni precedenti:
(3.24)
(3.25)
(3.26)
e quindi su una linea di corrente del flusso completamente guidato:
(3.27)
e sostituendo nella (2.35) le velocità:
(3.28)
La (2.28) può essere integrata, usando come condizioni iniziali r θ zle le le ottenendo:
(3.29)
(3.30)
dove:
(3.31)
Il suo differenziale lungo z è quindi:
(3.32)
T le
te le te T
te
r r
r r r ζ r
ζ
2 2
2 ( )
( , ) −
= = −
a
le
te
te
te
c le
z ζ
Tle le te le T le te le
T
a le a le
ζ
Tle le Tle le ζ
r θ
c r dz r
z z
P P z r r r r ζ ζ
dζ r
P c z ζ c z
P P z C P P z
dζ A B F ζ
P ζ P
2
2 2 2 2
2 1
1 1
( ) ' 1
' ( )
' 1
' '
1 [ ( )]
' '
∂ ∂
= ∂ + ∂ + ≈
+ − − −
≈ + − + =
− −
+ +
= + − + =
∫
∫
∫
T le
te le te T
te
r r
r r r ζ r
ζ
2 2
2 ( )
( , ) −
= = −
te le te le te le
T T le
a le a le a le
r r ζ ζ ζ ζ
A B r C r r
c z c z c z
2 2 2
2 2 2
; ; ( ) ;
− − −
= = = −
− − −
F ζ A B C ζ
ζ
c A B ζ A B ζ C
ζ A B A B ζ C
( ) 1
ln[2( 1 ( 1) )]
1 ( 1)
= + − + ⋅
+ + + + + −
⋅ −
+ + + + −
a a
le
te
te
c c
le
z
te le T le te le
T ζ
a le a le
Tle le
T le
T
ζ
Tle le
dc dz r θ
σ r r
s πr N z z
r r r r θ θ
c z r ζ c z
P P z
N dζ
π P r r
r ζ
P P z
N A
dζ D
C
π P
B ζ
2 2
0
2 2 2 2
2 2
1 2
1
( ) ' 1
2 /
( )
' 1
2 ' ( )
'
2 '
∂ ∂
= = ∂ + ∂ + =
− + − − − +
− −
+ =
− −
= + + =
−
∫ ∫
∫
ζte
Tle le
P P z
N G ζ
π P 1
' [ ( )]
2 '
∫
+Per il flusso entrante nell'induttore a r=rleil raggio d'uscita è pari a:
(3.33)
dove:
(3.34)
e la corrispondente “corda” della pala è data da:
(3.35)
avendo posto:
Con ragionamento simile si giunge alla scrittura della “solidità della pala”:
(3.36)
te le te le
T T le
a le a le
r r θ θ
A B r C r r D
c z c z
2
2 2 2
1; ; ; ;
− −
= + = = − =
− −
C CD A BD ζ AC
G ζ ζ
B C Bζ B A BD
CD A BD ζ BD Bζ C A C Bζ
C Bζ
C Bζ B A BD
3 / 2
( )
( ) 2
( ) 2 ( ( 2 ))
ln 2 ( )
− +
= − − − + ⋅
− + − − −
⋅ + − +
− +
ψ ψ
ψ r K
r r r r θ
2 2
2 2
1 1
'
∂ ∂ ∂
∇ = ∂ ∂ + ∂ =
πΦrT
K Ω π w Ω
ˆ 2 3
2 2 2 1
= − = −
dove:
3.2.3 Correzione di vorticità
La correzione di vorticità può essere ottenuta facendo un cambiamento di dominio, cioè passando ad un dominio “rettangolare”, come mostrato in figura 3.4.
Figura 3.4- Rappresentazione del passaggio di dominio
Quindi il cambio di coordinate è:
H
x r r
r y θ θ
( ) ln ( ') '
=
=
⇒
x
r x r eH
θ y y
( ) '( )
=
= ⇒
dx dr r dy dθ '
=
=
⇒
r r x
θ' y
∂ = ∂
∂ ∂
∂ = ∂
∂ ∂
Dalla (3.12) si può scrivere la funzione di corrente come:
(3.37)
dove:
H T
r r r
θ π N 0 2
≤ <
≤ ≤
x H
ψ ψ
Kr Kr e
x y
2 2
3 2 2
2 2
∂ +∂ = =
∂ ∂
T H
x r l
r
y π l
N
1
2
0 ln
0 2
≤ < =
≤ ≤ =
m n
m n
A mπx nπy
ψ x y
l l
m n
π l l
,
2 2
1 1 2 1 2
2 2
1 2
( , ) sin sin
+∞ +∞
= =
= −
+
∑∑
l l
H x H
m n
l l
x
l
m n
H
Kr mπx nπy Kr
A e dx
l l l l l l m π
l
mπx mπ mπx l nπy
e l l l nπ l
m
Kr nl e
m π l
1 2
1 2
1
2 2
2
, 2 2
1 2 0 1 0 2 1 2
2 1
2 2
1 1 1 0 2 0
2
2
2 1
2 2 2 1
4 4 1
sin sin
4
2sin cos cos
[1 ( 1) ][1 ( 1) ]
1 4
= = ⋅
+
⋅ − − =
= − − − − =
+
∫ ∫
n→2n−1 nel dominio V pari a:
con ψ=0 su bordo S. Cambiando coordinate, nel nuovo dominio:
(3.38) su V*si ha:
con ψ =0 su S*. Il cambiamento di dominio è un passo fondamentale per l'integrazione della (2.37). Nel nuovo sistema di coordinate l’equazione (2.38) è l'equazione di Poisson in dominio rettangolare che può essere integrata secondo Hildebrand [2], come:
(3.39)
dove:
• =0; per n= pari;
• H m l
m
Kr nl e
m π l
1
2
2
2 1
2 2 2 1
2
[1 ( 1) ];
1 4
= − −
+
per n=dispari.
Andando a sostituire nella funzione :
m n
m n
A mπx n πy
ψ x y
l l
π m n
l
, 2
1 1 2 2 1 2
2 1
(2 1)
( , ) sin sin
(2 1)
+∞ +∞
= =
= − −
+ −
∑∑
l m
m n H
m
n l
A Kr e
m π l
1
2 2
2
2 1
, 2 2
2 1
2 (2 1)
[1 ( 1) ]
1 4
= − − −
+
m n
m n
mπx n πy
ψ x y C
l l
,
1 1 1 2
(2 1)
( , ) sin sin
+∞ +∞
= =
= −
∑∑
−m n m n
C A
π m n
l l
,
, 2
2 2
2 1
2 2
(2 1)
=
+ −
m n
m n H
mπ r n πθ
ψ r θ ψ x r y θ C
l r l
,
1 1 1 2
(2 1) '
( , ') ( ( ), ( ')) sin ln sin
+∞ +∞
= =
−
= = −
∑∑
x x m n
m n
H H
ψ ψ n π
u C
r θ r e y r e l
mπx n πy
l l
,
1 1 2
1 2
1 1 1 (2 1)
' sin
(2 1) sin cos
+∞ +∞
= =
∂ ∂ −
= = = − ⋅
∂ ∂
⋅ −
∑∑
%
x x m n
m n
H H
ψ ψ mπ mπx n πy
v C
r r e x r e 1 1 , l1 l1 l2
1 1 (2 1)
cos sin
+∞ +∞
= =
∂ ∂ −
= = = −
∂ ∂
∑∑
% Si ottiene:
(3.40)
dove:
Sostituendo nella (2.39):
(3.41)
con
Ritornando al dominio di partenza si può scrivere:
(3.42)
Quindi la correzione esplicitata è:
(3.43)
(3.44)
( ) ( )
( )
t t
p p ρ V V ρΩ r r
p p ρΩ r v r v
2 2 2 2 2
2 1 1 2 1 2
2 1 2 2 1 1
1 1
' '
2 2
− = − − −
− = −
( )
t t
p p
p p
D ρV V V σρΩ r r V
2 1
2 1
1 2 1
1 1 2
1 ' ' ' ( ) '
2
−
= − +
+ +
( ) ( )
( ) ( )
B
Ω r r
V V r v r v
D V V V V σ r r V
2 2 2
1 2
1 2 2 2 1 1
1 1 1 2 1 2 1
' '
' ' ' ' ( ) '
− − −
− +
+ +
v
v Ωr w γ
1
2 2 2
0
' tan
≈
≈ −
D T
T H
D T
T H
V w v Φ Ωr Ωr
r r
V w v w γ Φ Ωr
r r γ
3
2 2
1 1 1 2 2 1
2
3
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2
' '
' ' 1 tan
( )cos
= + = +
−
= + ≈ = − ≈
−
B B B
θ =c f D( ) 3.2.4 Stima del bloccaggio
Il significato del bloccaggio B è stato già spiegato nel Capitolo 2, Paragrafo 2.4.2, nel quale è stato anche introdotto il “fattore di diffusione Df ”. In questo modello si riparte da quella definizione introducendo però il valore delle pressioni esplicitate per un “flusso misto”, che sono:
(3.52)
andando a sostituire nella (2.51) (p2−p1) e (pt2−pt1), il fattore di diffusione per le pompe a flusso misto può essere espresso come:
(3.53)
Tornando adesso alla forma di D in funzione delle velocità:
(3.54)
che mantiene una forma simile a quello per macchine assiali, con l'aggiunta di un termine (il secondo) dovuto alla rotazione. Facendo riferimento al triangolo di velocità riportato in figura 2.3:
(3.55)
Dalla correlazione (3.56) (dove il valore del fattore di diffusione può essere estrapolato dalla figura 3.5 tramite interpolazione):
(3.56)
u y n
U δ
(1/ )
=
δ n δ
δ δ n n
n n
n n
n n
y y
u dy δ d
δ δ
δ U
θ u u dy δ y y d y
U U δ δ δ
y n y
δ n δ n
n
n y n y n
n δ n δ
1/
* 0 0
1/ 1/
0 0
1 1
0
1 2 1
0
1 1
1 1
1 1
1
1 2 1
+
+ +
− −
= = =
− −
−
+ −
+
= =
− +
+ +
∫ ∫
∫ ∫
n
n n
n n
2 2
= +
− +
δ θ
*
9 / 7 1.3
≈ ≈
e ricordando che per gli stati limite turbolenti vale:
(3.57)
con n=7 (Prandtl), si ha:
(3.58)
Figura 3.5- Grafico utilizzato per l’estrazione del valore di f(D)
Sostituendo il valore di n si ottiene:
(3.59)
x=scosγ2
te
s γ δ δ Ncf D
B r s γ s γ πr γ
* *
2 2
2
2 2 2 2 2 2
cos ( )
( ) 1 1 1.3
cos cos cos
= − = − = −
γ
2 2γ
2
cos 1
1 tan
= +
T T
γ r γ
r
2
tan 2 = tan
Figura 3.6- Schematizzazione del problema
Facendo riferimento alla figura 3.6 è facile notare che il canale fra le pale ha un restringimento vicino all'uscita (linea rossa), e tale restringimento può essere calcolato, con riferimento alla figura 3.7, risolvendo il triangolo di lati (s,x) infatti:
Figura 3.7- Schematizzazione del triangolo
e quindi il bloccaggio può essere espresso come:
(3.60)
con γ2 data da:
(3.61)
con
u u Ω r r p u u ρ
1 1 2
' ' ' ' ( ) 0
2 2
∇ ⋅ − ⋅ + = × ∇× =
t t
p p
Ω r r r r
ρ ρ
2
1 1
' ' 1
( )
= +2 ⋅ − ⋅
t
θ
p p ρu u
u u Ω r u Ωre
' 1 ' '
2 '
= + ⋅
= − × = −
p p11ρ w12 u u 2 v v v v Ωr w2
ˆ ˆ ˆ ˆ
[ ( ) ( ) 2( ) ]
= 2 − +% − + +% +% −
T
T T
T H
r
u dw r
dz r v Ωr πrw
P ΦΩr r
w r r
2
2
2 2
1 ˆ ˆ 2
ˆ 2 ˆ
ˆ
= −
= −
= −
u Ψ r θ v Ψ
r 1
'
= ∂
∂
= −∂
∂
%
% 3.2.5 Pressione nel canale delle pale
Dall'equazione di Bernoulli in un sistema di riferimento rotante (r θ z, ', ):
(3.62)
risolvendo in funzione della pressione nel sistema di riferimento rotante si trova:
(3.63)
dove:
Sviluppando le varie scritture ed andando a sostituire nella (2.62):
(3.64)
dove:
3.2.6 Introduzione del fattore di slittamento (Slip Factor) [3]
Nel passaggio dal riferimento relativo a quello assoluto, che si attua allo scarico, la forza di Coriolis cessa la sua azione. Nel caso reale ciò avviene in modo progressivo, con l'incapacità della palettatura di mantenere elevati valori del carico palare in prossimità del bordo d'uscita. Si ha perciò una deviazione rispetto alla direzione geometrica di uscita della palettatura, che si differenzia da quella tipica delle macchine assiali per non avere unicamente origine viscosa, bensì essere connessa al passaggio di riferimento, e quindi alla variazione di flusso rotazionale a irrotazionale. A questo fenomeno si dà il nome di
“slittamento” (slip factor): esso comporta infatti che la velocità relativa “slitti” all'uscita della palettatura rispetto all'angolazione geometrica, assumendo una componente
θ θ
S c c
2 '2
=
π β
S N
φ β
2
2 2
cos
1 1 tan '
= − −
π S N
φ2 β2 0.63 1 1 tan '
= − −
S β
N
2 0.070
sin '
= −1
slittamento è definito come la componente reale e quella teorica in direzione tangenziale all'uscita della palettatura, facendo riferimento alla figura 3.8:
l valore di S risulta significativamente influenzato dall'angolo geometrico β2' e dal numero di pale N, oltre che dal coefficiente di portata φ2.
Figura 3.8- Triangoli di velocità ideali e con fattore di slittamento
Tra le diverse espressioni per il fattore di slittamento, di origine teorica o empirica, si ricorda quella di Stodola, raccomandabile per 60° < β2'< °70 all’indietro:
Altra formula di rilievo, che fornisce risultati molto prossimi a quelli sperimentali per palettatura radiali è quella di Stanitz:
Molto utilizzata è, infine, la formula di Busemann correlata da Wiensner nella forma:
valida in questa forma entro determinati limiti del rapporto r r2/ 1, e che fornisce buoni risultati su un'ampia escursione di β2'.
π π
N N l
s
m n
m n
m n
m n
m n
m n H
N N Ψ N Ψ
v r vrdθ r θ dy
πr πr r πr x
l
N mπ mπx
C n π
πr l l n π
ml
N mπx
πr C n l l
ml
N mπ r
πr C n l l r
2
2 2
0 0 0
2 ,
1 1 1 1
2 ,
1 1 1 1
2 ,
1 1 1 1
( ) ' '
2 2 2
cos [1 cos(2 1) ]
2 (2 1)
2 cos
2 (2 1)
2 cos ln
2 (2 1)
∞ ∞
= =
∞ ∞
= =
∞ ∞
= =
∂ ∂
= = − ∂ = − =
∂ ∂
= − − =
−
= =
−
=
−
∫ ∫ ∫
∑∑
∑∑
∑∑
% %
v=Ωr w− tan 'β +v%s
T T
β r γ
tan '≈r tan v Ψ
r
= −∂
% ∂
La correzione di vorticità con slittamento all'rT (z=ca) la correzione della componente azimutale con il fattore di slittamento è:
ed il suo valore medio al raggio r , tenendo presente la (2.44), è dato da:
(3.65)
Quindi per un induttore assiale la velocità media azimutale con la correzione di vorticità con l'aggiunta del fattore di slittamento può essere scritta come:
(3.66)
dove:
θ u
0 0
∂∂ =
=
dh v d rv v dw d rv
dr r dr r dr Ω dr
2 2
( ) 1 ( )
2
∆ + − + −
r θ z r θ z
p p p
u v w ue ve we e e e
r r θ z ρ r r θ z
( ) 1
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ + + + = − + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
r θ
θ r
e e
θ
e e
θ
∂ =∂
∂ = −
∂
3.3 Calcolo delle prestazioni della geometria generata
Stabilito la geometria dell'induttore, è necessario fare una stima di primo ordine delle prestazioni che la macchina può dare. Per questo calcolo sono seguite due strade:
• sviluppo di un modello semplificato con soluzione in forma chiusa;
• sviluppo di un modello fondato su una soluzione numerica.
Le assunzioni principali, valide per entrambi, sono uguali a quelle introdotte per il modello matematico per lo sviluppo della geometria, con l'aggiunta:
• (flusso con simmetria assiale)
• flusso assiale uniforme all'ingresso dell'induttore;
• flusso completamente guidato con correzione di vorticità bidimensionale (ψ r θ( , ));
Dall'equazione di Eulero per i rotori, dove la velocità angolare è diversa da zero, e per gli statori, dove la velocità angolare è uguale a zero, e facendone il differenziale
(3.67)
In coordinate cilindriche si può sviluppare l’equazione:
come:
(3.68)
dove:
Sostituendo:
u u p
ρ
⋅∇ = − ∇1
r θ θ r
z r θ z
u u u uv v v v v
u v w e e u v w e e
r r θ z r r r θ z r
w w w p p p
u v w e e e e
r r θ z ρ r r θ z
2
1
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ + + + + + − +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ + + = − + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
v p
r ρ r
2 1 ∂
− = −
∂
dh p v
dr ρ r r 1 ∂ 2
= =
∂
dw v d rv
dr r Ω dr
2
1 2 ( )
2 0
∆ + − =
dw v d r v dw v d r v
Ω Ω
dr r dr dr r dr
2 2
2 2 2 2 1 1 1 1
2 1 1
( ) ( )
1 1
2 2 0
+ − = + − =
(3.69)
Assumendo l’ipotesi simmetria assiale l’equazione può essere sviluppata come:
(3.70)
Assumendo anche la condizione di isentropicità, si può scrivere il differenziale dell’entalpia come
(3.71)
e sostituendo nella (3.67), la (3.70) e la (3.71):
(3.72)
e per flusso assiale uniforme alla sezione d’ingresso:
(3.73)
3.3.1 Modello con soluzione in forma chiusa senza la correzione del fattore di scorrimento
Iniziamo introducendo uno schema della situazione in figura 3.9.
v2 =Ωr2−w2tanβ2'
dw β d
β w Ω β β
dr r dr
2
2 2
2 2 2 2
2 2
sin '
ln cos ' 2 sin ' cos '
+ − =
T T
β γ r γ
r
2
2 2 2
tan '≈tan = tan
T T
T T
T T
β
β r r γ
β r r γ
β
β r r γ
2 2 2 2 2
2 2 2
2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
1 1
cos '
1 tan ' 1 ( / ) tan tan ' ( / ) tan sin '
1 tan ' 1 ( / ) tan
= =
+ +
= =
+ +
T T T T
T T T T
dw r r γ r r γ
w Ω
dr r r γ r r γ
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
( / ) tan ( / ) tan
2 2
1 ( / ) tan 1 ( / ) tan
+ =
+ +
w aw hw w h w f
h h
2 2 2 2 2
1 '
'+ = ( )'= '+ =
hw2 =
∫
hfdr c+T T
T T
T T
T T
r r γ
a r r γ
r r γ
f Ω
r r γ
h h a
h
2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2
2 2
( / ) tan 21 ( / ) tan
( / ) tan 2 1 ( / ) tan ' (ln ) '
= +
= +
= =
Eliminando la v2:
(3.74)
e lavorando sulla (3.73) si ottiene:
(3.75)
dove
ed essendo:
Si può riscrivere la (3.75) nella forma:
(3.78)
La (2.78) ha una forma particolare che può essere integrata, e cioè:
(3.79)
il cui integrale è:
(3.80)
con:
Integrando si ottiene:
