Lezioni del corso di Elementi di Meccanica Strutturale. Lezione 1 - Analisi cinematica delle strutture

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Lezioni del corso di

Elementi di Meccanica Strutturale

Università del Salento

Corso di Laurea in Ingegneria Industriale

prof. ing. Riccardo Nobile

Lezione 1 - Analisi cinematica delle strutture

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Un corpo rigido è costituito da punti materiali che mantengono inalterata la loro posizione relativa qualunque siano i carichi applicati

L’ipotesi di corpo rigido permette di semplificare notevolmente lo studio del comportamento meccanico dei componenti.

Poiché un corpo rigido ha una geometria immutabile, esso può essere schematizzato con elementi geometrici più semplici, come ad esempio delle aste

Se si suppone valida l’ipotesi di corpo rigido, un sistema meccanico, anche complesso, potrà essere schematizzato con entità geometriche semplici, come ad esempio delle aste

Equilibrio statico delle strutture Corpo rigido

R. Nobile – Elementi di Meccanica Strutturale Analisi cinematica delle strutture

Uni ver sità del Salento

(3)

Dalla Meccanica Razionale è noto che un corpo rigido nello spazio è dotato di 6 gradi libertà (3 nel piano). La conoscenza del valore assunto da tali parametri consente di definire univocamente la posizione e l’orientazione nello spazio (nel piano) del corpo

La posizione nello spazio della trottola in figura, supposta rigida, sarà completamente definita una volta che saranno noti le coordinate del punto P e

Equilibrio statico delle strutture Analisi cinematica del corpo rigido

ile – Elementi di Meccanica Strutturale cinematica delle strutture

ver sità del Salento

Gradi di Libertà

u₀ v₀ w₀

y j a

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Dalla Meccanica Razionale è noto che un corpo rigido nello spazio è dotato di 6 gradi libertà (3 nel piano). La conoscenza del valore assunto da tali parametri consente di definire univocamente la posizione e l’orientazione nello spazio (nel piano) del corpo

La posizione su un piano dell’imbarcazione in figura, supposta rigida, sarà completamente definita una volta che saranno noti le coordinate del punto P₀ e l’angolo di inclinazione del suo asse longitudinale rispetto all’asse x.

Equilibrio statico delle strutture Analisi cinematica del corpo rigido

Uni ver sità del Salento

Gradi di Libertà

u₀ v₀ q

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Un corpo non completamente libero di muoversi è detto vincolato.

In generale il vincolo impone delle limitazioni agli spostamenti e/o rotazioni di un punto del corpo.

Analiticamente un vincolo è espresso da una equazione le cui variabili sono costituite dai gradi di libertà del corpo.

Si indicherà con V_e il numero di equazioni caratteristiche del vincolo

Limitando la trattazione al caso piano, le tipologie di vincolo possono essere ricondotte ai seguenti casi:

- Appoggio semplice o scorrevole - Appoggio fisso

- Doppio pendolo

Equilibrio statico delle strutture Vincoli nel piano

ver sità del Salento

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Esempi fisici di appoggi semplici

Equilibrio statico delle strutture

Vincoli nel piano – Appoggio semplice

Uni ver sità del Salento

Schematizzazione Equazione di vincolo

𝑣_𝐴 = 0

𝑉_𝑒 = 1

(7)

Esempi fisici di appoggi fissi

Equilibrio statico delle strutture Vincoli nel piano – Appoggio fisso

ver sità del Salento

𝑢_𝐴 = 0 𝑣_𝐴 = 0

(8)

Esempi fisici di doppio pendolo

Equilibrio statico delle strutture

Vincoli nel piano – Doppio pendolo o pattino

Uni ver sità del Salento

𝑣_𝐴 = 0 𝜃 = 0

𝑉_𝑒 = 2

(9)

Esempi fisici di incastro

Equilibrio statico delle strutture Vincoli nel piano – Incastro

ver sità del Salento

𝑢_𝐵 = 0 𝑣_𝐵 = 0 𝜃 = 0

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Quando un sistema strutturale è costituito da più corpi rigidi, nasce l’esigenza di individuare le possibilità di moto relativo dei corpi.

Tali spostamenti possono essere limitati introducendo il concetto di vincoli interni o alternativamente di sconnessioni

Una sconnessione può essere pensata come l’introduzione di una o più possibilità di spostamento aggiuntivi rispetto a quelle proprie di un corpo rigido

Il grado della sconnessione S indica il numero di spostamenti aggiuntivi introdotti

Equilibrio statico delle strutture Vincoli interni e sconnessioni

Uni ver sità del Salento

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Un vincolo interno rappresenta un concetto complementare a quello di sconnessione e rappresenta una o più limitazioni di spostamento relativo di due corpi.

Anche i vincoli interni sono espressi attraverso equazioni caratteristiche del vincolo.

A differenza dei vincoli esterni queste equazioni impongono l’uguaglianza tra più spostamenti

Si indicherà con V_i il numero di equazioni caratteristiche del vincolo

La complementarietà dei concetti di sconnessione e vincolo interni fa sì che:

nel piano:

nello spazio:

Equilibrio statico delle strutture Vincoli interni e sconnessioni

ver sità del Salento

𝑆 + 𝑉_𝑖 = 3 𝑆 + 𝑉 = 6

(12)

Limitando la trattazione al caso piano, le tipologie di vincolo interno/sconnessioni possono essere ricondotte ai seguenti casi:

- Cerniera interna con n aste - Doppio pendolo interno - Pendolo interno

Si definiscono inoltre delle sconnessioni speciali che vengono introdotte per facilitare lo studio cinematico delle strutture:

- Sconnessione tripla - Incastro interno

Equilibrio statico delle strutture Vincoli interni e sconnessioni

Uni ver sità del Salento

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Esempi fisici di cerniera con n aste

Equilibrio statico delle strutture Vincoli interni – Cerniera con n aste

ver sità del Salento

𝑢_𝐵1 = 𝑢_𝐵2 𝑢_𝐵2 = 𝑢_𝐵3 𝑣_𝐵1 = 𝑣_𝐵2 𝑣_𝐵2 = 𝑣_𝐵3

𝑉 = 2(n − 1)

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Schematizzazione sconnessioni semplici

Equilibrio statico delle strutture Sconnessioni semplici

Uni ver sità del Salento

Equazioni di vincolo

𝑢_𝐴1 = 𝑢_𝐴2 𝑣_𝐴1 = 𝑣_𝐴2 𝑉_𝑖 = 2 (𝑆 = 1)

x y

y x y

A A

A

𝑢_𝐴1 = 𝑢_𝐴2 𝜃_𝐴1 = 𝜃_𝐴2 𝑉_𝑖 = 2 (𝑆 = 1)

𝑣_𝐴1 = 𝑣_𝐴2 𝜃_𝐴1 = 𝜃_𝐴2 𝑉_𝑖 = 2 (𝑆 = 1)

(15)

Schematizzazione sconnessioni doppie

Equilibrio statico delle strutture Sconnessioni doppie

ver sità del Salento

𝑢_𝐴1 = 𝑢_𝐴2 𝑉_𝑖 = 1

(𝑆 = 2)

𝑣_𝐴1 = 𝑣_𝐴2 𝑉_𝑖 = 1

(𝑆 = 2)

x y

A

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Schematizzazione sconnessione tripla

Equilibrio statico delle strutture Sconnessioni speciali

Uni ver sità del Salento

− 𝑉_𝑖 = 0

(𝑆 = 3)

𝑢_𝐴1 = 𝑢_𝐴2 𝑣_𝐴1 = 𝑣_𝐴2 𝜃_𝐴1 = 𝜃_𝐴2

𝑉_𝑖 = 3 (𝑆 = 0)

x y

Schematizzazione sconnessione nulla (incastro interno)

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I sistemi meccanici reali sono costituiti da uno o più corpi vincolati tra loro e vincolati esternamente

L’analisi cinematica di una struttura consente di stabilire il numero di gradi di libertà del sistema nel suo complesso. Il risultato di tale analisi permette di stabilire se il sistema è labile, isostatico o iperstatico

Tale analisi si basa sul confronto tra i gradi di libertà complessivi del sistema e i gradi di vincolo imposti

Equilibrio statico delle strutture Analisi cinematica delle strutture

ver sità del Salento

(18)

Dato un sistema costituito da n corpi rigidi nel piano (per cui il sistema nel suo complesso sarà caratterizzato da 3n gradi di libertà) e indicato con v il numero di equazioni di vincolo si indicherà con grado di labilità o di iperstaticità la quantità:

o in maniera del tutto equivalente:

Equilibrio statico delle strutture Analisi cinematica delle strutture

Uni ver sità del Salento

^{𝐿 = 3𝑛 − 𝑉}^𝑒 ^{− 𝑉}^𝑖

𝐿 = 3 + 𝑆 − 𝑉_𝑒

(19)

- Se L > 0 il sistema si dirà labile e L costituirà il grado di labilità ossia il numero minimo di parametri indipendenti atti ad individuare univocamente la geometria del sistema.

- Se L = 0 il sistema si dirà isostatico (a patto che la struttura non sia a vincoli inefficaci), ossia la struttura sarà dotata esattamente del numero di vincoli sufficienti a garantire l’equilibrio statico del sistema.

- Se L < 0 il sistema sarà iperstatico (a patto che la struttura non sia a vincoli inefficaci), ossia il numero di vincoli è sovrabbondante rispetto ai gradi di libertà

Equilibrio statico delle strutture Analisi cinematica delle strutture

Uni ver sità del Salento

𝐿 = 3𝑛 − 𝑉_𝑒 − 𝑉_𝑖 𝐿 = 3 + 𝑆 − 𝑉_𝑒

(20)

L’efficacia dei vincoli di una struttura può essere valutata matematicamente o fisicamente

Matematicamente se indichiamo con q_i i 3n gradi di libertà complessivi del sistema e con F_i(q₁, q₂,…q_n) le m = (V_e+V_i) equazioni vincolo del sistema, il sistema si dirà a vincoli efficaci se lo Jacobiano delle funzioni F_i è massimo

Equilibrio statico delle strutture Analisi cinematica delle strutture

Uni ver sità del Salento

𝐽 =

𝜕𝐹₁

𝜕𝑞₁

𝜕𝐹₁

𝜕𝑞₂

𝜕𝐹₁

𝜕𝑞_3𝑛

𝜕𝐹₂

𝜕𝑞₁

𝜕𝐹₂

𝜕𝑞₂

𝜕𝐹₂

𝜕𝑞_3𝑛

𝜕𝐹_𝑚

𝜕𝑞₁

𝜕𝐹_𝑚

𝜕𝑞₂

𝜕𝐹_𝑚

𝜕𝑞_3𝑛

Se J ha rango max

il sistema si dirà a vincoli efficaci

(21)

L’efficacia dei vincoli di una struttura può essere valutata matematicamente o fisicamente

Fisicamente si richiede che nessuna parte della struttura sia dotata di spostamenti rigidi elementari

I moti di corpo rigido sono caratterizzati da una funzione matematica del tipo:

Equilibrio statico delle strutture Analisi cinematica delle strutture

ver sità del Salento

𝑢(𝑄) = 𝑢 𝑃 + 𝜔 𝑥 (𝑄 − 𝑃)

Graficamente, sfruttando il teorema di Chasles secondo cui il centro di istantanea rotazione appartiene sempre alla retta ortogonale alla traiettoria o velocità di un punto, si può provare a determinare il centro C per ogni corpo costituente la

𝑢(𝑄) = 𝜔 𝑥 (𝑄 − 𝐶)

(22)

Sistema isostatico

Equilibrio statico delle strutture

Esempi di analisi cinematica delle strutture

Uni ver sità del Salento

𝑛 = 1

𝑉_𝑒 = 3 𝐿 = 3𝑛 − 𝑉_𝑒 − 𝑉_𝑖 = 0

A B

Sistema isostatico

𝑛 = 1

𝑉_𝑒 = 3 𝐿 = 3𝑛 − 𝑉_𝑒 − 𝑉_𝑖 = 0

Labile a vincoli inefficaci

𝑛 = 1

𝑉_𝑒 = 3 𝐿 = 3𝑛 − 𝑉_𝑒 − 𝑉_𝑖 = 0

(23)

Sistema iperstatico

Equilibrio statico delle strutture

Esempi di analisi cinematica delle strutture

ver sità del Salento

𝑛 = 1

𝑉_𝑒 = 4 𝐿 = 3𝑛 − 𝑉_𝑒 − 𝑉_𝑖 = −1

Sistema iperstatico

𝑛 = 1

𝑉_𝑒 = 4 𝐿 = 3𝑛 − 𝑉_𝑒 − 𝑉_𝑖 = −1

𝑛 = 1

A B

A B C

(24)

Sistema iperstatico

Equilibrio statico delle strutture

Esempi di analisi cinematica delle strutture

Uni ver sità del Salento

𝑛 = 1 𝑉_𝑒 = 4

𝐿 = 3𝑛 − 𝑉_𝑒 − 𝑉_𝑖 = −1

𝑛 = 1

𝑉_𝑒 = 3 Labile a vincoli inefficaci

𝐿 = 3𝑛 − 𝑉_𝑒 − 𝑉_𝑖 = 0

A B

(25)

A C B

1 2

C1 C2

C12

1 2

Equilibrio statico delle strutture

Esempi di analisi cinematica delle strutture

ver sità del Salento

Vincoli efficaci C₁₂ non allineato con C₁, C₂

(26)

Sistema labile a

Equilibrio statico delle strutture

Esempi di analisi cinematica delle strutture

Uni ver sità del Salento

𝑛 = 2

𝑉_𝑒 = 4 𝐿 = 3𝑛 − 𝑉_𝑒 − 𝑉_𝑖

Vincoli inefficaci C₁₂ allineato con C₁, C₂

A C C1 C2

C C12

1 2 1 2

(27)

Equilibrio statico delle strutture

Esempi di analisi cinematica delle strutture

ver sità del Salento

A C C1 C2

B

8 C12

(28)

Sistema isostatico

Equilibrio statico delle strutture

Esempi di analisi cinematica delle strutture

Uni ver sità del Salento

𝑛 = 2

𝑉_𝑒 = 4 𝐿 = 3𝑛 − 𝑉_𝑒 − 𝑉_𝑖

A C C1 C2

B

C12 8

(29)

Equilibrio statico delle strutture

Esempi di analisi cinematica delle strutture

ver sità del Salento

𝑛 = 6 𝑉_𝑒 = 6

𝑉_𝑖 = 6 + 4 + 2 = 12

𝐿 = 3𝑛 − 𝑉_𝑒 − 𝑉_𝑖

𝐿 = 3 ∙ 6 − 6 − 12 = 0

(30)

Sistema labile a

Equilibrio statico delle strutture

Esempi di analisi cinematica delle strutture

Uni ver sità del Salento

𝑛 = 4 𝑉_𝑒 = 8

𝑉_𝑖 = 2 + 2 = 4

𝐿 = 3𝑛 − 𝑉_𝑒 − 𝑉_𝑖

𝐿 = 3 ∙ 4 − 8 − 4 = 0

(31)

Equilibrio statico delle strutture

Esempi di analisi cinematica delle strutture

ver sità del Salento

𝑛 = 3 𝑉_𝑒 = 4

𝑉_𝑖 = 2 + 2 + 2 = 6

𝐿 = 3𝑛 − 𝑉_𝑒 − 𝑉_𝑖

𝐿 = 3 ∙ 3 − 4 − 6 = −1

(32)

Sistema isostatico esternamente

Equilibrio statico delle strutture

Esempi di analisi cinematica delle strutture

Uni ver sità del Salento

𝑛 = 2 𝑉_𝑒 = 3

𝐿 = 3𝑛 − 𝑉_𝑒 − 𝑉_𝑖

(33)

Equilibrio statico delle strutture

Esempi di analisi cinematica delle strutture

ver sità del Salento

(34)

Equilibrio statico delle strutture

Esempi di analisi cinematica delle strutture

Uni ver sità del Salento

𝑛 = 3

𝑉_𝑒 = 3 𝐿 = 3𝑛 − 𝑉_𝑒 − 𝑉_𝑖

Sistema isostatico

(35)

Equilibrio statico delle strutture

Esempi di analisi cinematica delle strutture

ver sità del Salento

(36)

Equilibrio statico delle strutture

Esempi di analisi cinematica delle strutture

Uni ver sità del Salento

𝑛 = 3

𝑉_𝑒 = 6 𝐿 = 3𝑛 − 𝑉_𝑒 − 𝑉_𝑖

Sistema isostatico esternamente

(37)

Equilibrio statico delle strutture

Esempi di schematizzazione di strutture reali

ver sità del Salento

(38)

Sistema labile a 1

Equilibrio statico delle strutture

Esempi di schematizzazione di sistemi reali

Uni ver sità del Salento

𝑛 = 2 𝑉_𝑒 = 4 𝑉_𝑖 = 1

𝐿 = 3𝑛 − 𝑉_𝑒 − 𝑉_𝑖

𝐿 = 3 ∙ 2 − 4 − 1 = 1

Innesto a frizione

(39)

Equilibrio statico delle strutture

Esempi di schematizzazione di sistemi reali

ver sità del Salento

𝑛 = 4 𝑉_𝑒 = 6

𝑉_𝑖 = 2 + 2 + 1 + 1 = 6

𝐿 = 3𝑛 − 𝑉_𝑒 − 𝑉_𝑖

𝐿 = 3 ∙ 4 − 6 − 6 = 0

Elevatore a pinza

(40)

Sistema isostatico

Equilibrio statico delle strutture

Esempi di schematizzazione di sistemi reali

Uni ver sità del Salento

𝑛 = 5 𝑉_𝑒 = 5

𝑉_𝑖 = 4 + 4 + 2 = 10

𝐿 = 3𝑛 − 𝑉_𝑒 − 𝑉_𝑖

𝐿 = 3 ∙ 5 − 5 − 10 = 0

Gru a bandiera