Soluzioni della prova parziale n.1 del 2 . 11 . 05 Fila 1
1. x 3/2
1/2 opp.
3/2 x
1/2 0 3 - x 2
0 1 - 2 opp.
0 3 - x 2
0 1 - 2 0 3 x 2
1 - x 2
⎩⎨
⎧
>
≤
⎩⎨
⎧
<
⇔ ≥
⎩⎨
⎧
>
≤
⎩⎨
⎧
<
⇔ ≥
− ≤
x x
x x
Il primo sistema fornisce x ∈ [ ½ , 3/2 ) , il secondo non ha soluzioni; dunque A = [ ½ , 3/2 ) .
0 x 3
1 x opp.
4 x
1 x ) 1 x ( 2 2 - x
0 1 x opp.
) 1 x ( 2 2 - x
0 1 x 2 1 x
2 - x
⎩⎨
⎧
≥
−
<
⎩⎨
⎧
−
≤
−
⇔ >
⎩⎨
⎧
−
−
≥
<
+
⎩⎨
⎧
+
≥
>
⇔ + + ≥
Entrambi i sistemi sono senza soluzione e dunque B = ∅
.
In conclusione, A ∩ B = ∅
,
A ∪ B = [ ½ , 3/2 ) .2. x x x -2 0 0 2 - x x2 2
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
+ +
≥
+ ⇔
x - 2 - x x
1 x oppure 2 - x 2
⎩⎨
⎧
>
+
≥
≤ ⇔
x≥1 opp.
x 2 - x x
2 -
x 2 2
⎩⎨
⎧
>
+
≤ ⇔
x≥1 opp.
2 x
2 - x
⎩⎨
⎧
>
≤
⇔
x ∈ [ 1 , +∞ ) .
3. Per n = 1 , si ottiene 2 . 2 = 1 . 2 2 , che è vera.
Supponiamo l’identità vera per n arbitrario e deduciamola per n+1:
∑
+=
+ +
= + 1 n
1 k
2 n k (1 k ) (n 1) 2
2
.
∑
+∑
= =
+ +
+ + = + + =
+ +
= +
1 n
1 k
n 1 k
1 n 1
n 1
n k
k (1 k ) 2 (1 k ) 2 (2 n ) n 2 (n 2 )2
2
2 n 1
n (n 1 )2 2
) 1 n ( 2
+ + = + +
=
4.
( i ) Poiché ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
− + + =
= + +
+
2 n 1 1 log 2 n
1 - 2 logn 2 n
1
log n (*) , da quest’ultima espressione è facile
dedurre che la successione è crescente. Utilizzando la definizione di successione crescente, dobbiamo invece provare che è
N n , 2 n
1 logn 3 n
2
logn ∀ ∈
+
> + +
+
.
La disequazione equivale successivamente a
3 4 3 n 4 n 4 n 4 n ) 3 n ( ) 1 n ( ) 2 n ( 2 n
1 n 3 n
2
n ⇔ + 2 > + + ⇔ 2+ + > 2+ + ⇔ >
+
> + +
+
.
( ii ) Per una successione crescente il valore minimo è quello per n = 1 , cioè min a n = log ( 2 / 3 ) . Quando esiste il minimo , l’estremo inferiore coincide con questo e dunque inf a n = log ( 2 / 3 ) .
( iii ) Una successione crescente non assume mai valore massimo; infatti il massimo è un valore xn assunto per un certo indice n , ma nel caso di successione crescente risulta x n>xn ∀n >n , e que- sto contraddice la definizione di massimo.
( iv ) Dall’espressione (*) è facile capire che 0 è il valore a cui i termini della successione si avvici- nano arbitrariamente , senza mai arrivarci. Per verificare che sup a n = 0 utilizzando la definizione , dobbiamo provare :
• 0 n N
2 n
1
log n ≤ ∀ ∈
+ +
La disequazione equivale a 1 2 n
1
n ≤
+
+ , cioè a n +1≤n +2che è vera ∀n ∈N
.
• > ε
+
∈ +
∃
>
ε
∀ -
2 n
1 n log : N n , 0
La disequazione equivale successivamente a
e 1
1 e 2 n ) 1 e 2 ( ) e 1 ( n e 2 e n 1 n e 2 n
1 n
- - -
- -
- -
ε ε ε
ε ε
ε ε
−
> −
⇔
−
>
−
⇔ +
>
+
⇔ + >
+
( L’ultimo passaggio è lecito , perché 1−e-ε > 0 ) .
Soluzioni della prova parziale n.1 del 2 . 11 . 05 Fila 2
1. x 4/3
2 x opp.
4/3 x
2 x 0 4 - x 3
0 2 - x opp.
0 4 - x 3
0 2 - x 0 4 x 3
2 - x
⎩⎨
⎧
>
≤
⎩⎨
⎧
<
⇔ ≥
⎩⎨
⎧
>
≤
⎩⎨
⎧
<
⇔ ≥
− ≤
Il primo sistema non ha soluzioni , il secondo fornisce x ∈ ( 4/3 , 2 ] ; dunque A = ( 4/3 , 2 ].
) 2 x ( 2 4 - x
0 2 x opp.
) 2 x ( 3 4 - x
0 2 x 3 2 x
4 -
x ⇔
⎩⎨
⎧
−
−
≥
<
+
⎩⎨
⎧
+
≥
>
⇔ + + ≥
2 - x 4
2 x opp.
10 x 2
2 x
⎩⎨⎧
≥
−
<
⎩⎨
⎧
−
≤
−
>
2 / 1 x
2 x opp.
5 x
2 x
⎩⎨⎧
−
≥
−
<
⎩⎨
⎧
−
≤
−
⇔ >
Entrambi i sistemi sono senza soluzione e dunque B = ∅
.
In conclusione, A ∩ B = ∅
,
A ∪ B = ( 4/3 , 2 ] .2. 2 x x 5 x 6 0 0 6 x 5 x2 2
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
+ + +
≥ +
+ ⇔
x 2 - 6 x 5 x
2 - x oppure 3 - x 2
⎩⎨
⎧
>
+ +
≥
≤ ⇔
x > 0 oppure
x 4 6 x 5 x
0 x 2 - opp.
3 -
x 2 2
⎩⎨
⎧
>
+ +
≤
≤
≤ ⇔ x > 0 oppure
0 6 x 5 x 3
0 x 2 - opp.
3 - x 2
⎩⎨
⎧
<
−
−
≤
≤
≤ ⇔
x > 0 oppure
6 97 5
x 6
97 - 5
0 x 2 - opp.
3 - x
⎪⎩
⎪⎨
⎧
< +
<
≤
≤
≤
⇔ x > 0 oppure x 0 6
97 -
5 < ≤
⇔
x ∈ [ (5 - 97 ) / 6 , + ∞ ) .
3. Per n = 1 , si ottiene 3 . 3 = 1 . 3 2 , che è vera.
Supponiamo l’identità vera per n arbitrario e deduciamola per n+1:
∑
+=
+ +
= + 1 n
1 k
2 n k (1 2k ) (n 1) 3
3
.
∑
+∑
= =
+ +
+ + = + + =
+ +
= +
1 n
1 k
n 1 k
1 n 1
n 1
n k
k (1 2k ) 3 (1 2k ) 3 (3 2n ) n 3 (2n 3 )3
3
2 n 1
n 1
n 3(n 1 )3 (n 1 )3 3
) 3 3n (
+ + = + + = + +
=
4.
( i ) Poiché ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
− + + =
= + + +
3 n 1 1 log 3 n
1 - 3 logn 3 n
2
logn (*) , da quest’ultima espressione è facile de-
durre che la successione è crescente. Utilizzando la definizione di successione crescente, dobbiamo in- vece provare che è
N n , 3 n
2 logn 4 n
3
logn ∀ ∈
+
> + +
+
.
La disequazione equivale successivamente a
8 9 8 n 6 n 9 n 6 n ) 4 n ( ) 2 n ( ) 3 n ( 3 n
2 n 4 n
3
n ⇔ + 2 > + + ⇔ 2+ + > 2+ + ⇔ >
+
> + +
+
.
( ii ) Per una successione crescente il valore minimo è quello per n = 1 , cioè min a n = log ( 3 / 4 ) . Quando esiste il minimo , l’estremo inferiore coincide con questo e dunque inf a n = log ( 3 / 4 ) . ( iii ) Una successione crescente non assume mai valore massimo; infatti il massimo è un valore xn assunto per un certo indice n , ma nel caso di successione crescente risulta x n>xn ∀n >n , e que- sto contraddice la definizione di massimo.
( iv ) Dall’espressione (*) è facile capire che 0 è il valore a cui i termini della successione si avvici- nano arbitrariamente , senza mai arrivarci. Per verificare che sup a n = 0 utilizzando la definizione , dobbiamo provare :
• 0 n N
3 n
2
logn ≤ ∀ ∈
+ +
La disequazione equivale a 1 3 n
2
n ≤
+
+ , cioè a n +2 ≤n +3che è vera ∀n ∈N
.
• > ε
+
∈ +
∃
>
ε
∀ -
3 n
2 n log : N n , 0
La disequazione equivale successivamente a
e 1
2 e 3 n ) 2 e 3 ( ) e 1 ( n e 3 e n 2 n e 3 n
2 n
- - -
- -
-
- ε
ε ε ε
ε ε ε
−
> −
⇔
−
>
−
⇔ +
>
+
⇔ + >
+
( L’ultimo passaggio è lecito , perché 1−e-ε > 0 ) .
Soluzioni della prova parziale n.1 del 2 . 11 . 05 Fila 3
1. x 5/3
3 x opp.
5/3 x
3 x 0 5 - x 3
0 3 - x opp.
0 5 - x 3
0 3 - x 0 5 x 3
3 - x
⎩⎨
⎧
>
≤
⎩⎨
⎧
<
⇔ ≥
⎩⎨
⎧
>
≤
⎩⎨
⎧
<
⇔ ≥
− ≤
Il primo sistema non ha soluzioni , il secondo fornisce x ∈ ( 5/3 , 3 ] ; dunque A = ( 5/3 , 3 ] .
) 3 x ( 4 6 - x
0 3 x opp.
) 3 x ( 4 6 - x
0 3 x 4 3 x
6 -
x ⇔
⎩⎨
⎧
−
−
≥
<
+
⎩⎨
⎧
+
≥
>
⇔ + + ≥
6/5 - x
3 x opp.
6 x
3 x
⎩⎨
⎧
≥
−
<
⎩⎨
⎧
−
≤
−
>
Entrambi i sistemi sono senza soluzione e dunque B = ∅
.
In conclusione, A ∩ B = ∅
,
A ∪ B = ( 5/3 , 3 ] .2. 3 x x x 6 0 0 6 x
x2 2
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
−
− +
≥
−
− ⇔
x 3 6 x x
3 x oppure 2 - x 2
⎩⎨
⎧
−
>
−
−
≥
≤ ⇔
x≥3 opp.
x 9 6 x x
2
x 2 2
⎩⎨
⎧
>
−
−
−
≤ ⇔
x≥3 opp.
0 6 x x 8
2 - x 2
⎩⎨
⎧
<
+ +
≤ ⇔
x≥3 opp.
a verificat mai
2 - x
⎩⎨
⎧ ≤
⇔
x ∈ [ 3 , +∞ ) .
3. Per n = 1 , si ottiene 4 . 4 = 1 . 4 2 , che è vera.
Supponiamo l’identità vera per n arbitrario e deduciamola per n+1:
∑
+=
+ +
= + 1 n
1 k
2 n k (1 3k ) (n 1) 4
4
.
∑
+∑
= =
+ +
+ + = + + =
+ +
= +
1 n
1 k
n 1 k
1 n 1
n 1
n k
k (1 3k ) 4 (1 3k ) 4 (4 3n ) n 4 (4 3n )4
4
2 n 1
n (n 1 )4 4
) 1 n ( 4
+ + = + +
=
4.
( i ) Poiché ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
− + + =
= + + +
4 n 1 1 log 4 n
1 - 4 logn 4 n
3
log n (*) , da quest’ultima espressione è facile
dedurre che la successione è crescente. Utilizzando la definizione di successione crescente, dobbiamo invece provare che è
N n , 4 n
3 logn 5 n
4
logn ∀ ∈
+
> + +
+
.
La disequazione equivale successivamente a
15 16 15 n 8 n 16 n 8 n ) 5 n ( ) 3 n ( ) 4 n ( 4 n
3 n 5 n
4
n ⇔ + 2 > + + ⇔ 2+ + > 2+ + ⇔ >
+
> + +
+
.
( ii ) Per una successione crescente il valore minimo è quello per n = 1 , cioè min a n = log ( 4 / 5 ) . Quando esiste il minimo , l’estremo inferiore coincide con questo e dunque inf a n = log ( 4 / 5 ) .
( iii ) Una successione crescente non assume mai valore massimo; infatti il massimo è un valore xn assunto per un certo indice n , ma nel caso di successione crescente risulta x n>xn ∀n >n , e que- sto contraddice la definizione di massimo.
( iv ) Dall’espressione (*) è facile capire che 0 è il valore a cui i termini della successione si avvici- nano arbitrariamente , senza mai arrivarci. Per verificare che sup a n = 0 utilizzando la definizione , dobbiamo provare :
• 0 n N
4 n
3
logn ≤ ∀ ∈
+ +
La disequazione equivale a 1 4 n
3
n ≤
+
+ , cioè a n +3 ≤n +4che è vera ∀n ∈N
.
• > ε
+
∈ +
∃
>
ε
∀ -
4 n
3 n log : N n , 0
La disequazione equivale successivamente a
e 1
3 e 4 n ) 3 e 4 ( ) e 1 ( n e 4 e n 3 n e 4 n
3 n
- - -
- -
- -
ε ε ε
ε ε
ε ε
−
> −
⇔
−
>
−
⇔ +
>
+
⇔ + >
+
( L’ultimo passaggio è lecito , perché 1−e-ε > 0 ) .
Soluzioni della prova parziale n.1 del 2 . 11 . 05 Fila 4
1. x 6 / 5
3 / 4 x opp.
5 / 6 x
3 / 4 x 0 6 - x 5
0 4 - x 3 opp.
0 6 - x 5
0 4 - x 3 0 6 x 5
4 - x 3
⎩⎨
⎧
>
≤
⎩⎨
⎧
<
⇔ ≥
⎩⎨
⎧
>
≤
⎩⎨
⎧
<
⇔ ≥
− ≤
Il primo sistema non ha soluzioni , il secondo fornisce x ∈(6 / 5 , 4 / 3] ; dunque A = ( 6 / 5 , 4 / 3 ]
) 4 x ( 2 2 - x
0 4 x opp.
) 4 x ( 2 2 - x
0 4 x 2 4 x
2 -
x ⇔
⎩⎨
⎧
−
−
≥
<
+
⎩⎨
⎧
+
≥
>
⇔ + + ≥
2 x
4 x opp.
10 x
4 x
⎩⎨
⎧
−
≥
−
<
⎩⎨
⎧
−
≤
−
>
Entrambi i sistemi sono senza soluzione e dunque B = ∅
.
In conclusione, A ∩ B = ∅
,
A ∪ B = ( 6 / 5 , 4 / 3 ] .2. 4 x x x 12 0 0 12 x
x2 2
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
− + +
≥
−
+ ⇔
x 4 12 x x
3 x oppure 4 - x 2
⎩⎨
⎧
−
>
− +
≥
≤ ⇔x≥3 opp.
x 16 12 x x
4
x 2 2
⎩⎨
⎧
>
− +
−
≤
x≥3 opp.
0 12 x x 5 1
4 - x 2
⎩⎨
⎧
<
+
−
≤ ⇔
x≥3 opp.
a verificat mai
4 - x
⎩⎨
⎧ ≤
⇔
x ∈ [ 3 , +∞ ) .
3. Per n = 1 , si ottiene 5 . 5 = 1 . 5 2 , che è vera.
Supponiamo l’identità vera per n arbitrario e deduciamola per n+1:
∑
+=
+ +
= + 1 n
1 k
2 n k (1 4k ) (n 1) 5
5
.
∑
+∑
= =
+ +
+ + = + + =
+ +
= +
1 n
1 k
n 1 k
1 n 1
n 1
n k
k (1 4k ) 5 (1 4k ) 5 (5 4n ) n 5 (5 4n )5
5
2 n 1
n (n 1 )5 5
) 1 n ( 5
+ + = + +
=
4.
( i ) Poiché ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
− + + =
= + + +
5 n 1 1 log 5 n
1 - 5 logn 5 n
4
logn (*) , da quest’ultima espressione è facile de-
durre che la successione è crescente. Utilizzando la definizione di successione crescente, dobbiamo in- vece provare che è
N n , 5 n
4 logn 6 n
5
logn ∀ ∈
+
> + +
+
.
La disequazione equivale successivamente a
24 25 24 n 10 n 25 n 10 n ) 6 n ( ) 4 n ( ) 5 n ( 5 n
4 n 6 n
5
n ⇔ + 2 > + + ⇔ 2+ + > 2+ + ⇔ >
+
> + +
+
.
( ii ) Per una successione crescente il valore minimo è quello per n = 1 , cioè min a n = log ( 5 / 6 ) . Quando esiste il minimo , l’estremo inferiore coincide con questo e dunque inf a n = log ( 5 / 6 ) .
( iii ) Una successione crescente non assume mai valore massimo; infatti il massimo è un valore xn assunto per un certo indice n , ma nel caso di successione crescente risulta x n>xn ∀n >n , e que- sto contraddice la definizione di massimo.
( iv ) Dall’espressione (*) è facile capire che 0 è il valore a cui i termini della successione si avvici- nano arbitrariamente , senza mai arrivarci. Per verificare che sup a n = 0 utilizzando la definizione , dobbiamo provare :
• 0 n N
5 n
4
logn ≤ ∀ ∈
+ +
La disequazione equivale a 1 5 n
4
n ≤
+
+ , cioè a n +4 ≤n +5che è vera ∀n ∈N
.
• > ε
+
∈ +
∃
>
ε
∀ -
5 n
4 n log : N n , 0
La disequazione equivale successivamente a
e 1
4 e 5 n ) 4 e 5 ( ) e 1 ( n e 5 e n 4 n e 5 n
4 n
- - -
- -
- -
ε ε ε
ε ε
ε ε
−
> −
⇔
−
>
−
⇔ +
>
+
⇔ + >
+
( L’ultimo passaggio è lecito , perché 1−e-ε > 0 ) .
