Trasformazioni di Lorentz

Prof. Francesco Ragusa

Università degli Studi di Milano

Elettromagnetismo

Trasformazioni di Lorentz

Contrazione di Lorentz e dilatazione dei tempi Invarianza della carica. Trasformazione di E

Campo elettrico di una carica in moto rettilineo uniforme

Lezione n. 27 – 22.03.2021

Question time …

• Domanda sulla diapositiva relativa alla determinazione della formula per l'energia potenziale di un dipolo magnetico in un campo magnetico B uniforme

• Nella diapositiva si calcola il lavoro fatto dal momento meccanico

• La domanda è: l'energia potenziale è +dW o –dW ?

• La domanda è motivata dal fatto che in altri casi abbiamo definito dU = +dW con il segno + mentre nella diapositiva 94 si usa –dW

• L'ambiguità sta nel fatto che nella diapositiva 94 si calcola il lavoro per ruotare il dipolo da 0 a θ e non il contrario

• Come si sceglie il verso giusto e quindi il segno giusto ?

• Perché l'energia potenziale sia definita in modo utile deve essere compatibile con la conservazione dell'energia

• Concettualmente: Il lavoro della forza esterna è uguale all'energia potenziale

• Detto meglio: il lavoro fatto dalla forza esterna per passare dalla posizione iniziale A alla posizione finale B è uguale alla variazione di energia potenziale

94820

Question time …

• Nella diapositiva 94

• Posizione iniziale θ = 0

• Posizione finale θ

• L'energia potenziale è definita a meno di una costante

• Sono importanti le variazioni

• Definiamo U(0) = −mB

• Messaggio importante, sempre valido

• Lavoro esterno da A a B uguale alla variazione di energia U(B) – U(A)

τ_ext e dθ

paralleli

Espresso in funzione del τ del campo

Trasformazioni di Lorentz

• Consideriamo due sistemi di riferimento inerziali S e S'

• Nel sistema S un evento è descritto dalle coordinate ( x, y, z, t )

• Nel sistema S' lo stesso evento è descritto dalle coordinate ( x', y', z', t' )

• Innanzitutto la relazione fra i due gruppi di coordinate deve essere lineare

• Se non fosse lineare lo spazio non sarebbe omogeneo

• Ad esempio la lunghezza di un segmento dipenderebbe dalla sua posizione

• La trasformazione è pertanto

• Nel caso in considerazione gli assi x e x' coincidono sempre

• Un punto sull’asse x ( y = 0 e z = 0 ) si trasforma nel punto con y' = 0 , z' = 0

• y' e z' non possono dipendere da x o da t

• Il piano z = 0 si trasforma nel piano z' = 0

• Analogamente il piano y = 0 o y' = 0 x

y

z z'

y'

O O' x' S S'

Trasformazioni di Lorentz

• I coefficienti a₂₂ e a₃₃ possono essere determinati utilizzando il principio di relatività

• Consideriamo la prima equazione

• Supponiamo che nel sistema S ci sia un’asta lunga 1 m posta parallela all’asse y nel punto x = 0 e z = 0

• Nel sistema S' l’osservatore vede l’asta lunga L' = a₂₂ u1 = a₂₂

• Portiamo adesso l’asta in S'

• L’osservatore in S' adesso misura l’asta (a riposo) e ottiene 1 m

• Per l’osservatore in S la legge di trasformazione è

• Per S pertanto l’asta è lunga L = 1/a₂₂ u1 =1/a₂₂

• Per il primo postulato di Einstein le due condizioni devono essere equivalenti

• Altrimenti si potrebbero distinguere i due sistemi

• Le due lunghezze devono essere le stesse L = L' o a₂₂ = 1/a₂₂

• Pertanto

e analogamente

x y

z

O S

z'

y'

O' x' S'

Trasformazioni di Lorentz

• Veniamo adesso alle altre due equazioni

• Visto nel sistema S l’origine O' di S' si muove di moto rettilineo uniforme

• Dato l’orientamento degli assi il punto O' è dato da

• Nel sistema S' l’origine è a riposo ed è data da

• Ricordiamo che per la coordinata x' si ha

• Imponiamo la corrispondenza x = vt o x' = 0

• Questa relazione deve essere valida per arbitrari y,z. Pertanto

• Per la trasformazione del tempo

• Per l’isotropia dello spazio non può dipendere da y o da z

• In caso contrario orologi disposti a y o a y (simmetricamente rispetto all’asse x) misurerebbero tempi diversi

x y

z

O S

z'

y'

O' x' S'

Trasformazioni di Lorentz

• La nostra trasformazione si è pertanto ridotta a

• Dobbiamo trovare i 3 coefficienti a₁₁, a₄₁, a₄₄

• Per trovarli utilizziamo il secondo postulato di Einstein

• La velocità della luce ha lo stesso valore in tutti i sistemi di riferimento

• Un segnale luminoso emesso dall’origine si propaga come un’onda sferica

• Al tempo t il fronte dell’onda ha un raggio dato da

• Nel sistema S' il fronte sarà ancora sferico

• Sostituiamo in questa equazione le coordinate trasformate

• Raccogliamo i coefficienti

Trasformazioni di Lorentz

• Questa equazione deve essere identica a

• Per il principio di identità dei polinomi

• È un sistema di 3 equazioni e 3 incognite

• Si può verificare che la soluzione è

• In conclusione la legge di trasformazione ( Trasformazione di Lorentz) è y Osservazione

y La trasformazione lascia invariata la quantità

Trasformazioni di Lorentz

• Se si invertono le equazioni

• Come ci saremmo potuti aspettare con ragionamenti fisici, sulla base del primo postulato le equazioni devono essere formalmente identiche

• L’unica differenza possibile è il cambiamento v o v

• Un’altra osservazione è che per velocità piccole rispetto alla velocità della luce

• Per velocità piccole rispetto alla velocità della luce ritroviamo le trasformazioni di Galileo

Contrazione di Lorentz

• Veniamo alle conseguenze delle trasformazioni di Lorentz

• Consideriamo un sistema S' in moto con velocità v rispetto al sistema S

• Consideriamo una barra di lunghezza L_o a riposo nel sistema S'

• La barra ovviamente si muove con velocità v rispetto a S

• La lunghezza della barra in S' è la differenza delle coordinate degli estremi della barra misurate allo stesso istante

• Nel sistema S le coordinate della barra sono x₁ e x₂ e sono legate alle coordinate in S' dalla Trasformazione di Lorentz

• La lunghezza L_o è pertanto

• In S la lunghezza della barra è

• Nel sistema S la barra è più corta !!

• NB: t₁ = t₂ non sono i tempi corrispondenti a

x y

O S

y'

O' x' S'

L_o: lunghezza propria Contrazione di Lorentz

v

Dilatazione del tempo

• Consideriamo un sistema S' in moto con velocità v rispetto al sistema S

• Consideriamo un orologio a riposo nel sistema S' e posto in x'₁

• L’orologio si muove con velocità v rispetto a S

• Un intervallo di tempo 't' misurato dall’orologio in S' (fermo in x'₁) è dato da

• Nel sistema S le due misure dell’orologio t₁ e t₂ sono legate a quelle fatte nel sistema S' dalla trasformazione di Lorentz

• L’intervallo di tempo 't misurato in S è pertanto

• Nel sistema S l’intervallo di tempo è più lungo

• Visto in S l’orologio “batte il tempo più lentamente” !

• Visto da S ogni fenomeno di S' dura più a lungo

• Ad esempio la vita media di una particella instabile

x y

O S

y'

O' x' S'

v

Dilatazione del tempo

• Per capire meglio il significato della dilatazione del tempo confrontiamo le letture di un orologio

• Letture fatte da un osservatore fermo rispetto all’orologio

• Letture fatte da un osservatore che vede l’orologio in movimento

• Nella diapositiva precedente abbiamo utilizzato la trasformazione di Lorentz per concludere che l’osservatore S vede scorrere il tempo più velocemente di quanto vede S'

• Per comprendere meglio questo sorprendente fenomeno costruiamo un orologio e esaminiamone il funzionamento nei due casi

v

Dilatazione del tempo

• L’orologio consiste di una sorgente di impulsi luminosi e di uno specchio

• L’impulso luminoso è emesso in basso

• Viaggia fino allo specchio dove è riflesso

• Quando ritorna nella parte in basso fa partire un altro impulso

• Il periodo dell’orologio è 2T'

• L’osservatore S vede l’orologio in movimento

• In un semiperiodo l’orologio si sposta di vT

• Il semiperiodo è adesso dato dall’equazione

• Il tempo di S scorre più velocemente

L

L

vT

Invarianza relativistica della carica

• Iniziamo una serie di ragionamenti e di studi che ci porteranno a comprendere come la forza magnetica sia un fenomeno intimamente connesso con la forza elettrica e con la relatività ristretta

• Iniziamo con la misura della carica elettrica quando la particella carica è in movimento

• Possiamo misurare una carica q utilizzando una carica nota Q e la legge di Coulomb

• Questa procedura va benissimo quando le cariche sono a riposo

• Se le cariche sono in movimento la forza può dipendere da altri fattori

• Può dipendere dal modulo della velocità e dalla sua direzione

• Esaminiamo due casi

• È un fatto sperimentale di fondamentale importanza che la legge di Gauss vale anche per le cariche in movimento

• Significa che sebbene il valore del campo E

in ogni punto della superficie può essere differente rispetto al suo valore quando

v = 0 tuttavia il flusso totale attraverso S_t è invariato

la carica misurata potrebbe essere diversa

Invarianza relativistica della carica

• Il significato di S_t (dipendente dal tempo) è il seguente

• Il campo elettrico generato da q è misurato in tutti i punti della superficie allo stesso tempo t

• Un altro fatto di fondamentale importanza è che il valore della carica elettrica all'interno della superficie non dipende dalla velocità con cui si muove la carica

• Una situazione completamente differente da quanto succede per la massa

• La massa dipende dalla velocità con cui esse si muovono

• La carica è sempre la stessa

• Si pensi ad esempio ad un conduttore

• La carica totale (ioni + elettroni) è nulla

• Se si scalda il conduttore la velocità delle particelle aumenta

• Aumenta di più per gli elettroni che per gli ioni

• Se la carica dipendesse dalla velocità il conduttore non sarebbe più neutro

Contrazione di Lorentz

• Ricordiamo quanto abbiamo appena visto riguardo la contrazione di Lorentz

• Consideriamo un sistema di riferimento fermo S

• Consideriamo un sistema inerziale S′ che si muove con velocità v lungo la direzione x

• Nel sistema S′ c'è una barra solidale con il sistema

• La barra è a riposo in S′ e la sua lunghezza è L₀

• La barra è parallela all'asse x

• Nel sistema S la barra ha una lunghezza differente

• Si è scoperto che la lunghezza della barra nel sistema S è inferiore

• Con le usuali definizioni

• È di fondamentale importanza l'osservazione che lungo le direzioni perpendicolari alla velocità v le lunghezze sono invariate

x y

O S

y'

O' x' S'

v

Contrazione di Lorentz

Densità di carica

• Consideriamo un piano di carica con densità superficiale σ

• Consideriamo un rettangolo di lati a e b: S = ab

• La carica all'interno del rettangolo è q = σS

• Supponiamo adesso che il piano si muova con una velocità v parallela al lato a del rettangolo

• Il lato a subisce una contrazione di Lorentz

• La superficie del rettangolo subisce la stessa contrazione

• La carica dentro il rettangolo in moto è

• Vista nel sistema S la densità di carica del piano in movimento è aumentata ma la carica è un invariante

Trasformazione di Lorentz del campo E

• Possiamo adesso ricavare le trasformazioni di Lorentz del campo elettrico

• Da un sistema inerziale S ad un sistema S′

che si muove con velocità v verso sinistra

• Utilizzeremo il campo di un sistema particolare

• Il campo elettrico fra due piani infiniti di carica

• Il risultato vale per qualsiasi campo elettrico

• Indipendentemente dalle particolarità delle sorgenti del campo

• Se le proprietà del campo dipendessero da come

è stato generato sarebbe un concetto di nessuna utilità

• I piani di densità ±σ sono a riposo in S

• Sappiamo che in S il campo elettrico è perpendicolare ai piani e vale

• Il campo elettrico non dipende dalla distanza dal piano

• Consideriamo adesso uno dei piani visto in S′

• In S′ il piano si muove con velocità v

• Esiste una direzione privilegiata

• Il campo potrebbe avere la forma in figura

• Vedremo che in realtà le linee sono perpendicolari

x z

O S

z'

O' x' S'

v

Trasformazione di Lorentz del campo E

• Anche se linee di campo non fossero perpendicolari il campo fra i due strati avrebbe la forma che conosciamo

• Sappiamo che la legge di Gauss vale in tutti i sistemi inerziali

• Anche in S′ il campo elettrico è determinato dalla densità di carica σ′

• Inoltre abbiamo visto che l'invarianza relativistica della carica richiede che

• Abbiamo pertanto

• Pertanto la trasformazione di un campo elettrico perpendicolare alla velocità relativa dei due sistemi di riferimento è

Trasformazione di Lorentz del campo E

• Si può seguire una procedura analoga per la componente del campo elettrico parallela alla velocità relativa fra i due sistemi

• Consideriamo due piani infiniti di carica

• La densità di carica è σ nel sistema S

• Le dimensioni trasversali non cambiano in S′

• La densità di carica è σ′ = σ anche in S′

• In questo caso la simmetria del problema impone che le linee di campo siano lungo l'asse x′

• Possiamo applicare la legge di Gauss

• La distanza fra i piani in S′ è ridotta del fattore γ

• Tuttavia il valore del campo E ricavato con la legge di Gauss non dipende dalla distanza fra i piani

• Otteniamo pertanto

• Mettiamo insieme i due risultati

• E_|| è la componente di E parallela alla velocità relativa

• E_⊥ è la componente di E perpendicolare alla velocità relativa

x z

O S

z'

O' x' S'

v

Trasformazione di Lorentz del campo E

• Abbiamo pertanto ottenuto le trasformazioni di Lorentz per il campo elettrico

• Vale la pena sottolineare che in S stiamo considerando

un campo elettrostatico E e che B = 0 (le cariche sono a riposo in S)

• Nonostante siano state ottenute per un sistema particolare (due piani infiniti di carica) esse valgono qualunque sia la configurazione delle sorgenti

• Notiamo inoltre che non dipendono dal segno di v

• Questo ci permette di comprendere che la possibile forma ipotizzata per le linee di campo nel sistema S′ non è possibile

• Il campo trasformato deve essere lo stesso per ±v

• Per rendere più semplice ricordarsi le formule:

• Il sistema S è quello in cui le sorgenti sono a riposo

• Il sistema S′ è quello in cui le sorgenti si muovono con velocità v

x z

O S

z'

O' x' S'

v

NO SI

La componente del campo elettrico perpendicolare alla velocità è

Campo E di una carica in movimento

• Consideriamo il campo elettrico di una carica Q a riposo

• Consideriamo in dettaglio il campo nel piano x−z

• Le componenti del campo sono

• Calcoliamo il campo E′ in un sistema S′ che si muove con velocita −v

• In S′ la carica Q si muove con velocità +v

• Assumiamo che le origini di S e S′

coincidano per t = 0

• Le trasformazioni di Lorentz per le coordinate sono

• Possono essere facilmente invertite con β → −β e scambio delle coordinate con apice e senza

campo radiale

Campo E di una carica in movimento

• Possiamo adesso calcolare il campo elettrico nel sistema S′

• In questo sistema abbiamo una carica Q che si muove di moto rettilineo uniforme con velocità +v

• Calcoliamo le componenti per t = t′ = 0, quando, in S′, la carica Q passa per l'origine

• Al punto r = (x,y,z) corrisponde il punto r′ = (x′,y′,z′)

• Le due componenti del campo sono

• Notiamo innanzitutto che

y I vettori E′ e r′ formano lo stesso angolo con x′

y Il campo elettrico è ancora radiale

y La componente E′ moltiplicata per γ, la componente x′ divisa per γ

È stato corretto disegnare E′

allineato a r^′

Campo E di una carica in movimento

• Riflettiamo su questo risultato

• Ad una prima superficiale analisi la cosa può apparire sorprendente

• La carica Q è passata per l'origine al tempo t′ = 0

• In qualsiasi punto dello spazio, per quanto distante dell'origine, al tempo t′ = 0 il campo elettrico punta verso l'origine

• In qualsiasi punto dello spazio-tempo il campo elettrico "sa"

che la carica è passata per l'origine al tempo t′ = 0

• Appare come una trasmissione istantanea dell'informazione!

• L'apparente paradosso si risolve notando che stiamo osservando in S′ un sistema fisico che in S è statico

• In S il campo è lo stesso da t = −∞ a t = +∞

• Il campo E può essere previsto in qualsiasi punto dello spazio-tempo

• Anche in S′ il campo E′ è prevedibile in ogni punto dello spazio-tempo

• Da t′ = −∞ a t′ = +∞

• In S′ il campo in un punto generico r′ al tempo t′ = 0 è determinato dalla storia passata della carica

È lo stesso sistema fisico visto in due sistemi inerziali differenti

Campo E di una carica in movimento

• Calcoliamo il modulo del campo elettrico

Campo E di una carica in movimento

• Riepilogando

• Osserviamo che

• Otteniamo in definitiva

• Valori notevoli

Campo E di una carica in movimento

• Utilizzando l'espressione trovata si può dare una rappresentazione del campo con le

linee di campo

• Il campo è più intenso per θ′ = π/2

• Il campo ha la simmetria "avanti/indietro" già notata

• Il campo è radiale ma non ha simmetria sferica

• Questo campo ha delle particolarità interessanti

• Non è un campo conservativo

• Consideriamo la circuitazione lungo il cammino in figura

• Lungo i tratti circolari il contributo è nullo

• Il campo è radiale, perpendicolare al cammino

• Lungo i tratti radiali il campo ha intensità diversa

• Angoli differenti

• La circuitazione è diversa da zero

Sarà molto interessate