Dielettrici (Isolanti)
N.B. nelle operazioni che svolgeremo avremo a che fare con condensatori carichi. Si può operare in due diverse condizioni:
1) a carica costante: condensatore caricato e poi scollegato dal generatore
2) a potenziale costante: condensatore sempre collegato al generatore
Dielettrici 1
Carica costante
Inseriamo una lastra metallica tra le armature di un condensatore carico lastra metallica
V0 V
Q costante , V < V0, C = Q/V aumenta
Equivale ad un condensatore di separazione tra le due armature d = h-s
Dielettrici 2
Inseriamo una lastra di dielettrico (isolante):( )
prima, lastra di spessore < separazione fra le armature : V’ < V0 (a) poi in modo da riempire tutto lo spazio fra le armature Vk < V’ < V0 (b)
Definiamo costante dielettrica (relativa) del dielettrico, k ,il rapporto
Dielettrici 3
Allora:
Allora:
con ε = k ε0 ( costante dielettrica assoluta/ permettività del dielettrico)
E
0 ( p )
e σp = σ0 /k
Calcoliamo l’extra-campo elettrico prodotto dal dielettrico,
E
iEii =
La χ (chi) si definisce “ suscettività dielettrica”
Dielettrici 4
All’i t d l di l tt i i f l tt i (di l i i ) All’interno del dielettrico si forma un campo elettrico (di polarizzazione) (Ei) di segno opposto a quello tra le armature del condensatore (E0) , per cui il campo totale (Ek) decresce. Ek = Eo - Ei
Sulle facce del dielettrico compare una densità di carica, σp, di segno opposto a quella sulle armature di fronte , ma di valore minore
$
+ + + + +
E0 Ei
Dielettrici 5
N B Le cariche sulle armature e quelle sul dielettrico non possono combinarsi N.B. Le cariche sulle armature e quelle sul dielettrico non possono combinarsi, perché quelle sul dielettrico non sono cariche mobili e quelle sulle armature non
t l di l tt i h è i l t possono entrare nel dielettrico che è isolante.
Se moltiplichiamo le σ per l’area delle armature ,Σ, otteniamo le cariche totali. Quindi da si ottiene
6 Dielettrici
La capacità di un condensatore pieno di dielettrico diventa
In particolare per il condensatore f.p.p. si ha
ε = kε0 si chiama costante dielettrica assoluta del dielettrico
Tutte le formule viste in precedenza per il condensatore vuoto, valgono anche ll i di di l tt i i tit i
7 Dielettrici
per quello pieno di dielettrico, se si sostituisce ε0 con ε.
Si definisce Rigidità dielettrica il più elevato valore del campo elettrico nel qualeg p p q può trovarsi il dielettrico prima che al suo interno comincino a scorrere delle cariche (il dielettrico “si buca”)
8 Dielettrici
Esempio Esempio
Condensatore parzialmente riempito di dielettrico di cost. diel. k Quanto valgono V’k e Ceq ?
Fuori dal dielettrico campo elettrico è come nel cond. vuoto E = σ0/ε0 .
Nel dielettrico Ek = σ0/kε0
N.B. E non dipende dalla posizione del p p dielettrico e V’k dipende solo dallo spessore
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V’k
C
eqCome si vede il sistema equivale a due condensatori in serie, uno vuoto, di
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separazione (h-s), e l’altro pieno di dielettrico di spessore s e costante k
Potenziale costante Potenziale costante
Il condensatore è sempre collegato a un generatore che mantiene costante la d.d.p. ai suoi capi, V0 , facendo variare, se necessario la carica sulle armature.
Cond. vuoto:
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Con dielettrico C = k C0 , quindi:
Il generatore deve fornire una l’extra-carica qp, producendo un lavoro
W V
W = qpV0
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Forza di risucchio su una lastra di dielettrico Forza di risucchio su una lastra di dielettrico
In un condensatore a f.p.p., di lato l e separazione h, collegato a unp p p g generatore, è inserita una lastra di dielettrico per una lunghezza x.
N.B. Il campo elettrico non è (mai) uniforme in prossimità dei bordi!
Cosa succede?
13 Dielettrici
Il campo del condensatore interagisce con le cariche indotte sul dielettrico (anche fuori dalle armature).
Consideriamo il sistema come due
cond (uno pieno e uno vuoto) in - - - - - - cond. (uno pieno e uno vuoto) in
parallelo
+ ++ +++
se x aumenta di dx, (la lastra entra di più tra le armature) C cresce di dC
se u e d , ( s e d p ù e u e) C c esce d C
con spostamento della carica dq = VdC da una faccia all’altra ad opera del
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generatore
Il generatore compie un lavoro Il generatore compie un lavoro
l’energia elettrostatica aumenta di
L’altra metà del lavoro del generatore viene fatto tramite la forza di risucchio
N.B. il segno di F
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Polarizzazione dei dielettrici
Di h t è l i h ll f d l di l tt i ?
Di che natura è la carica che appare sulle facce del dielettrico?
Un dielettrico sottoposto a un campo elettrico si dice polarizzato Struttura dei dielettrici:
Elementi (atomi o molecole) senza (1) o con (2) momento di dipolo spontaneo.
1) Senza m.d.d.
Es.atomo
Effetto del campo elettrico esterno: Spostamento dei
“baricentri” delle cariche + e -, con formazione di un m.d.d. indotto: p = Zex
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2) Molecole con m.d.d. spontaneo p0 (es. H2O)
Effetto del campo esterno: orientazione media dei dipoli Effetto del campo esterno: orientazione media dei dipoli.
E’ come se all’interno del dielettrico si formassero delle catene di dipoli (efficaci) formassero delle catene di dipoli (efficaci) da una faccia all’altra.
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Supponiamo di individuare un volumetto cubico τ all’interno del dielettrico polarizzato, che contenga N atomi o molecole, ognuno con m.d.d. medio <p>
Il m.d.d. totale è p = N <p> .
Definiamo Momento di dipolo per unità di volume
n = densità di atomi o molecole (m-3),
U ità di i < > C P C / 3 C / 2 d ità fi i l di Il vettore P (sempre // a E) si definisce anche Polarizzazione (del dielettrico) Unità di misura: <p>: C m; P : C m / m3 = C /m2 = densità superficiale di carica.
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Prendiamo un volumetto, dτ, all’interno del dielettrico polarizzato di area dΣ0 e spessore dh, nella direzione di P e E, il suo m.d.d. è: dp = P dτ
Possiamo sostituirlo con un altro sistema che non alteri il m d d totale ? Sostituiamolo con due lamine metalliche di area dΣ0 e separate di dh.
Possiamo sostituirlo con un altro sistema che non alteri il m.d.d. totale ?
Che carica dq dobbiamo mettere sulle armature pe avare lo stesso m.d.d.?
P dτ = dq dh = σ dΣ dh = σ dτ P dτ = dq dh = σp dΣ 0dh = σ dτ quindi σp = P e dq = P dΣ0
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Se ora consideriamo due cubetti adiacenti, le cariche –dq e +dq sulle due facce in contatto si annullano e restano solo le cariche –dq e +dq sulle facce estreme, ad una distanza 2dh.
Continuando ad aggiungere cubetti si arriva alle due superfici
Quindi sulle facce di una lastra di dielettrico polarizzato è presente una carica
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di polarizzazione di densità σp = |P|
Se il dielettrico non ha forma regolare, dato un prismetto di superficie, Se il dielettrico non ha forma regolare, dato un prismetto di superficie, sulla faccia interna –dq = σ’p dΣ0 = P dΣ0 mentre sulla faccia esterna dq = σ dΣ quindi
dq = σp dΣ , quindi
Se 0 < θ < π/2 σp > 0, se π/2 < θ < π σp < 0
Per una lastra θ = 0 e θ = π
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In generale (cristalli cubici. amorfi,…) P ∝ E:
P = ε0 χ E = ε0 (κ-1) E quindi χ è uno scalare.
Ma per i cristalli χ può essere un tensore! Pi = ε0 Σjχij Ej
D h l i h di l i i
Dato che le cariche di polarizzazione qp sono cariche “vere”, possiamo inserirle nella Legge di Gauss applicata alla scatola cilindrica in figura, con la base (di area Σ ) parallela alle armature.
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Considerando che P è nulla all’interno delle armature si ha
Calcoliamo il flusso di P attraverso la stessa superficie chiusa Σ Considerando che P è nulla all interno delle armature si ha
= σ
pΣ = q
pper cui
(cariche libere)
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Definiamo D il vettore Induzione Dielettrica.
Definiamo D il vettore Induzione Dielettrica.
Quindi le Legge di Gauss in presenza di dielettrici, si può scrivere (
= D Σ …)
Il modulo di D coincide con la densità di cariche libere σ
Come si vede P e D e σ hanno le stesse dimensioni quindi le stesse unità di misura: C / m2
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In un dielettrico in un C.F.P.P.
La forma locale della Legge di Gauss in presenza di un dielettrico diventa:
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